共形映射

一、核心定理

  1. 黎曼映射定理 (Riemann Mapping Theorem)

    • 内容：设 $D \subset \mathbb{C}$ 是边界多于一点的单连通域，$a \in D$。则存在唯一单叶解析函数 $f: D \to \Delta$（单位圆盘），满足 $f(a) = 0$，$f'(a) > 0$。
    • 意义：任何非平凡的单连通区域均解析同胚于单位圆盘。

  2. 边界对应原理 (Boundary Correspondence Principle)

    • 内容：设 $G$ 是由若尔当（Jordan）曲线围成的区域，$f: G \to B(0,1)$ 是共形映射，则 $f$ 可延拓为 $\overline{G} \to \overline{B(0,1)}$ 的同胚映射。
    • 特例：当 $G$ 为多边形区域时，延拓在顶点外全纯，整体连续且边界同胚。

二、黎曼映射定理的证明思路

采用 极值原理 和 正规族理论，分三步：

Step 1: 构造非空正规族 $\mathcal{B}$

  • 目标：证明集合
    $$ \mathcal{B} = \{ h: D \to \Delta \mid h \text{ 单叶}, h(a)=0, h'(a)>0 \} \neq \emptyset. $$
  • 方法：取边界点 $b \in \partial D$，构造 $h_1(z) = \sqrt{z - b}$（单值分支），利用开映射性质找到 $\delta > 0$ 使得 $B(h_1(a), \delta) \subset h_1(D)$。通过复合映射：
    $$ h_2(z) = \frac{\delta}{h_1(z) + h_1(a)}, \quad h_3(z) = \frac{h_2(z) - h_2(a)}{1 - \overline{h_2(a)} h_2(z)}, \quad h(z) = \frac{|h_3'(a)|}{h_3'(a)} h_3(z) $$
    最终得到 $h \in \mathcal{B}$.

Step 2: 取极值函数 $\tilde{h}$

  • 令 $\beta = \sup \{ h'(a) \mid h \in \mathcal{B} \}$，存在序列 $\{h_n\} \subset \mathcal{B}$ 满足 $h_n'(a) \to \beta$。
  • 由 Montel 正规定则，$\{h_n\}$ 有子列内闭一致收敛于全纯函数 $\tilde{h}$，且 $\tilde{h}'(a) = \beta > 0$。
  • 关键点：极限函数 $\tilde{h}$ 单叶（因 $\beta > 0$ 排除了常函数）。

Step 3: 证明 $\tilde{h}(D) = \Delta$（满射）

  • 反证法：若存在 $w_0 \in \Delta \setminus \tilde{h}(D)$，构造：
    $$ g(z) = \sqrt{ \frac{\tilde{h}(z) - w_0}{1 - \overline{w_0} \tilde{h}(z) }}, \quad \tilde{g}(z) = \frac{g(z) - g(a)}{1 - \overline{g(a)} g(z)} $$
  • 再令 $\hat{h}(z) = \frac{|\tilde{g}'(a)|}{\tilde{g}'(a)} \tilde{g}(z)$，计算得 $\hat{h}'(a) = \frac{1 + |w_0|}{2\sqrt{|w_0|}} \beta > \beta$，与 $\beta$ 的定义矛盾。

三、边界对应原理的证明（多边形情形）

核心方法：对称开拓与顶点处理

  1. 边的处理：

    • 对每条边 $\alpha$，当 $z \to \alpha^\circ$（内部）时，$f(z)$ 趋于单位圆周。
    • 以 $\alpha$ 为对称轴延拓 $f$ 到 $G \cup \alpha^\circ \cup G^*$（$G^*$ 为 $G$ 的对称域），但 全纯性仅在 $\alpha^\circ$ 局部成立（因 $G$ 与 $G^*$ 可能重叠）。

  2. 顶点处理（内角 $\alpha$)：

    • 取 $g(z) = (z - z_1)^{\pi / \alpha}$ 的单值分支，将顶点 $z_1$ 的扇形邻域映为半圆盘。
    • 令 $f_1 = f \circ g^{-1}$，则 $f_1$ 在 $g(z_1)$ 附近可全纯延拓。
    • 复合 $f = f_1 \circ g$ 得 $f$ 在 $z_1$ 连续，对所有顶点重复此操作。

  3. 边界同胚性：

    • 由 引理 1（对称开拓保单叶性），延拓后的 $f$ 在 $\partial G \setminus \{\text{顶点}\}$ 上局部单叶。
    • 证明 $f(\partial G) = \partial \Delta$（局部同胚 + 紧性推得满射）。
    • 结合 $f$ 在 $G$ 内的共形性，得 $f: \overline{G} \to \overline{\Delta}$ 是同胚。