多边形的Riemann映射与Schwarz-Christoffel公式

关键定理及证明

定理1 & 定理2：Riemann映射的边界性质

• 结论：
  若 $f: G \to \Delta$（或 $f: G \to H^+$) 是多边形 $G$ 的Riemann映射，顶点为 $z_j$，内角 $\alpha_j\pi$，则：

  1. $f$ 可延拓到 $G \setminus \{z_j\}$ 的邻域 $G^*$，并在 $G^* \cup \{z_j\}$ 上连续（边界对应原理）。
  2. 在顶点 $z_j$ 的扇形邻域 $S_j$ 内，局部映射 $w = f_j(\zeta) = f(z_j + \zeta^{\alpha_j})$ 在 $\zeta=0$ 邻域解析且单叶。
  3. 逆映射 $z = F(w)$ 在 $w_j = f(z_j)$ 邻域满足：
     $$ z = z_j + (w - w_j)^{\alpha_j} h_j(w), \quad h_j(w) \text{ 解析且 } h_j(w_j) \neq 0. $$

• 证明方法：

  • 对称延拓：沿多边形每条边构造对称区域 $D_{\gamma_j}$，将 $f$ 解析延拓到 $G^* = G \cup \bigcup_j D_{\gamma_j}$（避免顶点奇点）。
  • 局部坐标变换：在顶点邻域引入 $\zeta = (z - z_j)^{1/\alpha_j}$，将扇形映射为半圆盘，证明 $f_j(\zeta)$ 在 $\zeta=0$ 解析。

Schwarz-Christoffel公式（定理3–5）

定理3（映射到上半平面 $H^+$）

• 公式：
  设 $f: G \to H^+$，$f(z_j) = w_j \in \mathbb{R}$，则逆映射为：
  $$ z = F(w) = C_1 \int_{w_0}^w \prod_{j=1}^n (w - w_j)^{-\beta_j} dw + F(w_0), \quad \beta_j = 1 - \alpha_j. $$

定理4（映射到单位圆盘 $\Delta$）

• 公式：
  设 $f: G \to \Delta$，$f(z_j) = w_j \in \partial\Delta$，则：
  $$ z = F(w) = C_1 \int_{w_0}^w \prod_{j=1}^n (w - w_j)^{-\beta_j} dw + F(w_0). $$

定理5（无穷远点对应顶点）

• 公式：
  若 $f(z_n) = \infty$（其他 $f(z_j) = w_j \in \mathbb{R}$)，则：
  $$ z = F(w) = C \int_{w_0}^w \prod_{j=1}^{n-1} (w - w_j)^{-\beta_j} dw + F(w_0). $$

证明核心思路

1. 解析性证明：

   • 定义函数 $H(w) = F'(w) \prod_{j=1}^n (w - w_j)^{\beta_j}$，证明其在 $\overline{H^+} \setminus \{w_j\}$ 解析。
   • 关键步骤：利用定理2的局部表示 $z = z_j + (w - w_j)^{\alpha_j} h_j(w)$，代入 $H(w)$ 消去奇性：
     $$ H(w) = \underbrace{\left[ h_j(w) + (w - w_j) h_j'(w) \right]}_{\text{解析}} \cdot \prod_{k \neq j} (w - w_k)^{\beta_k}. $$

2. 边界幅角恒定性：

   • 设实轴分段 $w_0 = -\infty < w_1 < \cdots < w_n < w_{n+1} = +\infty$。
   • 在区间 $(w_{j-1}, w_j)$ 上：
     • $\arg F'(t)$ 恒定（因 $F$ 映射到直线边）。
     • $\arg (t - w_k)^{\beta_k}$ 在 $k \neq j$ 时恒定，在 $t$ 跨越 $w_j$ 时 $\arg (t - w_j)^{\beta_j}$ 变化 $-\beta_j \pi$，而 $\arg F'(t)$ 变化 $+\beta_j \pi$（因外角）。
   • 结论：$\arg H(t)$ 在 $\mathbb{R} \setminus \{w_j\}$ 上恒为常数 $\theta_0$，即 $H(\mathbb{R})$ 在射线 $L = \{ re^{i\theta_0} \}$ 上。

3. Liouville定理应用：

   • $H(w)$ 在 $H^+$ 解析、有界（定理2(4) 保证 $\lim_{w \to \infty} |H(w)| < \infty$），且 $H(\mathbb{R}) \subset L$。
   • 若 $H$ 非常数，则 $H(H^+)$ 是区域，其边界 $\subset L$，矛盾。故 $H(w) \equiv \text{const}$.

关键方法

1. 局部正规化：
   通过坐标变换 $\zeta = (z - z_j)^{1/\alpha_j}$ 将顶点邻域化为解析点，建立局部映射性质（定理1,2）。

2. 对称延拓：
   沿边反射实现解析延拓，绕过顶点奇点（定理1证明）。

3. 多值函数处理：
   规定 $(w - w_j)^{\beta_j}$ 在实轴的单值分支（如 $\arg(w - w_j) = 0$ 当 $w > w_j$），保证积分表达式单值（注释部分）。

4. 分式线性变换：
   处理无穷远点（定理5）：用 $\zeta = -1/(w - a)$ 将 $\infty$ 映到 $0$，转化为定理3。