正规族与等度连续

一、核心概念

1. 正规族 (Normal Family)

   • 定义：区域 $D \subset \mathbb{C}$ 上的函数族 $\mathcal{F}$ 是正规族，若其任意序列存在子列在 $D$ 上内闭一致收敛（按欧氏距离或球面距离）。
   • 分类：
     • 解析函数族：值域在 $\mathbb{C}$，收敛按欧氏度量。
     • 亚纯函数族：值域在 $\mathbb{C}_\infty = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$，收敛按球面距离：
       $$ d(z,w) = \frac{2|z-w|}{\sqrt{1+|z|^2}\sqrt{1+|w|^2}}. $$

2. 等度连续 (Equicontinuity)
   函数族 $\mathcal{F}$ 在集合 $E$ 上等度连续，若 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$ 使得：
   $$ |z-w| < \delta \implies |f(z)-f(w)| < \varepsilon, \quad \forall f \in \mathcal{F}, \, \forall z,w \in E. $$

二、关键定理与证明

1. Arzelà-Ascoli 定理（针对连续函数族）

• 定理：$\mathcal{F}$ 是区域 $D$ 上的连续函数族，则：
  $$ \mathcal{F} \text{ 正规} \iff \mathcal{F} \text{ 内闭一致有界且内闭等度连续}. $$
• 证明思路：
  • 必要性：若 $\mathcal{F}$ 正规但不等度连续，可构造序列违反收敛性（反证法）。
  • 充分性：
    • 步骤1（点态收敛）：取稠密点列 $\{a_n\} \subset D$，通过对角线法构造子列 $\{g_n\}$ 在 $\{a_n\}$ 上收敛。
    • 步骤2（内闭一致收敛）：利用等度连续性和紧集覆盖，证明 $\{g_n\}$ 在任意紧集 $K \subset D$ 上一致收敛（如Page 4的 $3\varepsilon$ 估计）。

2. Montel 定理（针对解析函数族）

• 定理：$\mathcal{F}$ 是区域 $D$ 上的解析函数族，则：
  $$ \mathcal{F} \text{ 正规} \iff \mathcal{F} \text{ 内闭一致有界}. $$
• 证明关键：
  • 由内闭一致有界推出内闭等度连续：对紧集 $K = \overline{B(a,r/2)} \subset D$，利用Cauchy积分公式：
    $$ |f(z)-f(w)| \le \frac{2M}{r} |z-w|, \quad \forall f \in \mathcal{F}, \, \forall z,w \in K. $$
  • 结合Arzelà-Ascoli定理即得结论。

3. 亚纯函数正规族的等价刻画（定理3 & 定义4'）

• 定理3：若亚纯函数列 $\{f_n\}$ 按球面距离内闭一致收敛于 $f: D \to \mathbb{C}_\infty$，则 $f \equiv \infty$ 或 $f$ 是 $D$ 上的亚纯函数。

• 证明思路：

  • 对 $a \in D$，分情况讨论：
    • 若 $f(a) \neq \infty$，在邻域 $B(a,\delta)$ 内利用球面距离有界性，推出 $\{f_n\}$ 按欧氏距离一致收敛，由Weierstrass定理知 $f$ 解析。
    • 若 $f(a) = \infty$，考虑 $\{1/f_n\}$ 在 $B(a,\delta)$ 解析且收敛，推出 $1/f$ 解析。
  • 结合练习4证明 $f^{-1}(\infty)$ 无聚点（否则 $f \equiv \infty$）。

• 定义4'：亚纯函数族 $\mathcal{F}$ 正规当且仅当任意序列存在子列 $\{f_{n_k}\}$，使得对每点 $a \in D$，在某个邻域 $B(a,\delta_a)$ 内，$\{f_{n_k}\}$ 或 $\{1/f_{n_k}\}$ 按欧氏距离一致收敛于解析函数。

三、重要方法

1. 对角线法 (Diagonal Argument)

   • 用于构造点态收敛子列（如Arzelà-Ascoli证明中取 $g_n = f_{nn}$)。

2. 球面距离 vs. 欧氏距离

   • 对解析函数族，按欧氏距离正规 $\implies$ 按球面距离正规（因极限不可能为 $\infty$），但反之不成立。
   • 对亚纯函数族，必须使用球面距离以允许极限为 $\infty$.

3. 复动力系统初步 (Page 19–23)

   • Fatou集 $F(f)$：使迭代族 $\{f^n\}$ 正规的最大开集。
   • Julia集 $J(f)$：$F(f)$ 的余集。
   • Sullivan定理：有理函数的Fatou分支必为以下类型之一：
     • 超吸性域、吸性域、抛物吸性域、Siegel盘（无理旋转）、Hermann环（环域旋转）。
   • 线性化问题：解析函数在不动点处的共轭等价性（如Brjuno条件与Yoccoz的工作）。