Ch4.2 拓扑群和轨道空间

4.3 拓扑群

考虑一些除了拓扑结构外还具有群结构的空间。一个典型例子是圆周，可将其视作模为1的复数集合。其拓扑由平面诱导，群结构则由复数乘法构成。注意以下两个映射
$$ S^1 \times S^1 \to S^1, \quad (e^{i\theta}, e^{i\phi}) \mapsto e^{i(\theta + \phi)} \quad \text{(群乘法)} $$
$$ S^1 \to S^1, \quad e^{i\theta} \mapsto e^{-i\theta} \quad \text{(取逆元)} $$
都是连续的，因此拓扑结构与代数结构完全相容。

定义 4.14

拓扑群 $G$ 是一个豪斯多夫拓扑空间，同时也是一个群，且两种结构相容，即群乘法 $m: G \times G \to G$ 以及将每个元素映射为其逆元的映射 $i: G \to G$ 均连续。

本节内容主要通过例子展开，包括矩阵群的例子。在第4.4节，我们将回到商空间，定义拓扑群在空间上的作用，展示此类作用如何产生商空间，并考察由此得到的各种商空间。

拓扑群的例子

实直线：群结构为实数加法。
圆周：如上所述。
离散群：任何抽象群赋予离散拓扑。
环面：视为两个圆周的乘积，采用乘积拓扑与乘积群结构。（两个拓扑群的乘积仍为拓扑群。）
三维球面：视为四元数空间 $\mathbb{H}$（拓扑同胚于 $\mathbb{E}^4$ 并具有四元数代数结构）中的单位球。
欧几里得 $n$ 维空间：记作 $\mathbb{R}^n$ 以强调其作为拓扑群（通常以加法为群结构），而非单纯的拓扑空间 $\mathbb{E}^n$。
一般线性群 $\mathrm{GL}(n)$：由实数域上 $n \times n$ 可逆矩阵构成，群结构为矩阵乘法。将矩阵 $A = (a_{ij})$ 与点 $(a_{11}, \dots, a_{nn}) \in \mathbb{E}^{n^2}$ 等同，赋予子空间拓扑。定理(4.12)将验证 $\mathrm{GL}(n)$ 是一个拓扑群。
正交群 $\mathrm{O}(n)$：由 $n \times n$ 正交实矩阵构成，其拓扑与代数结构均从 $\mathrm{GL}(n)$ 诱导而来，是 $\mathrm{GL}(n)$ 的子群。其中行列式为 $+1$ 的矩阵构成特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)$。

对于拓扑群，“同构”与“子群”需同时考虑拓扑与代数结构。因此，拓扑群之间的同构既是同胚也是群同构；子群需在代数上是子群，并具有子空间拓扑。

例：整数集 $\mathbb{Z}$ 赋予离散拓扑构成 $\mathbb{R}$ 的子群。商群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 赋予商拓扑（划分由 $\mathbb{Z}$ 的陪集给出）同构于圆周 $S^1$。映射 $f: \mathbb{R} \to S^1, f(x)=e^{2\pi i x}$ 是商映射，诱导同胚 $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$，该同胚也是群同构。

例：将每个 $(n-1)\times(n-1)$ 正交矩阵 $A$ 对应到 $n\times n$ 矩阵 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix}$，表明 $\mathrm{O}(n-1)$ 同构于 $\mathrm{O}(n)$ 的一个子群。

设 $G$ 为拓扑群，$x \in G$。映射 $L_x(g)=xg$（左平移）与 $R_x(g)=gx$（右平移）均为同胚。这表明拓扑群具有“齐性”：任意两点 $x,y \in G$，存在同胚 $L_{yx^{-1}}$ 将 $x$ 映至 $y$，故 $G$ 在各点附近局部拓扑相同。

定理 4.15

设 $G$ 为拓扑群，$K$ 为包含单位元 $e$ 的连通分支。则 $K$ 是 $G$ 的闭正规子群。对于 $G = \mathrm{O}(n)$，有 $K = \mathrm{SO}(n)$（证明稍后给出）。

证明：连通分支总是闭的。对任意 $x \in K$，集合 $Kx^{-1}=R_{x^{-1}}(K)$ 连通且包含 $e$，故 $Kx^{-1} \subseteq K$，从而 $KK^{-1}=K$，即 $K$ 为子群。对任意 $g \in G$，$gKg^{-1}=R_{g^{-1}}L_g(K)$ 连通且包含 $e$，故 $gKg^{-1} \subseteq K$，即 $K$ 正规。

定理 4.16：单位元的邻域是生成元

在连通拓扑群中，单位元的任意邻域都能生成整个群。

证明：设 $G$ 连通，$V$ 是 $e$ 的邻域，令 $H=\langle V \rangle$。对任意 $h \in H$，邻域 $hV=L_h(V) \subseteq H$，故 $H$ 开。下证 $G-H$ 亦开：若 $g \in G-H$，则邻域 $gV$ 若与 $H$ 相交将导致 $g \in H$，矛盾，故 $gV \subseteq G-H$。由于 $G$ 连通且 $H$ 非空，必有 $G-H=\varnothing$，即 $G=H$。

定理 4.17

矩阵群 $\mathrm{GL}(n)$ 是拓扑群。

证明：记 $\mathbb{M}$ 为所有 $n\times n$ 实矩阵集合，通过对应 $(a_{ij}) \leftrightarrow (a_{11},\dots,a_{nn}) \in \mathbb{E}^{n^2}$ 赋予拓扑。矩阵乘法 $m: \mathbb{M} \times \mathbb{M} \to \mathbb{M}$ 连续，因为其各分量 $\pi_{ij} \circ m(A,B)=\sum_k a_{ik}b_{kj}$ 是多项式，故连续。$\mathrm{GL}(n)$ 取子空间拓扑，则乘法 $\mathrm{GL}(n) \times \mathrm{GL}(n) \to \mathrm{GL}(n)$ 连续。

验证逆映射 $i: \mathrm{GL}(n) \to \mathrm{GL}(n)$ 连续：$i$ 的分量映射将 $A$ 映至 $A^{-1}$ 的 $(j,k)$ 元，即 $(1/\det A)$ 乘以 $A$ 的相应余子式。由于 $\det A$ 及余子式均为 $A$ 的元素的多元多项式，且 $\det A \ne 0$，故各分量连续，从而 $i$ 连续。

$\mathrm{GL}(n)$ 是行列式函数 $\det: \mathbb{M} \to \mathbb{R}$ 下非零实数的原像，故为 $\mathbb{M}$ 的开子集，非紧。其可划分为行列式正、负两个连通分支。

定理 4.18

$\mathrm{O}(n)$ 与 $\mathrm{SO}(n)$ 是紧致的。

证明：$\mathrm{O}(n)$ 由满足 $AA^t = I$ 的矩阵构成。定义映射 $f_{ik}: \mathbb{M} \to \mathbb{E}^1$，$f_{ik}(A)=\sum_j a_{ij}a_{kj}$。则 $\mathrm{O}(n)$ 是所有 $f_{ik}^{-1}(0) (i\ne k)$ 与 $f_{ii}^{-1}(1)$ 的交集，故为 $\mathbb{M}$ 中闭集。由条件 $\sum_j a_{ij}^2=1$ 知矩阵各元绝对值 $\le 1$，故 $\mathrm{O}(n)$ 有界，从而是 $\mathbb{E}^{n^2}$ 的紧子集。$\mathrm{SO}(n)$ 作为 $\mathrm{O}(n)$ 的闭子集亦紧。

注记

$\mathrm{SO}(2) \cong S^1$（对应 $e^{i\theta} \leftrightarrow \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$）；$\mathrm{SO}(3) \cong P^3$（通过将单位四元数 $S^3$ 共轭作用视为三维旋转，诱导商映射 $S^3 \to \mathrm{SO}(3)$，其核为 $\{\pm1\}$，故得同构 $P^3 = S^3/\{\pm1\} \cong \mathrm{SO}(3)$）。

4.4 轨道空间

无限循环群 $\mathbb{Z}$ 可自然地视作实直线上的一个同胚变换群，其中每个整数 $n \in \mathbb{Z}$ 确定一个平移变换 $x \mapsto x + n$。

考虑正交矩阵群 $O(n)$，每个矩阵诱导出欧几里得 $n$ 维空间的一个线性变换。由于 $O(n)$ 的元素可逆且保持欧几里得度量（因而将单位向量映为单位向量），每个正交矩阵给出了单位球面 $S^{n-1}$ 到自身的同胚。正交群在球面上的作用与 $O(n)$ 及 $S^{n-1}$ 的拓扑相容，因为映射
$$ O(n) \times S^{n-1} \to S^{n-1}, \quad (A, x) \mapsto Ax $$
连续。我们称 $O(n)$ “作用”于空间 $S^{n-1}$。

若赋予 $\mathbb{Z}$ 由 $\mathbb{R}$ 诱导的自然离散拓扑，则上述两例均符合以下一般框架。

定义 4.14

设 $G$ 为拓扑群，$X$ 为拓扑空间。若满足以下条件，则称 $G$ 作为同胚变换群作用于 $X$：

对所有 $g,h \in G$ 及 $x \in X$，有 $hg(x) = h(g(x))$；
对所有 $x \in X$，有 $e(x) = x$，其中 $e$ 是 $G$ 的单位元；
映射 $G \times X \to X$，$(g,x) \mapsto g(x)$，连续。

对任意 $x \in X$，每个 $g \in G$ 对应的同胚或固定 $x$，或将其映至新点 $g(x)$。当 $g$ 取遍 $G$ 时，所有像 $g(x)$ 构成的子集称为 $x$ 的轨道，记作 $O(x)$。若两轨道相交，则它们必重合。关系 $x \sim y \iff \exists g \in G,\ x = g(y)$ 是 $X$ 上的等价关系，其等价类恰为轨道。因此轨道构成 $X$ 的一个划分，相应的商空间称为轨道空间，记作 $X/G$。构造 $X/G$ 即通过 $G$ “除” $X$：两点被视为相同当且仅当它们相差某个同胚 $x \mapsto g(x)$。

在第一例中，实数 $x$ 的轨道包含所有形如 $x + n$（$n \in \mathbb{Z}$）的点。故在构成 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 时，我们将 $\mathbb{R}$ 中相差整数的点等同，如前节所述，得到轨道空间为圆周。

球面上的正交作用是传递作用之例，即任意点的轨道均为整个空间（此处为 $S^{n-1}$）。证明简述如下：设 $e_1, e_2, \dots, e_n$ 为 $\mathbb{E}^n$ 的标准正交基，对任意 $x \in S^{n-1}$，构造以 $x$ 为首个基向量的新正交基。记该新基相对于 $e_1, e_2, \dots, e_n$ 的过渡矩阵为 $A$，则 $A$ 正交且 $A(e_1) = x$。这即表明 $e_1$ 的轨道为整个 $S^{n-1}$。当作用传递（仅有一个轨道）时，轨道空间显然为单点。

Ch4.2 拓扑群和轨道空间

4.3 拓扑群

定义 4.14

拓扑群的例子

定理 4.15

定理 4.16：单位元的邻域是生成元

定理 4.17

定理 4.18

4.4 轨道空间

定义 4.14

更多示例