Ch4.1 等化空间
4.1 莫比乌斯带的构造
许多有趣的拓扑空间可以通过以下方式得到：从一个简单拓扑空间 $X$ 出发，将其中某些点等同，从而获得新空间。此方法已用于构造曲面，例如通过对矩形边的适当等同得到莫比乌斯带、环面及克莱因瓶。本节将详细考察莫比乌斯带的构造，并说明如何利用矩形的拓扑使其成为一个等化空间。
构造莫比乌斯带时，取一矩形并通过半扭转等同其一对对边。具体步骤如下：
- 取 $\mathbb{E}^2$ 中的子空间 $R = \{(x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 3, \; 0 \leqslant y \leqslant 1\}$。
- 将 $R$ 划分为互不相交的非空子集，使得两点属于同一子集当且仅当它们应被等同。该划分包含：
- 形如 $\{(0,y), (3,1-y)\}$ 的点对，其中 $0 \leqslant y \leqslant 1$；
- 单点集 $\{(x,y)\}$，其中 $0 < x < 3, \; 0 \leqslant y \leqslant 1$。
- 记 $M$ 为该划分的集合，其元素为上述子集。定义自然映射 $\pi: R \to M$，将每个点映至其所属子集。
- 在 $M$ 上定义等化拓扑：子集 $O \subseteq M$ 称为开集当且仅当 $\pi^{-1}(O)$ 在 $R$ 中开。此拓扑是使 $\pi$ 连续的最大拓扑。
直观上，$\pi$ 将 $R$ 的两条垂直边等同为一条线 $L = \pi(\{x=0\} \cup \{x=3\})$。限制在 $R_* = \{(x,y) \mid 0 < x < 3, \; 0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上，$\pi$ 是同胚 $R_* \to M \setminus L$。对于 $p \in L$，设 $p = \pi(0,y) = \pi(3,1-y)$，则 $p$ 的邻域可由两个半圆盘（分别以 $(0,y)$ 和 $(3,1-y)$ 为中心、半径相同）的并的像给出。等化拓扑与将 $M$ 实现为 $\mathbb{E}^3$ 中带半扭转的带子所诱导的子空间拓扑一致。
此定义是抽象的，不依赖于 $M$ 在欧几里得空间中的具体嵌入。
4.2 等化拓扑
一般定义
设 $X$ 为拓扑空间，$\mathscr{P}$ 是 $X$ 的一个划分（即互不相交的非空子集族，且覆盖 $X$）。构造等化空间 $Y$：
- $Y$ 的点是 $\mathscr{P}$ 的成员。
- 映射 $\pi: X \to Y$ 将每个点映至包含它的子集。
- $Y$ 的拓扑为等化拓扑：$O \subseteq Y$ 开当且仅当 $\pi^{-1}(O)$ 在 $X$ 中开。
基本定理
定理 4.1（连续性判据）
设 $Y$ 为上述等化空间，$Z$ 为任意拓扑空间。则映射 $f: Y \to Z$ 连续当且仅当复合映射 $f\pi: X \to Z$ 连续。
证明
由等化拓扑定义，$f$ 连续等价于：对任意开集 $U \subseteq Z$，$\pi^{-1}(f^{-1}(U))$ 在 $X$ 中开。而 $\pi^{-1}(f^{-1}(U)) = (f\pi)^{-1}(U)$，故结论成立。
定义（等化映射）
若满射 $f: X \to Y$ 的拓扑是使 $f$ 连续的最大拓扑，则称 $f$ 为等化映射。
定理 4.2（等化映射的性质）
若 $f: X \to Y$ 是等化映射，则：
- 空间 $Y$ 与由划分 $\{f^{-1}(y) \mid y \in Y\}$ 得到的等化空间 $Y_*$ 同胚；
- 映射 $g: Y \to Z$ 连续当且仅当 $gf: X \to Z$ 连续。
证明
(2) 与定理 4.1 类似。对于 (1)，定义 $h: Y_* \to Y$ 为 $h(\{f^{-1}(y)\}) = y$，则 $h$ 是双射且满足 $h\pi = f$，$h^{-1}f = \pi$。由定理 4.1 知 $h$ 连续，由 (2) 知 $h^{-1}$ 连续，故 $h$ 是同胚。
定理 4.3（等化映射的判别法）
设 $f: X \to Y$ 是满射。若 $f$ 将开集映为开集，或将闭集映为闭集，则 $f$ 是等化映射。
证明
假设 $f$ 是开映射。设 $U \subseteq Y$ 满足 $f^{-1}(U)$ 在 $X$ 中开。由于 $f$ 满，$f(f^{-1}(U)) = U$，故 $U$ 在 $Y$ 中开，从而 $Y$ 的拓扑是使 $f$ 连续的最大拓扑。闭映射情形类似。
推论 4.4
设 $f: X \to Y$ 是满射。若 $X$ 紧致且 $Y$ 是豪斯多夫空间，则 $f$ 是等化映射。
证明
紧致空间的闭子集紧致，其像在 $Y$ 中紧致。豪斯多夫空间的紧致子集闭，故 $f$ 是闭映射，由定理 4.3 即得。
应用示例
环面
两种描述：
- 单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 按如下划分等化：
- 四角点 $\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$；
- 点对 $\{(x,0),(x,1)\}$，$0 < x < 1$；
- 点对 $\{(0,y),(1,y)\}$，$0 < y < 1$；
- 单点 $\{(x,y)\}$，$0 < x,y < 1$。
- 两个圆的乘积 $S^1 \times S^1$。
定义映射 $f: [0,1] \times [0,1] \to S^1 \times S^1$ 为 $f(x,y) = (e^{2\pi i x}, e^{2\pi i y})$。其诱导的划分与上述一致。由于定义域紧致、值域豪斯多夫，由推论 4.4 知 $f$ 是等化映射，故两种描述同胚。
锥的构造
给定拓扑空间 $X$，定义其锥为等化空间 $CX = (X \times I) / (X \times \{1\})$，其中 $I = [0,1]$。直观上，将 $X \times I$ 的顶部“捏合”为一点。
若 $X$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的紧致子集，可定义几何锥：将 $X$ 嵌入 $\mathbb{E}^{n+1}$（末坐标 0），取点 $v = (0,\dots,0,1)$，几何锥为所有形如 $tv + (1-t)x$（$x \in X, t \in I$）的点集。
引理 4.5
若 $X$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的紧致子集，则几何锥与 $CX$ 同胚。
证明
定义 $f: X \times I \to \text{几何锥}$ 为 $f(x,t) = tv + (1-t)x$。此映射连续满射，且 $f(x,t)=f(x',t')$ 当且仅当 $(x,t)=(x',t')$ 或 $t=t'=1$。故 $f$ 诱导的划分与 $CX$ 相同。由于 $X \times I$ 紧致，几何锥豪斯多夫，由推论 4.4 知 $f$ 是等化映射，从而由定理 4.2(1) 知同胚。
等化空间 $B^n / S^{n-1}$
设 $B^n$ 是 $\mathbb{E}^n$ 中的单位球体，$S^{n-1}$ 为其边界。等化空间 $B^n / S^{n-1}$ 是将 $S^{n-1}$ 捏为一点所得。可以证明 $B^n / S^{n-1} \cong S^n$。
证明思路
构造映射 $f: B^n \to S^n$，使得 $f$ 在 $B^n \setminus S^{n-1}$ 上是同胚，并将 $S^{n-1}$ 映为一点。取同胚 $h_1: B^n \setminus S^{n-1} \to \mathbb{E}^n$ 和 $h_2: \mathbb{E}^n \to S^n \setminus \{p\}$，定义
$$
f(x) =
\begin{cases}
h_2 h_1(x) & x \in B^n \setminus S^{n-1}, \\
p & x \in S^{n-1}.
\end{cases}
$$
由推论 4.4（$B^n$ 紧致，$S^n$ 豪斯多夫）知 $f$ 是等化映射，故 $B^n / S^{n-1} \cong S^n$。
粘合引理
设 $X, Y$ 为拓扑空间的子集，赋予 $X \cup Y$ 诱导拓扑。若 $f: X \to Z$ 与 $g: Y \to Z$ 连续且在 $X \cap Y$ 上一致，则可定义 $f \cup g: X \cup Y \to Z$。
引理 4.6（粘合引理）
若 $X$ 和 $Y$ 在 $X \cup Y$ 中均为闭集（或均为开集），且 $f, g$ 连续，则 $f \cup g$ 连续。
证明
考虑 $Z$ 的闭集 $C$，则 $(f \cup g)^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C)$。由连续性，$f^{-1}(C)$ 在 $X$ 中闭，因 $X$ 闭，故在 $X \cup Y$ 中闭；同理 $g^{-1}(C)$ 在 $X \cup Y$ 中闭。故其并闭，得证。
该引理可用等化映射解释。记不交并为 $X + Y$，映射 $j: X + Y \to X \cup Y$ 为包含。若 $j$ 是等化映射，则由定理 4.2(2)，$f \cup g$ 连续当且仅当 $(f \cup g)j$ 连续，即 $f, g$ 连续。当 $X, Y$ 在 $X \cup Y$ 中闭时，$j$ 是闭映射，从而是等化映射，故粘合引理为其特例。
推广（定理 4.8）
设 $\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}$ 为一族空间，赋予并集 $\bigcup X_\alpha$ 诱导拓扑。给定连续映射 $f_\alpha: X_\alpha \to Z$ 且在交上一致，定义 $F: \bigcup X_\alpha \to Z$。若 $j: \oplus X_\alpha \to \bigcup X_\alpha$（不交并到并集的自然映射）是等化映射，则 $F$ 连续。
注意：当族有限且每个 $X_\alpha$ 在并集中闭时，并集自动具有等化拓扑；无限时需小心（反例见原文图 4.2）。
射影空间
实射影空间 $P^n$ 的三种等价描述：
- 将球面 $S^n$ 的对径点等同：$P^n = S^n / (x \sim -x)$。
- 将 $\mathbb{E}^{n+1} \setminus \{0\}$ 中的点按过原点的直线等同。
- 将球体 $B^n$ 的边界 $S^{n-1}$ 上的对径点等同。
利用定理 4.2 和推论 4.4 可证它们同胚。
附着映射
设 $X, Y$ 为空间，$A \subseteq Y$，$f: A \to X$ 连续。定义附着空间 $X \cup_f Y$ 为不交并 $X + Y$ 商去等价关系：对每个 $a \in A$，$a \sim f(a)$。即划分由以下子集组成：
- 点对 $\{a, f(a)\}$，$a \in A$；
- $Y \setminus A$ 中的单点；
- $X \setminus f(A)$ 中的单点。
映射 $f$ 称为附着映射。应用示例：将圆盘 $D$ 沿其边界圆附着到莫比乌斯带 $M$ 上，可得射影平面 $P^2$。
注记
等化空间继承 $X$ 的紧致性、连通性、道路连通性等性质，但豪斯多夫性可能丢失。例如，取 $\mathbb{R}$ 并划分：$r \sim s \iff r-s \in \mathbb{Q}$，所得等化空间不可分（非豪斯多夫）。