Ch5.1 同伦和基本群

5.1 同伦映射

基本群的定义依赖于从基点出发并返回的环路集合。更一般地，我们考虑映射之间的连续形变，即同伦。

定义 5.1（同伦）
设 $f, g: X \to Y$ 为拓扑空间之间的映射。若存在连续映射 $F: X \times I \to Y$ 使得对所有 $x \in X$ 有 $F(x,0) = f(x)$ 和 $F(x,1) = g(x)$，则称 $f$ 同伦于 $g$，记作 $f \simeq g$。映射 $F$ 称为从 $f$ 到 $g$ 的同伦。

若 $f$ 和 $g$ 在子集 $A \subseteq X$ 上相等，且同伦 $F$ 满足 $F(a,t) = f(a)$ 对所有 $a \in A$ 和 $t \in I$ 成立，则称 $f$ 相对于 $A$ 同伦于 $g$，记作 $f \simeq g \text{ rel } A$。

特别地，对于以点 $p$ 为基点的环路 $\alpha, \beta: I \to X$，若存在相对于 $\{0,1\}$ 的同伦，则称环路 $\alpha$ 和 $\beta$ 保持基点同伦。

同伦的实例

1. 凸集上的直线同伦
   设 $C$ 是欧几里得空间的凸子集，$f, g: X \to C$ 为映射。定义 $F(x,t) = (1-t)f(x) + t g(x)$，则 $F$ 是从 $f$ 到 $g$ 的同伦。若 $f$ 和 $g$ 在子集 $A \subseteq X$ 上相等，则此同伦是相对于 $A$ 的。

2. 球面映射的同伦
   设 $f, g: X \to S^n$ 为映射，且对任意 $x \in X$，$f(x)$ 与 $g(x)$ 不是对径点。将 $S^n$ 视为 $\mathbb{E}^{n+1}$ 中的单位球面，定义
   $$ F(x,t) = \frac{(1-t)f(x) + t g(x)}{\| (1-t)f(x) + t g(x) \|}, $$
   则 $F$ 是从 $f$ 到 $g$ 的同伦。

3. 单位圆周上的环路同伦
   考虑 $S^1 \subset \mathbb{C}$ 中以点 $1$ 为基点的两个环路 $\alpha$ 和 $\beta$：

   • 环路 $\alpha$ 分三段：
     • 在区间 $[0, \frac{1}{2}]$ 上逆时针绕圆周一圈；
     • 在区间 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ 上逆时针绕圆周一圈；
     • 在区间 $[\frac{3}{4}, 1]$ 上顺时针绕圆周一圈。
   • 环路 $\beta$ 在整个区间 $[0,1]$ 上逆时针绕圆周一圈。
     存在相对于 $\{0,1\}$ 的同伦 $F: I \times I \to S^1$，其表达式为
     $$ F(s,t) = \begin{cases} \exp\left( \dfrac{4\pi i s}{t+1} \right), & 0 \leq s \leq \dfrac{t+1}{2}, \\ \exp\bigl( 4\pi i (2s - 1 - t) \bigr), & \dfrac{t+1}{2} \leq s \leq \dfrac{t+3}{4}, \\ \exp\bigl( 8\pi i (1-s) \bigr), & \dfrac{t+3}{4} \leq s \leq 1. \end{cases} $$
     该同伦连续，且保持基点不变。

同伦的基本性质

引理 5.2
同伦关系 $\simeq$ 是从拓扑空间 $X$ 到 $Y$ 的所有映射集合上的等价关系。

证明概要

• 自反性：取常值同伦 $F(x,t) = f(x)$。
• 对称性：若 $F$ 是 $f$ 到 $g$ 的同伦，则 $G(x,t) = F(x,1-t)$ 给出 $g$ 到 $f$ 的同伦。
• 传递性：若 $F$ 连接 $f$ 与 $g$，$G$ 连接 $g$ 与 $h$，则
  $$ H(x,t) = \begin{cases} F(x,2t), & 0 \leq t \leq \frac{1}{2}, \\ G(x,2t-1), & \frac{1}{2} \leq t \leq 1, \end{cases} $$
  连接 $f$ 与 $h$。

引理 5.3
相对于子集 $A \subseteq X$ 的同伦关系是所有在 $A$ 上取相同值的映射集合上的等价关系。

证明
在引理 5.2 的构造中，若所有映射在 $A$ 上一致且同伦保持 $A$ 不动，则所得同伦也是相对于 $A$ 的。

引理 5.4（同伦与复合的相容性）
同伦在映射复合下保持良好。具体而言：

1. 若 $f, g: X \to Y$ 满足 $f \simeq g \text{ rel } A$，且 $h: Y \to Z$ 连续，则
   $$ h \circ f \simeq h \circ g \text{ rel } A. $$
2. 若 $f: X \to Y$ 连续，且 $g, h: Y \to Z$ 满足 $g \simeq h \text{ rel } B$ 对于某子集 $B \subseteq Y$，则
   $$ g \circ f \simeq h \circ f \text{ rel } f^{-1}(B). $$

证明

1. 若 $F$ 是连接 $f$ 与 $g$ 的同伦，则 $H(x,t) = h(F(x,t))$ 连接 $h \circ f$ 与 $h \circ g$，且在 $A$ 上保持不变。
2. 若 $G$ 是连接 $g$ 与 $h$ 的同伦，则 $H(x,t) = G(f(x),t)$ 连接 $g \circ f$ 与 $h \circ f$，且在 $f^{-1}(B)$ 上保持不变。

5.2 基本群

同伦类与乘法

设 $X$ 为拓扑空间，选定基点 $p \in X$。考虑所有以 $p$ 为基点的环路 $\alpha: I \to X$ 的集合。如5.1节所述，相对于 $\{0,1\}$ 的同伦关系是该集合上的等价关系。环路 $\alpha$ 所在的等价类称为同伦类，记作 $\langle \alpha \rangle$。

定义同伦类之间的乘法为：

$$ \langle \alpha \rangle \cdot \langle \beta \rangle = \langle \alpha \cdot \beta \rangle $$

其中 $\alpha \cdot \beta$ 为环路的乘积：

$$ (\alpha \cdot \beta)(s) = \begin{cases} \alpha(2s), & 0 \leq s \leq \frac{1}{2}, \\ \beta(2s-1), & \frac{1}{2} \leq s \leq 1. \end{cases} $$

此乘法良定义：若 $\alpha' \simeq \alpha \text{ rel } \{0,1\}$ 且 $\beta' \simeq \beta \text{ rel } \{0,1\}$，则存在同伦 $H: I \times I \to X$ 使得

$$ H(s,t) = \begin{cases} F(2s, t), & 0 \leq s \leq \frac{1}{2}, \\ G(2s-1, t), & \frac{1}{2} \leq s \leq 1, \end{cases} $$

其中 $F, G$ 分别为连接 $\alpha'$ 与 $\alpha$、$\beta'$ 与 $\beta$ 的同伦。由粘合引理保证连续性，故 $\alpha' \cdot \beta' \simeq \alpha \cdot \beta \text{ rel } \{0,1\}$。

定理 5.5：基本群的群结构

以点 $p$ 为基点的环路同伦类集合在上述乘法下构成一个群，称为空间 $X$ 在基点 $p$ 处的基本群，记作 $\pi_1(X, p)$。

证明

以下验证群公理，其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为以 $p$ 为基点的环路。

1. 结合律：需证 $(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma \simeq \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) \text{ rel } \{0,1\}$。
   注意到 $(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = [\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)] \circ f$，其中 $f: I \to I$ 定义为
   $$ f(s) = \begin{cases} 2s, & 0 \leq s \leq \frac{1}{4}, \\ s + \frac{1}{4}, & \frac{1}{4} \leq s \leq \frac{1}{2}, \\ \frac{s+1}{2}, & \frac{1}{2} \leq s \leq 1. \end{cases} $$
   由于 $I$ 凸且 $f(0)=0, f(1)=1$，存在相对于 $\{0,1\}$ 的直线同伦连接 $f$ 与恒等映射 $1_I$。由引理5.4得
   $$ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma \simeq [\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)] \circ 1_I = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) \quad \text{rel } \{0,1\}. $$
   故 $\langle \alpha \cdot \beta \rangle \cdot \langle \gamma \rangle = \langle \alpha \rangle \cdot \langle \beta \cdot \gamma \rangle$。

2. 单位元：取常值环路 $e(s)=p$ 的同伦类 $\langle e \rangle$。
   验证 $\langle e \rangle \cdot \langle \alpha \rangle = \langle \alpha \rangle$：
   $e \cdot \alpha = \alpha \circ f$，其中 $f: I \to I$ 满足
   $$ f(s) = \begin{cases} 0, & 0 \leq s \leq \frac{1}{2}, \\ 2s-1, & \frac{1}{2} \leq s \leq 1. \end{cases} $$
   由于 $f \simeq 1_I \text{ rel } \{0,1\}$，故 $e \cdot \alpha \simeq \alpha \text{ rel } \{0,1\}$。
   同理可证 $\langle \alpha \rangle \cdot \langle e \rangle = \langle \alpha \rangle$。

3. 逆元：定义 $\alpha^{-1}(s) = \alpha(1-s)$，则 $\langle \alpha^{-1} \rangle$ 为 $\langle \alpha \rangle$ 的逆元。
   验证 $\alpha \cdot \alpha^{-1} \simeq e \text{ rel } \{0,1\}$：
   $\alpha \cdot \alpha^{-1} = \alpha \circ f$，其中
   $$ f(s) = \begin{cases} 2s, & 0 \leq s \leq \frac{1}{2}, \\ 2-2s, & \frac{1}{2} \leq s \leq 1. \end{cases} $$
   注意到 $f(0)=f(1)=0$，存在相对于 $\{0,1\}$ 的同伦连接 $f$ 与常值映射 $g(s)=0$，从而 $\alpha \cdot \alpha^{-1} \simeq \alpha \circ g = e$。
   同理可证 $\alpha^{-1} \cdot \alpha \simeq e$。

综上，$\pi_1(X, p)$ 构成群。

基点无关性

对于道路连通空间，基本群在同构意义下不依赖于基点选择。

定理 5.6

若 $X$ 道路连通，则对任意两点 $p, q \in X$，群 $\pi_1(X, p)$ 与 $\pi_1(X, q)$ 同构。

证明

选取道路 $\gamma: I \to X$ 满足 $\gamma(0)=p, \gamma(1)=q$。定义映射 $\gamma_*: \pi_1(X, p) \to \pi_1(X, q)$ 为
$$ \gamma_*(\langle \alpha \rangle) = \langle \gamma^{-1} \cdot \alpha \cdot \gamma \rangle, $$
其中 $\gamma^{-1}(s) = \gamma(1-s)$，且 $\gamma^{-1} \cdot \alpha \cdot \gamma$ 表示道路的复合（先沿 $\gamma^{-1}$ 从 $q$ 到 $p$，再沿环路 $\alpha$ 绕行，最后沿 $\gamma$ 返回 $q$）。利用以下关于道路同伦的性质可证 $\gamma_*$ 为同构：

1. 若 $\gamma \simeq \gamma' \text{ rel } \{0,1\}$ 且 $\sigma \simeq \sigma' \text{ rel } \{0,1\}$，则 $\gamma \cdot \sigma \simeq \gamma' \cdot \sigma' \text{ rel } \{0,1\}$。
2. 对满足端点衔接的三条道路 $\gamma, \sigma, \delta$，有 $(\gamma \cdot \sigma) \cdot \delta \simeq \gamma \cdot (\sigma \cdot \delta) \text{ rel } \{0,1\}$。
3. $\gamma \cdot \gamma^{-1} \simeq e_p \text{ rel } \{0,1\}$，其中 $e_p$ 为点 $p$ 处的常值道路；同理 $\gamma^{-1} \cdot \gamma \simeq e_q$。

由此可验证 $\gamma_*$ 为同态且具有逆 $(\gamma^{-1})_*$，故为同构。

因此，对道路连通空间 $X$，可记其基本群为 $\pi_1(X)$，意指在同构意义下唯一确定。

连续映射诱导的同态

连续映射诱导基本群间的同态。

定理 5.7

设 $f: X \to Y$ 连续，取基点 $p \in X$，记 $q = f(p)$。则 $f$ 诱导同态
$$ f_*: \pi_1(X, p) \to \pi_1(Y, q), \quad f_*(\langle \alpha \rangle) = \langle f \circ \alpha \rangle. $$

进一步，若另有连续映射 $g: Y \to Z$ 及基点 $r = g(q)$，则有
$$ (g \circ f)_* = g_* \circ f_*. $$

证明

首先验证 $f_*$ 良定且为同态：
若 $\alpha \simeq \beta \text{ rel } \{0,1\}$，则 $f \circ \alpha \simeq f \circ \beta \text{ rel } \{0,1\}$（引理5.4）。且
$$ f \circ (\alpha \cdot \beta) = (f \circ \alpha) \cdot (f \circ \beta), $$
故 $f_*(\langle \alpha \rangle \cdot \langle \beta \rangle) = f_*(\langle \alpha \rangle) \cdot f_*(\langle \beta \rangle)$。

对于复合映射，直接计算：
$$ (g \circ f)_*(\langle \alpha \rangle) = \langle (g \circ f) \circ \alpha \rangle = \langle g \circ (f \circ \alpha) \rangle = g_*(\langle f \circ \alpha \rangle) = (g_* \circ f_*)(\langle \alpha \rangle). $$

特别地，若 $h: X \to Y$ 为同胚，则 $h_*: \pi_1(X, p) \to \pi_1(Y, h(p))$ 为同构，其逆为 $(h^{-1})_*$。因此，同胚的道路连通空间具有同构的基本群。

函子性质

在范畴论中，函子是不同范畴之间的结构保持映射。具体而言，设 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 为两个范畴，一个函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 由以下两部分构成：

1. 对象映射：将 $\mathcal{C}$ 中每个对象 $X$ 映射到 $\mathcal{D}$ 中一个对象 $F(X)$。
2. 态射映射：将 $\mathcal{C}$ 中每个态射 $f: X \to Y$ 映射到 $\mathcal{D}$ 中一个态射 $F(f): F(X) \to F(Y)$。

并要求满足以下两条公理：

• 单位态射的保持：对 $\mathcal{C}$ 中任意对象 $X$，有 $F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}$。
• 复合运算的保持：对 $\mathcal{C}$ 中任意可复合的态射 $f: X \to Y$ 与 $g: Y \to Z$，有 $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$。

函子分为两类：协变函子（如上所述）与反变函子（将复合顺序反转，即 $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$）。函子是范畴之间保持结构的工具。

基本群的函子性质

基本群的构造定义了一个从带基点的拓扑空间范畴到群范畴的协变函子。具体设定如下：

• 源范畴：对象为二元组 $(X, p)$，其中 $X$ 是道路连通拓扑空间，$p \in X$ 为基点；态射为保持基点的连续映射 $f: (X, p) \to (Y, q)$（即 $f(p) = q$）。
• 目标范畴：对象为群，态射为群同态。

定义函子 $\pi_1$ 如下：

• 对象对应：将 $(X, p)$ 映射到基本群 $\pi_1(X, p)$。
• 态射对应：将连续映射 $f: (X, p) \to (Y, q)$ 映射到诱导的同态
  $$ f_*: \pi_1(X, p) \to \pi_1(Y, q), \quad f_*(\langle \alpha \rangle) = \langle f \circ \alpha \rangle. $$

我们验证函子公理：

1. 单位态射的保持：恒等映射 $\mathrm{id}_{(X, p)}$ 诱导的同态 $(\mathrm{id}_X)_*$ 满足
   $$ (\mathrm{id}_X)_*(\langle \alpha \rangle) = \langle \mathrm{id}_X \circ \alpha \rangle = \langle \alpha \rangle, $$
   即 $(\mathrm{id}_X)_*$ 是 $\pi_1(X, p)$ 上的恒等同态，故 $\pi_1(\mathrm{id}_{(X, p)}) = \mathrm{id}_{\pi_1(X, p)}$。

2. 复合运算的保持：给定映射 $f: (X, p) \to (Y, q)$ 与 $g: (Y, q) \to (Z, r)$，对任意 $\langle \alpha \rangle \in \pi_1(X, p)$，
   $$ (g \circ f)_*(\langle \alpha \rangle) = \langle (g \circ f) \circ \alpha \rangle = \langle g \circ (f \circ \alpha) \rangle = g_*( \langle f \circ \alpha \rangle ) = g_*( f_*( \langle \alpha \rangle ) ), $$
   故 $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$，即 $\pi_1(g \circ f) = \pi_1(g) \circ \pi_1(f)$。

因此，基本群构造确为一个协变函子。这一性质保证了：

• 拓扑不变性：若两个带基点空间同胚，则它们的基本群同构（因为同胚诱导群同构）。
• 同伦不变性：实际上，基本群是更广泛的同伦不变量——若两个空间具有相同的同伦型，则它们的基本群同构（进一步的讨论涉及同伦等价诱导的同构）。

5.3 Brouwer 不动点定理

作为基本群应用的一个重要例子，我们证明 Brouwer 不动点定理。

Brouwer不动点定理（二维情形）

设 $D^2 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \}$ 为单位闭圆盘，则任意连续映射 $f: D^2 \to D^2$ 必存在不动点，即存在 $p \in D^2$ 使得 $f(p) = p$。

证明

假设存在连续映射 $f: D^2 \to D^2$ 无不动点，即对任意 $x \in D^2$，均有 $f(x) \neq x$。

由于对任意 $x \in D^2$，点 $x$ 与 $f(x)$ 不重合，可定义从 $x$ 出发经过 $f(x)$ 的射线。该射线与单位圆周 $S^1 = \partial D^2$ 有唯一交点（因为圆盘凸且射线方向指向圆盘外）。具体构造如下：

对任意 $x \in D^2$，考虑参数方程：
$$ \gamma(t) = x + t \bigl( f(x) - x \bigr), \quad t \geq 0. $$
我们需要解方程 $\|\gamma(t)\| = 1$ 以确定射线与 $S^1$ 的交点。定义实函数：
$$ \varphi(t) = \| x + t(f(x)-x) \|^2 - 1. $$
易见 $\varphi(0) = \|x\|^2 - 1 \leq 0$，且当 $t \to +\infty$ 时 $\varphi(t) \to +\infty$（因为 $f(x)-x \neq 0$）。由连续函数介值定理，存在唯一的 $t = t(x) \geq 0$ 使得 $\varphi(t) = 0$。进一步，由于 $\varphi$ 关于 $t$ 是严格凸的二次函数（除非 $f(x)-x$ 与 $x$ 共线且反向，但此时仍可证唯一性），该 $t(x)$ 唯一且连续依赖于 $x$（由隐函数定理）。定义映射：
$$ r: D^2 \to S^1, \quad r(x) = x + t(x) \bigl( f(x) - x \bigr). $$
则 $r$ 连续，且当 $x \in S^1$ 时，显然 $t(x)=0$，从而 $r(x)=x$。即 $r|_{S^1} = \operatorname{id}_{S^1}$。换言之，$r$ 是圆盘 $D^2$ 到其边界圆周 $S^1$ 的一个收缩映射，且保持边界上每点不动。

令 $i: S^1 \hookrightarrow D^2$ 为包含映射。由构造知：
$$ r \circ i = \operatorname{id}_{S^1}. $$

取基点 $x_0 \in S^1$，考虑基本群及诱导同态：
$$ \pi_1(S^1, x_0) \xrightarrow{i_*} \pi_1(D^2, x_0) \xrightarrow{r_*} \pi_1(S^1, x_0). $$
由函子性质及 $r \circ i = \operatorname{id}_{S^1}$ 得：
$$ r_* \circ i_* = (r \circ i)_* = (\operatorname{id}_{S^1})_* = \operatorname{id}_{\pi_1(S^1, x_0)}. $$

已知：

• $\pi_1(S^1, x_0) \cong \mathbb{Z}$（非平凡），
• $\pi_1(D^2, x_0) = 0$（圆盘单连通）。

因此，$i_*: \pi_1(S^1, x_0) \to 0$ 为零同态，从而 $r_* \circ i_*$ 也是零同态。但另一方面，$r_* \circ i_*$ 是 $\pi_1(S^1, x_0)$ 上的恒等同构，这与零同态矛盾（因为 $\mathbb{Z}$ 不是零群）。