毕设开题论文翻译 1
控制流适配：一种高效的噪声量子网络仿真方法
林汇平*，邓芮萱*，Chris Z.Yao*，季铮锋$\dagger$，应明生
*清华大学 $\dagger$中关村实验室
邮箱： lhp22@mails.tsinghua.edu.cn, dengrx24@mails.tsinghua.edu.cn, chrisyaochrisyao@hotmail.com, jizhengfeng@tsinghua.edu.cn, yingmsh@mail.tsinghua.edu.cn
摘要 — 量子网络研究，无论是在软件栈层面还是硬件实现层面，已成为量子信息科学中一个令人兴奋的领域。尽管在过去十年中已经出现了小规模量子网络的演示，但量子通信和计算硬件在今天仍然是稀缺资源。因此，量子网络协议的评估和验证主要依赖于经典仿真器而非真实的量子网络。本文介绍了一种新颖的量子网络仿真方法，称为控制流适配，它通过仔细利用协议的控制流结构，增强了标准张量网络仿真，从而能够准确高效地仿真许多重要的量子网络协议。此外，我们开发了一个原型量子网络仿真器 qns-3，作为 ns-3 的一个模块。这个新模块实现了控制流适配技术，并将其应用于多种协议。所有相关代码均已开源 [1]。我们相信，控制流适配方法和 qns-3 仿真器的发展代表了量子网络研究向前迈出了一步，为在经典计算机上测试和验证量子网络协议提供了一个多功能、可扩展的平台。
索引术语 — 量子网络，网络仿真，量子计算，量子通信
I. 引言
随着不同量子算法及其在分布式计算 [9], [7], [38] 和密码学 [19], [31], [10] 等领域的快速发展，构建能够在不同量子计算单元之间提供量子通信能力的量子网络已成为一项至关重要的任务 [41], [25], [48], [6], [37], [21]。特别是，网络研究中开发的方法和技术可以扩展和调整，以极大地促进量子网络的研究。
量子网络仿真的必要性：在经典网络研究中，网络仿真作为评估计算机网络效率的软件应用。在量子网络背景下，网络仿真的优势更为明显。由于通信网络的复杂性增加，分析方法无法完全理解系统行为。量子网络仿真提供了一个安全的环境来预测网络性能，而无需物理构建整个量子网络系统，由于量子设备在今天仍然昂贵，这显著降低了硬件和维护成本 [16]。
量子网络仿真的挑战：由于经典网络与量子网络之间的根本差异，经典网络的仿真技术不能简单地移植到量子场景中：
- 量子信息是"连续的"，因为量子比特的幅值可以是任何复数，这使得用经典比特来表示它们是不切实际的。因此，量子网络的仿真无法直接使用经典网络仿真器实现。
- 量子特性，如纠缠和叠加 [34], [44], [47]，增加了显著的仿真复杂性。一个具有 $n$ 个量子比特的量子系统需要 $2^n$ 个复数来表示其状态。随着量子比特数量的增加，存储和操作这些状态所需的计算资源呈指数级增长。
- 量子系统对其环境高度敏感，导致退相干和噪声 [12]。精确建模量子噪声具有挑战性但对于实现逼真仿真至关重要 [48]。
主要创新：为了应对这些挑战，我们的工作包含两项关键创新。首先，我们引入了一种称为控制流适配（CFA） 的新技术，旨在提高各种量子协议的仿真效率。其次，我们开发了一个量子仿真器 qns-3，作为 ns-3 [40] 的一个模块，将 CFA 技术集成到该仿真器中。
在量子网络中，许多协议可以在 LOCC（局域操作与经典通信）框架下建模。在这些协议中，不同方接收的经典信息会影响未来的量子操作，如果直接进行仿真，则需要构建复杂的后端来跟踪量子状态。例如，张量网络方法是量子信息经典仿真的强大技术，但随着协议变得复杂和量子比特数量增加，张量网络的收缩复杂性通常会呈指数增长。仿真量子网络中的噪声行为对张量网络方法提出了进一步的挑战，因为噪声在张量网络表示中添加了许多新的收缩（参见图 3）。此外，量子测量会给量子网络协议仿真带来随机性，这是另一个复杂性的来源。为了在验证协议时获得平均仿真结果，可能需要采用蒙特卡洛方法并运行大量仿真。
我们在此背景下提出的 CFA 方法执行控制流分析，以确定 LOCC 协议未来轮次所需的信息。通过以符合张量网络能力的方式压缩和调整经典控制流，我们可以高效地处理许多量子网络协议的复杂性。这种仔细的适配确保了控制流信息能够无缝集成到张量网络仿真框架中。这种方法无需忠实仿真所有量子测量并揭示一个可能的分支，而是提供了一种能够在单轮中整合所有可能结果的机制。
本文还介绍了第一个基于 ns-3 设计的量子网络仿真器，遵循 ns-3 的约定提供了合适的 API [22]，命名为 qns-3。鉴于 ns-3 作为经典网络研究中使用最广泛的网络仿真器的地位，我们相信我们的工作将为专注于经典网络并有意深入研究量子网络领域的学者和工程师提供宝贵的帮助。目前，qns-3 支持由 CFA 方法增强的张量网络后端。我们计划在不久的将来扩展 qns-3 的功能。
仿真器框架：我们的仿真器利用 ns-3 的离散事件仿真模型，在其事件调度器中纳入了量子操作、量子通信和量子噪声的管理，并实现了控制流适配方法。具体来说，某些类型的噪声与时间相关，并在需要时根据事件之间的经过时间进行施加。我们选择用来建模所有量子成分的数据结构是张量网络，它可以有效地表示量子网络所需的所有基本组件，包括量子态、门和噪声。
qns-3 的框架如图 1 所示，其中展示了仿真器和网络模型的基本组件。网络包含两大类组件：量子节点（QNode） 和量子信道（QChannel）。量子节点模拟量子网络中可以本地运行不同量子程序或算法的主机。它们还配备了提供通信能力的经典和量子网络设备。量子信道指的是可以传输量子信息的物理管道，在量子信息论中被数学建模为完全正定保迹映射 [34]。在我们的设置中，量子信道用于量子节点之间的纠缠生成或直接量子比特传输。
论文组织：第 II 节回顾了相关的现有工作。第 III 节展示了一些必要的预备知识。第 IV 节详尽描述了我们关键的技术：控制流适配。第 V 节概述了 qns-3 中集成的量子网络模型。第 VI 节深入探讨了我们 qns-3 的实现。第 VII 节展示了我们仿真器的实验结果。最后，第 VIII 节给出简要结论。
II. 相关工作
我们回顾了过去几年为构建量子网络仿真器而开发的现有工作。目前，已经发布了各种量子网络仿真器，包括通用仿真器如 QNET [20]、QuISP [42]、QuNetSim [17]、SeQUeNCe [49]、SQUANCH [2] 和 NetSquid [13]，以及专用仿真器如 qkdX [32] 和 QuNet [28]。我们简要概述其中一些仿真器，并将它们与 qns-3 进行比较。
NetSquid 是一款旨在建模和仿真可扩展量子网络的软件工具，它从头开始构建了一个全面的框架，包括物理模型组合、量子和经典通信端口，以及所有必要的硬件组件。它集成了各种关键技术，如离散事件仿真引擎、专门的量子计算库、用于建模量子硬件设备的模块化框架，以及用于描述量子协议的异步编程框架。因此，NetSquid 是目前最全面、设计最好的网络仿真器之一。然而，需要注意的是，NetSquid 不是开源的。NetSquid 忠实地仿真网络中的所有事件。但据我们所知，它没有针对网络协议进行特定的优化。
QuISP 也是一个事件驱动的仿真器。它旨在通过仅使用每个量子比特的向量来跟踪 7 种特定错误类型，从而仿真大规模量子网络。错误追踪思想使其能够仿真大型网络，但仅记录特定错误的方法无法忠实地模拟网络行为，使其在许多情况下不适用且不准确。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{年份} & \text{仿真器} & \text{语言} & \text{开源} & \text{通用性} & \text{离散事件} & \text{忠实仿真} & \text{无需MC} \\ \hline 2023 & \text{QNS-3} & \text{C++} & \text{是} & \text{是} & \text{是} & \text{是} & \text{是} \\ 2022 & \text{QNET} & \text{Python} & \text{是} & \text{是} & \text{否} & \text{是} & \text{否} \\ 2020 & \text{NetSquid} & \text{Python} & \text{否} & \text{是} & \text{是} & \text{是} & \text{否} \\ 2020 & \text{SeQUeNCe} & \text{Python} & \text{是} & \text{是} & \text{是} & \text{是} & \text{否} \\ 2020 & \text{QuNetSim} & \text{Python} & \text{是} & \text{是} & \text{否} & \text{是} & \text{否} \\ 2019 & \text{QuISP} & \text{C++} & \text{是} & \text{是} & \text{是} & \text{否} & \text{是} \\ 2021 & \text{QuNet} & \text{Julia} & \text{是} & \text{否} & \text{否} & \text{是} & \text{否} \\ 2015 & \text{qkdX} & \text{C++} & \text{是} & \text{否} & \text{是} & \text{是} & \text{否} \\ \hline \end{array} $$
表 I：不同仿真器的比较。 "是"表示支持该特性，"否"表示不支持。最后一列中的"无需 MC"表示在获取量子协议的平均结果时是否可以避免蒙特卡洛仿真。
在表 I 中，我们列出了许多其他量子网络仿真器，并将它们与 qns-3 进行比较。我们可以看到，大多数仿真器通常是开源的，并且主要使用 Python 开发，有两个明显的例外，QuISP 和 qkdX，它们是用 C++ 实现的。这些仿真器基于 OMNeT++，这是一个基于组件的 C++ 仿真框架。值得注意的是，目前没有任何现有的量子仿真器支持 ns-3 这个用于互联网的非常流行的离散事件网络仿真器。此外，大多数仿真器通过忠实地复制所有操作并跟踪网络中每个量子比特的状态来确保精确仿真，没有任何时间或空间优化。相比之下，qns-3 基于 ns-3 构建，可能对熟悉传统网络的研究人员和工程师更具可访问性。它专注于仿真效率，使得能够进行对网络研究有价值的大规模仿真。
III. 预备知识
在本节中，我们为不熟悉量子计算的读者展示一些必要的定义和符号。全文遵循 [34] 中的标准符号。
量子网络将信息编码到量子态中，最常用的量子系统是量子比特。它有两个基态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$，类似于经典计算中的二进制位 0 和 1。与只能是 0 或 1 的经典比特不同，量子比特可以处于两个基态的叠加态，写作 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是满足 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ 的复概率幅。$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 也可以看作是一个二维Hilbert空间 $\mathcal{H}$ 的基，因此 $|\psi\rangle$ 也可以看作是 $\mathcal{H}$ 中的一个列向量。$\langle\psi|$ 表示 $|\psi\rangle$ 的埃尔米特共轭。
纠缠的概念描述了多量子比特态中的一种特殊现象，即系统的量子比特不能独立于其他量子比特的状态而被单独描述。纠缠态是执行许多量子网络协议的宝贵资源 [36], [24], [51]。最广泛使用的纠缠态是四个 EPR 态，写作：
$$ |\phi_{\pm}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle \pm |11\rangle), \quad |\psi_{\pm}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle \pm |10\rangle). $$
在不失一般性的情况下，提及 EPR 对时，我们默认指 $|\phi_{+}\rangle$。
贝尔测量是一种对两个量子比特 $q_1, q_2$ 的测量，用于确定这两个量子比特处于四个 EPR 态中的哪一个。它是通过对 $q_1$ 和 $q_2$ 应用一个 CNOT 门，在 $q_1$ 上应用一个 Hadamard 门，然后使用标准基测量这两个量子比特来实现的。它广泛用于量子通信。
纯态是可以用单个向量描述的状态。上面给出的所有量子态都是纯态。混合态是纯态的统计系综，由密度矩阵描述：
$$ \rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|, \quad \text{其中} \sum_i p_i = 1. $$
保真度是衡量两个量子态"接近程度"的度量。对于任意两个混合态 $\rho$ 和 $\sigma$，它们的保真度表示为：
$$ F(\rho, \sigma) = \left( \operatorname{tr} \sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}} \right)^2. $$
在下面的段落中，我们主要考虑混合态 $\rho$ 与纯态 $|\psi\rangle$ 之间的保真度。在这种情况下，保真度表示为 $F(\rho, |\psi\rangle) = \operatorname{tr}(\langle\psi|\rho|\psi\rangle)$。
不可克隆定理[34], [29] 指出，不可能创建未知量子态的副本。这对于理解量子信息至关重要，并解释了量子网络中的许多设计选择。
局域操作与经典通信（LOCC） 指的是一类可以在单个量子子系统上单独执行，然后在参与方之间进行经典通信的操作。LOCC 在量子网络研究中具有重要意义，因为大多数量子网络协议都是基于 LOCC 的，辅以 EPR 分发。可以被视为多轮 LOCC 协议的网络协议的通用描述在协议 1 中给出。
张量网络 指的是一种数据结构以及用于理解和解释多线性映射的相关重要技术集合。张量网络是相互连接的张量（多维数组）的集合，以图形方式表示复杂的线性代数计算。每个张量都是向量和矩阵向更高维度的推广，它们之间的连接表示对共享索引的求和。它或许是量子计算最成功的数值仿真方法，可以轻松表示量子信息中常见的量子态、测量和信道。我们建议读者参考 [35], [4] 深入了解张量网络。
量子系统非常脆弱，容易受到噪声的影响。在经典计算中，因为二进制位只有两种"状态"，我们只需要考虑比特翻转错误和丢失错误。量子噪声与经典噪声完全不同，被建模为算子空间之间的完全正定保迹（CPTP）映射。它们的效果可以用一组 Kraus 算子 $\{E_i\}$ 表示：
$$ \rho \mapsto \sum_i E_i \rho E_i^\dagger, \quad \text{其中} \sum_i E_i^\dagger E_i = I. $$
在量子网络中，量子噪声无处不在。即使没有任何操作发生，量子噪声也会逐渐在量子系统中引入退相干。因此，在量子网络中建模量子噪声是棘手的，我们将在第 VI 节提出一个合理简化的噪声模型。
IV. 关键技术
在本节中，我们介绍了用于提高基于张量网络的 LOCC 协议仿真效率的关键技术方法：控制流适配（Control Flow Adaption）。我们将首先给出该方法的总体描述，然后讨论如何在两个示例中应用它。最后，我们强调该方法带来的优势。第 VII 节中的实验结果从数值上证实了这些优势。
A. 总体描述
协议 1 L 轮 LOCC
参与方：$P_1, P_2, \ldots, P_n$.
协议：对于 $i = 1, \ldots, L$：
- 局域操作：$P_1, P_2, \ldots, P_n$ 根据他们在前一轮收到的所有消息 $c_1^{i-1}, \ldots, c_n^{i-1}$（如果 $i=1$，则 $c_j^0$ 为空字符串）对他们本地的量子比特应用局域操作，并获得他们想要通信的新经典信息 $c_1^i, \ldots, c_n^i \in \{0,1\}^*$.
- 经典通信：$P_1, P_2, \ldots, P_n$ 以经典方式分发 $c_1^i, \ldots, c_n^i$.
在 LOCC 协议的每一轮中，经典消息将决定下一轮中的某些操作。在量子协议中，这些经典消息要么来自经典输入，要么来自量子测量。当各方进行经典通信时，他们可能会交换他们的测量结果以确定后续操作。通过分析每一轮协议的控制流，根据消息 $r \in \{1, 2, \ldots, k\}$，他们的操作 $A_r \in \{A_1, A_2, \ldots, A_k\}$ 被描述为量子操作 $A_r \in \{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_k\}$.
如果测量结果决定了进一步的操作，忠实仿真测量（通过生成随机值并据此确定测量结果来实现）并使用结果作为经典控制流，只能让我们研究多种可能性中的一个分支。然后，可能需要遵循蒙特卡洛方法并运行大量仿真以获得平均仿真结果。我们的仿真器支持这种直接的仿真，但也提供了一种使用户能够在张量网络中精确表示感兴趣量的方法。
我们首先非正式地介绍我们方法背后的直觉。网络协议的每一轮都由一组量子操作 $A_r$ 建模，这些操作由经典寄存器 $r$ 中的信息决定。一个直接的仿真方法是计算 $r$ 并应用相应的量子操作。如果 $r$ 的经典值有 $k$ 种不同的可能性，直接仿真方法只能研究 $k$ 个可能分支中的一个。我们的想法是使用一个量子寄存器 $R$，它包含 $\{|1\rangle, |2\rangle, \ldots, |k\rangle\}$ 的叠加态来存储 $r$ 中的内容，并使用延迟测量原理 [34] 将依赖于 $r$ 的量子操作更改为由 $R$ 控制的量子控制操作。更多细节在下面的讨论中提供。
B. 控制流适配
我们现在正式描述控制流适配方法，它包含三个阶段：控制流压缩、适配酉算子设计和消息量子比特收缩。对于任何 $L$ 轮 LOCC 协议，考虑协议的第 $i$ 轮（$i = 1, \ldots, L$）。该方法工作如下：
-
控制流压缩：第一阶段是分析从测量中提取的信息。第 $i$ 轮从前一轮接收一个名为 $R_{i-1}$ 的量子比特寄存器，其中包含当前轮所需的必要控制信息。各方作为一个集合根据 $j \in \{1, 2, \ldots, k_{i-1}\}$ 应用操作 $A_j^i \in \{A_1^i, \ldots, A_{k_{i-1}}^i\}$。这些操作被描述为作用在张量网络中表示的所有量子比特上的量子操作 $\{\mathcal{A}_1^i, \ldots, \mathcal{A}_{k_{i-1}}^i\}$。因此，我们可以设计一个量子操作 $\mathcal{C}_i$，满足：
$$ \mathcal{C}_i(|j\rangle\langle j| \otimes \rho^S) = |j\rangle\langle j| \otimes \mathcal{A}_j^i(\rho^S), $$
其中 $\rho^S$ 表示整个系统的状态。很容易验证，如果每个 $\mathcal{A}_j^i$ 有 Kraus 算子集 $\{E_j^{i,k}\}$，那么 Kraus 算子集 $\{\tilde{E}_j^{i,k} := |j\rangle\langle j| \otimes E_j^{i,k}\}$ 描述了量子操作 $\mathcal{C}_i$.各方测量量子比特 $q_1^i, \ldots, q_{n_i}^i$，并令测量结果为 $m_1^i, \ldots, m_{n_i}^i$。然后他们计算一个函数 $f_i$，该函数以测量结果 $m_1^i, \ldots, m_{n_i}^i$ 和先前的控制信息 $j$ 作为输入，并输出 $j' \in \{1, 2, \ldots, k_i\}$，即下一轮的经典控制流。函数 $f_i$ 的作用是根据每个输入的控制模式对其输入空间进行划分。
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适配酉算子设计：第二阶段是设计一个量子适配酉算子 $U_{\mathrm{cfa}}^i$，它模拟函数 $f_i$ 的计算。$U_{\mathrm{cfa}}^i$ 作用在量子比特 $q_1^i, \ldots, q_{n_i}^i$、$R_{i-1}$ 和一些辅助量子比特 $R_i$（作为下一轮的寄存器并初始化为 $|0\rangle$）上，满足：
$$ U_{\mathrm{cfa}}^i (|m_1^i, \ldots, m_{n_i}^i, j\rangle \otimes |0\rangle_{\mathsf{R}_i}) = \left( U' |m_1^i, \ldots, m_{n_i}^i, j\rangle \right) \otimes |j'\rangle_{\mathsf{R}_i} $$
对于所有可能的结果 $m_1^i, \ldots, m_{n_i}^i$ 和先前的控制信息 $j$。这里，酉算子 $U'$ 可以是任意的，因为它作用的量子比特最终将被追踪掉。这个自由度对于获得高效仿真有时至关重要（参见第 IV-C 节的示例）。基本思想是选择特定的 $U_{\mathrm{cfa}}^i$，使得生成的张量网络易于高效收缩。 -
消息量子比特收缩：最后一步很简单。在经典控制流压缩和适配之后，我们知道如何提取决定未来轮次操作的压缩信息 $R_i$。这意味着存储 $m_1^i, \ldots, m_{n_i}^i$ 的消息量子比特不再需要，可以安全地丢弃。这对应于对量子比特 $q_1^i, \ldots, q_{n_i}^i, R_{i-1}$ 取部分迹，并且可以通过张量网络中的简单张量收缩来实现。这一步潜在地节省了仿真算法的内存使用。
C. 示例
接下来，我们展示链式纠缠交换和嵌套蒸馏协议的控制流适配分析，以说明其用途。
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链式纠缠交换：首先考虑协议 2 中的链式纠缠交换协议。在该协议中，各方同时运行一系列纠缠交换，并在第一个和最后一个参与者之间建立 EPR 对。
协议 2 链式纠缠交换
发送方：$A_1$, 接收方：$A_n$, 路由器：$A_2, \ldots, A_{n-1}$.
目标：对于 $i=1,2,\ldots,n-1$，$A_i$ 和 $A_{i+1}$ 有能力共享 EPR 对。最终目标是在 $A_1$ 和 $A_n$ 之间获得一个共享的 EPR 对。
协议：- EPR 生成：为所有 $i = 1, \ldots, n-1$ 在 $\langle A_i, A_{i+1}\rangle$ 之间生成共享的 EPR 对。
- 局域操作：除 $A_1$ 和 $A_n$ 外的所有方对它们的两个量子比特 $q_i^1, q_i^2$ 进行贝尔测量，并获得结果 $(m_i^1, m_i^2) \in \{0,1\}^2$.
- 经典通信：所有方使用经典通信通知 $A_n$ 测量结果：对于所有 $i = 2, \ldots, n-1$，$(m_i^1, m_i^2)$.
- 局域操作：$A_n$ 根据测量结果应用局域校正 $X^{\oplus_i m_i^1}$ 和 $Z^{\oplus_i m_i^2}$.
我们遵循控制流适配的三个步骤来分析这个协议。首先，在控制流压缩步骤中，很容易提出函数 $f_i$，它计算测量结果的两个奇偶校验位：
$$ f(m_2^1, \ldots, m_{n-1}^1, m_2^2, \ldots, m_{n-1}^2) = \left( \bigoplus_i m_i^1, \bigoplus_i m_i^2 \right), $$
因为我们在第二轮中只需要这两个奇偶校验位。这里，$(\oplus_i m_i^1, \oplus_i m_i^2) \in \{0,1\}^2$ 可以仅用 $R^1, R^2$ 表示。接下来，我们需要设计实现函数 $f$ 的适配酉算子 $U_{\mathrm{cfa}}$。我们首先关注 X 控制信息 $r^1 = \oplus_i m_i^1$。有两种简单的方法来定义一个计算 $\oplus_i m_i^1$ 的酉算子；两种方法都使用 $n-2$ 次 CNOT 门。在第一种方法中，对于 $i=2,\ldots,n-1$，控制量子比特是 $q_i^1$，共同的目标量子比特是 $R^1$。在第二种方法中，对于 $i=2,\ldots,n-2$，控制量子比特是 $q_i^1$，目标量子比特是 $q_{i+1}^1$；最后，控制量子比特是 $q_{n-1}^1$，目标量子比特是 $R^1$.
第一种方法来自计算奇偶性的直接延迟测量技术。这种 $U_{\mathrm{cfa}}$ 选择对张量网络的影响如图 3 所示。张量图显示这种选择是有问题的。随着参与方数量 $n$ 的增长，张量网络将变得复杂，张量收缩复杂性将呈指数增长。这可以通过考虑 $A_{n-1}$ 的张量节点来看出，这些节点包含数量级为 $n$ 的出向连接，连接到 $A_i$（$i=1,2,\ldots,n-2$）中的张量节点。因此，无论我们将 $A_{n-1}$ 的张量节点放在收缩序列中的什么位置，在我们添加这些节点之前或之后，都会有数量级为 $n$ 的开放链接。
如图 4 所示，$U_{\mathrm{cfa}}$ 的第二种设计导致张量节点排列成一条链，这在张量网络收缩算法中更容易处理。我们可以按顺序排列 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 的张量节点，收缩复杂度将是 $n$ 的线性函数。因此，通过选择合适的适配酉算子，我们可以调整控制流的实现，使其与张量网络技术更顺畅地协同工作。
-
纠缠蒸馏：接下来，我们研究纠缠蒸馏协议。该协议使用不完美 EPR 对的多个副本来"蒸馏"出质量更高的 EPR 对。我们将首先给出单次纠缠蒸馏的协议 [3], [18]，描述如何使用两对 EPR 对来提高保真度。然后我们将给出嵌套纠缠蒸馏的协议，它将协议扩展到更一般的情况。
协议 3 单次纠缠蒸馏
发送方：Alice, 接收方：Bob
输入：2 对保真度为 $F$ 的共享 EPR 对。每一方持有每对中的一个量子比特。
目标：以成功概率 $p_s$ 获得一个具有更高保真度 $F_s > F$ 的 EPR 对。
协议：- BXOR 测试：Alice 和 Bob 对自己的 2 个量子比特应用 CNOT 门，并在标准基下测量他们的第二个量子比特。
- 经典通信：Alice 和 Bob 互相通知测量结果。
- 最终决定：如果 Alice 和 Bob 获得相同的结果，则蒸馏过程成功。否则，如果他们的测量结果不同，则蒸馏过程失败。如果过程成功，他们将最终的 EPR 对（具有更高的保真度 $F_s$）保留以备进一步使用。如果过程失败，他们丢弃最终的 EPR 对。
协议 4 嵌套纠缠蒸馏
发送方：Alice, 接收方：Bob.
输入：$n = 2^k$ 对保真度为 $F_1$ 的共享 EPR 对。每一方持有每对中的一个量子比特。
目标：以成功概率 $p_s$ 获得一个具有更高保真度 $F_k > F_1$ 的 EPR 对。
协议：- 递归：如果 $n > 2$，Alice 和 Bob 运行两次嵌套蒸馏协议，每次以 $n/2$ 对作为输入以获得 2 对 EPR 对。然后，Alice 和 Bob 运行单次蒸馏协议以获得一个 EPR 对。否则，如果 $n = 2$，Alice 和 Bob 直接运行协议 3 中的单次蒸馏协议。
- 最终状态：Alice 和 Bob 有一个保真度为 $F_k$ 的 EPR 对，具有一定的成功概率 $p_s$.
- 最终决定：当且仅当所有单次蒸馏都成功时，Alice 和 Bob 保留最终的 EPR 对；只要存在一次失败，他们就丢弃最终的 EPR 对.
在蒸馏协议中，双方将使用他们的测量结果来判断过程是否成功。假设在一轮中，双方的被测量量子比特表示为 $q_1^A, q_2^A, \ldots, q_n^A$ 和 $q_1^B, q_2^B, \ldots, q_n^B$，结果分别为 $m_1^A, m_2^A, \ldots, m_n^A$ 和 $m_1^B, m_2^B, \ldots, m_n^B$。他们的通信计算一个函数：
$$ f(m_1^A, m_2^A, \ldots, m_n^A, m_1^B, m_2^B, \ldots, m_n^B) = (m_1^A \oplus m_1^B) \lor (m_2^A \oplus m_2^B) \lor \ldots \lor (m_n^A \oplus m_n^B). $$
这里，$\oplus$ 表示异或，$\lor$ 表示或。仅当函数输出为 0 时，该轮蒸馏才成功。然后，通过该方法，在仿真器中，计算可以通过添加一个初始化为 $|0\rangle$ 的额外量子比特 $R$ 来替换，并应用一个酉算子 $U$，使得：
$$ U |q_1^A, \ldots, q_n^A, q_1^B, \ldots, q_n^B, 0\rangle = |q_1^A, \ldots, q_n^A, q_1^B, \ldots, q_n^B, f(q_1^A, \ldots, q_n^A, q_1^B, \ldots, q_n^B)\rangle, $$
然后立即收缩除 $R$ 外的所有其他量子比特。这可以通过 CNOT 门和 Toffoli 门实现。在这个协议中，未来的操作仅取决于过程是成功还是失败，因此需要记录的信息只需要一个指示位。这里 $R$ 充当指示器，张量网络可以通过仿真对 $R$ 的测量立即模拟过程是否成功。在这个例子中，控制流适配就像一个数据压缩过程，计算成功或失败指示器并将此信息传递给下一轮。适配酉算子的设计实际上很容易，因为直接的延迟测量将产生一个解决方案。因此，控制流将具有一个树状张量网络结构，其中可以高效地进行收缩。
D. 控制流适配的优势
控制流适配方法至少有两个方面的优势。
首先，它使得所有可能的测量分支能够同时在张量网络中精确表示，完全避免了蒙特卡洛仿真的需要。我们以嵌套纠缠蒸馏为例。如果使用蒙特卡洛仿真，仿真是一系列独立的实验，具有布尔值结果（成功或失败），并且结果遵循二项分布。因此，为了估计最终保真度 $F_k$，至少需要一次成功的实验，预期的轮数为 $1/p_s$。为了以精度 $\varepsilon$ 估计成功概率，根据切尔诺夫界限，$n$ 应满足 $n > p(1-p)/\varepsilon^2$。然而，通过使用我们带有 CFA 的仿真器，可以在单轮中精确获得成功概率 $p_s$ 和最终保真度 $F_k$.
有人可能会质疑是否需要仿真来提取此协议中的信息，因为现有工作 [18] 已经形式化了不同纠缠蒸馏协议的成功概率和结果保真度。我们强调由于经典通信中的时间延迟和变化的网络环境影响量子噪声的动态特性，进行仿真的重要性。这种可变性使得难以将现有的理论分析直接应用于评估协议的成功概率和效率。
其次，控制流适配方法减少了底层张量网络的内存使用和张量收缩复杂度。在第 VII 节中，我们将通过详细展示一些广泛的实验结果来证明该方法的优势。
V. 网络模型
本节概述了 qns-3 仿真器中集成的量子网络模型。量子网络模型涉及两大类组件：量子节点和量子信道。量子节点是管理所有能够在本地处理量子比特的设备的实体，例如量子处理器、分束器和量子中继器。量子信道，如光纤，指的是所有能够传输量子信息的通信信道。虽然仍在探索确定适当的整体量子网络架构，且尚未达成明确共识，但这两类组件被普遍认为是量子网络运行所必需的。
A. 量子节点
量子节点类似于经典网络中的终端主机，通过量子信道连接到其他量子节点。在我们的仿真器中，量子节点的概念也类似于 ns-3 中的节点。每个量子节点配备有 (1) 用于本地存储和操作量子信息的量子存储器设备，以及 (2) 将节点连接到一组量子信道的量子网络设备。除了网络硬件，每个量子节点还配备了网络软件栈。对于经典网络栈，我们重用 ns-3 的互联网栈，并且可以支持任何经典网络拓扑。
量子网络协议栈的模型今天仍在探索中。在这项工作和 qns-3 的未来开发中，我们采用经典 OSI 五层模型 [26] 的量子类比。物理层仅负责传输量子比特和生成 EPR 对 [14], [36]。链路层负责提高 EPR 对的质量。最常用的技术是带有纠缠蒸馏 [5] 或量子纠错码 [23] 的量子中继器。网络层负责为远距离节点生成 EPR 对，并加载路由算法 [51], [43], [8], [21]。传输层负责将量子比特传递到适当的应用进程并进行传输控制 [50]。应用层将根据节点上实现的应用运行不同的进程。
B. 量子信道
量子信道连接两个量子节点，并支持在两个节点之间传输量子比特。量子信道的物理材料可能是保偏光纤。量子信道默认也具有传输经典信息的能力。量子信道表现出固有的噪声，由于与每个信道相关的不同物理属性，可能导致量子比特错误。因此，每个量子信道都具有特定的噪声参数。
一个通用的量子信道可以用来传输任意量子比特。为了实现通过噪声信道可靠传输量子比特，主要采用两类方法。一种是蒸馏和隐形传态方法，首先采用纠缠蒸馏协议获得高保真度纠缠，然后执行量子隐形传态来传输量子比特。另一种是量子纠错码（QECC） 方法，使用 QECC 对量子态进行编码，并通过噪声量子信道直接发送编码后的状态。请注意，这两种方法也可以结合，并且有一些工作 [39], [33] 分析了如何在合适的场景中选择和组合不同的方法。
我们的仿真器允许这两种方法，因为它支持通用的量子操作和量子信道，这将在第 VI 节进一步解释。如前所述，在蒸馏和隐形传态协议中，通过噪声量子信道创建低保真度 EPR 对并分发给每一方。分发后，各方仅依赖 LOCC 来完成协议。我们已经将 CFA 方法集成了到蒸馏和隐形传态协议中，其优势在第 VII 节中从数值上概述。我们还计划在不久的将来在 qns-3 中进一步实现结合 CFA 方法的 QECC 方法。
VI. 仿真器结构
在本节中，我们深入探讨我们 qns-3 的实现。为了更全面的理解，包括逐步指南，我们引导读者参考我们的教程文档 [1]。
该设计遵循经典网络的传统 OSI 分层模型 [26] 和 ns-3 的离散事件模型。它通过引入一系列量子模块扩展了 ns-3 框架，这些模块涵盖了全面的量子网络相关功能。此外，这个扩展为实现我们的控制流适配方法提供了机会。
qns-3 模块在内部使用张量网络来表示所有量子比特、门和量子操作，并采用 Exascale Tensor Network (ExaTN) [30] 库作为后端。QuantumNetworkSimulator（简称 QNetSim）全面负责维护由 exatn::TensorNetwork 表示的量子电路。该类封装了所有对 ExaTN 的直接库调用，提供了用于创建和初始化量子比特、执行操作和测量的 API。
QuantumNode（QNode）继承自 ns3::Node，并可以访问 ns3 的完整 InternetStack。具有可配置 QuantumErrorModel（QErrorModel）的 QuantumMemory（QMemory）模拟量子网络中的量子比特存储，并管理量子比特操作的访问控制。QuantumChannel（QChannel）模拟量子信息的传输。QMemory 和 QChannel 是我们直接或通过 QuantumPhyEntity 间接提供给 QNode 的关键接口。
以下组件构成了量子网络栈：QuantumPhyEntity（QPhyEntity）以 ns3::PhyEntity 命名，充当经典物理层的量子对应物。在 QNetSim 的帮助下，它负责管理量子错误并向 QNode 提供操作 API。QuantumNetworkStackHelper（QNetStackHelper）帮助用户安装链路层协议。虽然这项工作不涉及，但我们提到可以升级网络栈并支持其他路由和传输协议，就像 ns3::InternetStackHelper 所做的那样。作为应用层和链路层的示例，我们实现了 TeleportationApplication（TeleportApp）和 DistillationApplication（DistillApp）。这两个应用分别用和不用控制流适配实现。
QErrorModel 类封装了所有与量子噪声相关的 API。我们强调我们的仿真器支持所有类型的噪声，只要噪声可以表示为 CPTP 映射。然而，我们也定义了一组常用的噪声模型，并将它们无缝集成到 qns-3 中以简化仿真。通过研究量子噪声的不同原因，我们发现四种噪声是最普遍和最常被考虑的 [14], [15], [46] 用于仿真量子网络：丢失错误、物理操作噪声、量子信道噪声和与时间相关的噪声。
- 丢失错误：丢失错误表示在传输过程中丢失光子的概率，我们的仿真器为每个量子信道分配一个丢失错误概率。
- 物理操作噪声：物理操作噪声描述了量子操作产生的噪声。物理操作噪声的影响可以建模为应用一个理想的量子操作，然后是一个退相位错误 [13], [15]：
$$ \mathcal{N}_{\mathrm{dephase}}^f : \rho \mapsto f\rho + (1-f)Z\rho Z^\dagger. $$ - 量子信道噪声：在生成噪声 EPR 对时，我们可能关注生成的保真度。用户可以给出生成初始保真度 $F$，我们通过生成 Werner 态 $\rho_{\mathrm{gen}} = F|\phi_+\rangle\langle\phi_+| + \frac{1-F}{3}(I - |\phi_\pm\rangle\langle\phi_\pm|)$ [27] 来模拟生成过程。
- 与时间相关的噪声：与时间相关的噪声描述了当量子比特保留在内存中时随时间退相干的情况 [15]。它可以建模为"存储器退相位"，如下所示：
$$ \rho \mapsto (1-\lambda(t))\rho + \lambda(t)Z\rho Z^\dagger, \quad \text{其中} \lambda(t) = (1 - e^{-t/T_{\mathrm{dp}}})/2. $$
{其中} \lambda(t) = (1 - e^{-t/T_{\mathrm{dp}}})/2.
$$
- t_{\mathrm{last}}$ 对涉及此事件的所有量子比特应用适当的退相位噪声。
VII. 实验结果
A. 实验设置
我们的测试在 Linux 工作站上进行，使用 16 个 3.30GHz 的 vCPU（Intel® Xeon® Platinum 8369HB）和 60 GiB RAM，足以演示使用 CFA 的优势以及比较所需的其他计算。所有代码已在 [1] 开源。
- 指标：以下评估中使用的指标是一轮仿真的运行时间和内存使用情况，这表示仿真器的时间和空间成本。运行时间以挂钟运行时间评估。内存使用情况通过进程的峰值内存使用量评估。这两个指标用于评估不同 CFA 方法的性能，包括没有任何适配的简单方法。
- 基准测试：我们使用两个量子网络协议作为基准测试，包括链式纠缠交换和嵌套纠缠蒸馏，评估规模涉及多达数千个量子比特。在链式纠缠交换协议中，所有节点排列成线性拓扑。每个节点与其后继节点执行纠缠交换，将纠缠传递到最后一个节点。对于嵌套纠缠蒸馏协议，每个嵌套蒸馏过程是较小规模的同构子过程的组合。由于每次蒸馏取两对 EPR 对并给出一对，初始准备的 EPR 对数量设置为 2 的幂。
- 比较：我们将 qns-3 的性能与 NetSquid [15] 进行比较，我们认为这是量子网络仿真器性能的最佳参考。由于 NetSquid 忠实地仿真网络中的所有事件，我们在仿真基准协议时将其与蒙特卡洛方法结合以获得平均结果。在纠缠交换中，我们将蒙特卡洛轮数设置为 $10^4$，实现约 0.01 的精度。在嵌套蒸馏中，我们将蒙特卡洛轮数设置为 200，实现约 0.1 的精度。我们还比较了 qns-3 与 NetSquid 在运行时间和内存使用方面的表现。
B. 运行时间和内存使用情况
以下实验旨在使用两个基准协议演示不同 CFA 方法在时间和空间性能上的差异。
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链式纠缠交换：链式纠缠交换协议的仿真成本如图 6 所示，与 NetSquid 的比较如图 7 所示。测试其运行时间和内存使用情况。结果表明，使用 CFA 后，仿真成本显著降低。
CFA 方法的优势已经很明显，如图 6 所示。请注意，在图 6a 中，量子比特数量非常小，以至于两种适配版本（用黄色圆圈和绿色三角形标记）的运行时间曲线几乎无法区分。然而，如第 IV 节所述，第一种方法也具有指数复杂度，这可以通过将链中的节点数扩展到约 150 在图 7 中看出。
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嵌套纠缠蒸馏：对于嵌套蒸馏协议，我们改变初始准备的 EPR 对数量，并在图 8 中比较时间和空间成本。CFA 能够将成本从指数级降低到线性级，因为它将张量网络的最大割从线性压缩为常数，从而最大程度地压缩了张量收缩（仿真中最耗时的部分）的复杂度。
实验表明，使用 CFA 的仿真器性能要好得多。图 9a 中的测试结果更直接地表明，带有 CFA 的仿真器是可扩展的，即其速度与 EPR 对数量成线性关系，足够快。
VIII. 结论
在本文中，我们提出了用于量子网络仿真的控制流适配方法，并介绍了 qns-3 平台，这是第一个专门为 ns-3 设计的通用量子网络仿真器。我们的方法高效地管理协议在张量网络数据结构内部的经典控制，实现了多种量子网络协议的高效仿真。我们坚信，控制流适配方法和 qns-3 平台在未来量子网络协议的研究中都具有广泛应用的巨大潜力。
致谢
本工作得到了国家重点研发计划（批准号 2023YFA1009403）、国家自然科学基金（批准号 12347104）、北京市自然科学基金（批准号 Z220002）以及清华大学启动经费的支持。季铮锋是通讯作者。
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