Ch1 一阶ODE
一阶ODE的基本概念
1. 一阶常微分方程的概念
定义 1.1（一阶常微分方程）
设 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 是一个区域，$f: D \to \mathbb{R}$ 是一个已知函数。一个一阶常微分方程是形如
$$
y' = f(x, y)
$$
的方程，其中 $y = y(x)$ 是未知函数，$x$ 是自变量，$y' = \frac{dy}{dx}$ 是 $y$ 关于 $x$ 的导数。
2. 初值问题的概念
定义 1.2（初值问题）
考虑一阶常微分方程 $y' = f(x, y)$，其中 $f: D \to \mathbb{R}$ 是已知函数，$D \subseteq \mathbb{R}^2$。初值问题是在给定初始条件 $y(x_0) = y_0$ 下求解函数 $y(x)$，其中 $(x_0, y_0) \in D$。形式化地，初值问题表示为：
$$
\begin{cases}
y' = f(x, y), \\
y(x_0) = y_0.
\end{cases}
$$
解 $y(x)$ 需在包含 $x_0$ 的区间 $I$ 上定义，满足 $y'(x) = f(x, y(x))$ 对于所有 $x \in I$，且 $y(x_0) = y_0$.
3. 自洽系统的概念
定义 1.3（自洽系统）
一阶常微分方程称为自洽的，如果它可以写成形式：
$$
y' = f(y),
$$
其中 $f: I \to \mathbb{R}$ 是一个已知函数，$I \subseteq \mathbb{R}$ 是一个区间。自洽系统的特点是右端函数不显式依赖于自变量 $x$。
4. 平衡点的概念
定义 1.4（平衡点）
考虑自洽系统 $y' = f(y)$。点 $y = y^*$ 称为平衡点（或静止点），如果 $f(y^*) = 0$。
性质 1.1
如果 $y^*$ 是平衡点，则常值函数 $y(x) \equiv y^*$ 是系统的一个解。
5. 平衡点稳定性的概念
定义 1.5（稳定性）
设 $y^*$ 是自洽系统 $y' = f(y)$ 的一个平衡点。
-
$y^*$ 称为稳定的，如果对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对于任何满足 $|y(0) - y^*| < \delta$ 的解 $y(x)$，都有 $|y(x) - y^*| < \varepsilon$ 对所有 $x \ge 0$ 成立。
-
$y^*$ 称为渐近稳定的，如果它是稳定的，并且存在 $\delta_0 > 0$，使得对于任何满足 $|y(0) - y^*| < \delta_0$ 的解 $y(x)$，都有 $\lim_{x \to \infty} y(x) = y^*$。
-
$y^*$ 称为不稳定的，如果它不是稳定的。
定义 1.6（源和汇）
设 $y^*$ 是自洽系统 $y' = f(y)$ 的一个平衡点。
-
如果 $y^*$ 是不稳定的，并且存在其邻域 $U$，使得从 $U \setminus \{y^*\}$ 出发的所有解都远离 $y^*$，则称 $y^*$ 为源。
-
如果 $y^*$ 是渐近稳定的，则称 $y^*$ 为汇。
一阶ODE的几何解释
1. 方向场的概念
定义 2.1（方向场）
考虑一阶常微分方程 $y' = f(x, y)$，其中 $f: D \to \mathbb{R}$ 是定义在区域 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 上的函数。该方程的方向场是定义在 $D$ 上的向量场，在每一点 $(x, y) \in D$ 处赋予一个方向向量，其斜率为 $f(x, y)$。形式化地，方向场是映射：
$$
(x, y) \mapsto (1, f(x, y))
$$
该向量表示在点 $(x, y)$ 处解曲线的切线方向。
2. 积分曲线的概念
定义 2.2（积分曲线）
考虑一阶常微分方程 $y' = f(x, y)$，其中 $f: D \to \mathbb{R}$ 是定义在区域 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 上的函数。一条积分曲线是该方程的一个解 $y = \phi(x)$ 在 $D$ 中的图像。形式化地，积分曲线是集合：
$$
\{(x, \phi(x)) \in D : x \in I\}
$$
其中 $I$ 是解 $\phi(x)$ 的定义区间，且满足 $\phi'(x) = f(x, \phi(x))$ 对所有 $x \in I$ 成立。
性质 2.1
积分曲线在每一点 $(x, y)$ 处的切线方向与方向场在该点指定的方向一致。
3. 相空间和相图的概念
定义 2.3（相空间）
考虑自洽系统 $y' = f(y)$。该系统的相空间是状态变量 $y$ 的所有可能取值构成的集合。对于一维系统，相空间是实数轴 $\mathbb{R}$ 或其子集。
定义 2.4（相图）
自洽系统 $y' = f(y)$ 的相图是在相空间上对该系统动态行为的图形表示。相图包含以下元素：
- 所有平衡点 $y^*$（满足 $f(y^*) = 0$ 的点）；
- 在平衡点之间的每个区间上，用箭头表示 $y$ 随 $x$ 增加的变化方向：
- 若 $f(y) > 0$，箭头指向 $y$ 增加的方向；
- 若 $f(y) < 0$，箭头指向 $y$ 减少的方向。
相图提供了系统所有可能解曲线的定性行为，而不需要显式求解微分方程。
性质 2.2
在相图中，箭头方向由函数 $f(y)$ 的符号决定：
- 当 $f(y) > 0$ 时，解 $y(x)$ 是递增的；
- 当 $f(y) < 0$ 时，解 $y(x)$ 是递减的；
- 当 $f(y) = 0$ 时，$y$ 是平衡点。
4. 分岔与分岔图的概念
定义 2.5（含参数的自洽系统）
考虑含参数的一阶自洽常微分方程：
$$
y' = f(y, \mu)
$$
其中 $f: D \times J \to \mathbb{R}$ 是已知函数，$D \subseteq \mathbb{R}$ 是状态变量 $y$ 的定义域，$J \subseteq \mathbb{R}$ 是参数 $\mu$ 的定义域。
定义 2.6（分岔）
设 $y' = f(y, \mu)$ 是含参数的自洽系统。当参数 $\mu$ 通过某个临界值 $\mu_0$ 时，如果系统的相图拓扑结构发生定性变化，则称系统在 $\mu = \mu_0$ 处发生分岔。形式化地，存在 $\mu_1 < \mu_0 < \mu_2$，使得对于任意 $\mu \in (\mu_1, \mu_0)$ 和 $\mu \in (\mu_0, \mu_2)$，系统的相图不是拓扑等价的。
定义 2.7（分岔点）
参数值 $\mu_0$ 称为分岔点，如果存在 $\varepsilon > 0$，使得对于任意 $\mu \in (\mu_0 - \varepsilon, \mu_0) \cup (\mu_0, \mu_0 + \varepsilon)$，系统的相图拓扑结构不同。
定义 2.8（分岔图）
系统 $y' = f(y, \mu)$ 的分岔图是在 $(\mu, y)$ 平面上，对系统定性行为的图形表示。分岔图包含以下元素：
- 所有平衡点随参数 $\mu$ 变化的曲线，即满足 $f(y, \mu) = 0$ 的点集；
- 在平衡点曲线上标明稳定性：
- 稳定平衡点（汇）用实线表示；
- 不稳定平衡点（源）用虚线表示；
- 分岔点的位置标记。
分岔图展示了系统平衡点的数量、位置和稳定性随参数变化的情况，特别突出了分岔点处的定性变化。
一阶线性ODE
1. 一阶线性ODE的概念
定义 3.1（一阶线性常微分方程）
设 $I \subseteq \mathbb{R}$ 是一个区间，$p: I \to \mathbb{R}$ 和 $q: I \to \mathbb{R}$ 是已知函数。一个一阶线性常微分方程是形如
$$
y' + p(x)y = q(x)
$$
的方程，其中 $y = y(x)$ 是未知函数，$x$ 是自变量，$y' = \frac{dy}{dx}$ 是 $y$ 关于 $x$ 的导数。函数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 分别称为方程的系数函数和非齐次项。
2. 齐次线性方程的概念
定义 3.2（齐次线性方程）
考虑一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$。如果非齐次项 $q(x) \equiv 0$ 对所有 $x \in I$ 成立，则方程称为齐次的，形式为
$$
y' + p(x)y = 0.
$$
齐次方程是当非齐次项恒为零时的特例。
3. 非齐次线性方程的概念
定义 3.3（非齐次线性方程）
考虑一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$。如果非齐次项 $q(x) \not\equiv 0$（即 $q(x)$ 不恒为零），则方程称为非齐次的。非齐次方程是齐次方程的一般形式，其中 $q(x)$ 不恒为零。
4. 常系数线性方程的概念
定义 3.4（常系数线性方程）
考虑一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$。如果系数函数 $p(x)$ 是常数函数，即存在常数 $a \in \mathbb{R}$ 使得 $p(x) \equiv a$ 对所有 $x \in I$ 成立，则方程称为常系数的。形式化地，常系数线性方程写作
$$
y' + a y = q(x),
$$
其中 $a$ 是常数，$q(x)$ 是已知函数。
5. 常数变易法
定义 3.5（常数变易法）
常数变易法是求解一阶线性非齐次常微分方程
$$
y' + p(x)y = q(x)
$$
的一种解析方法，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是已知函数。
定理 3.1（常数变易法求解步骤）
设 $y' + p(x)y = q(x)$ 是一阶线性非齐次方程，求解步骤如下：
-
求解对应的齐次方程 $y' + p(x)y = 0$，得到齐次解
$$ y_h(x) = Ce^{-\int p(x)dx} $$
其中 $C$ 是任意常数。 -
将齐次解中的常数 $C$ 替换为函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为
$$ y(x) = C(x)e^{-\int p(x)dx} $$ -
将上述形式代入原非齐次方程，得到关于 $C'(x)$ 的方程：
$$ C'(x)e^{-\int p(x)dx} = q(x) $$ -
解出 $C(x)$：
$$ C(x) = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + K $$
其中 $K$ 是积分常数。 -
代回得到非齐次方程的通解：
$$ y(x) = e^{-\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + K\right) $$
证明
设 $y(x) = C(x)e^{-\int p(x)dx}$，则
$$
y'(x) = C'(x)e^{-\int p(x)dx} - C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}
$$
代入原方程 $y' + p(x)y = q(x)$：
$$
[C'(x)e^{-\int p(x)dx} - C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}] + p(x)[C(x)e^{-\int p(x)dx}] = q(x)
$$
化简得：
$$
C'(x)e^{-\int p(x)dx} = q(x)
$$
即：
$$
C'(x) = q(x)e^{\int p(x)dx}
$$
积分得：
$$
C(x) = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + K
$$
因此：
$$
y(x) = e^{-\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + K\right)
$$
证毕。
定理 3.2（解的结构定理）
一阶线性非齐次方程 $y' + p(x)y = q(x)$ 的通解可以表示为对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解：
$$
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
$$
其中 $y_h(x) = Ke^{-\int p(x)dx}$ 是齐次方程的通解，
$y_p(x) = e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx$ 是非齐次方程的一个特解。
证明
由常数变易法得到的通解形式：
$$
y(x) = e^{-\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + K\right)
$$
可以写为：
$$
y(x) = Ke^{-\int p(x)dx} + e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx
$$
这正是 $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ 的形式。
证毕。
6. 周期捕获率模型的概念
定义 3.6（周期捕获率模型）
考虑一阶非自治常微分方程：
$$
x' = x(1 - x) - c(1 - \sin 2\pi t)
$$
其中 $x = x(t)$ 是未知函数，表示种群密度； $t$ 是自变量，表示时间； $c$ 是正常数参数，表示捕获强度。该模型描述了种群在逻辑增长下的周期性捕获动力学，其中捕获率 $c(1 - \sin 2\pi t)$ 是周期为 1 的周期函数。
7. Poincaré映射的概念
定义 3.7（Poincaré映射）
考虑一阶非自治周期系统：
$$
x' = f(t, x), \quad f(t+1, x) = f(t, x) \quad \forall t
$$
其中 $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是连续函数，周期为 1。系统的 Poincaré映射 $p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 定义为：
$$
p(z) = \phi(1, z)
$$
其中 $\phi(t, z)$ 是初值问题 $x' = f(t, x), \, x(0) = z$ 的解。Poincaré映射将初始值 $z$ 映射到解在时间 $t=1$ 时的值。
8. 引理1：周期解与Poincaré映射不动点的关系
引理 3.1
设 $\phi(t, z_0)$ 是初值问题（18）$x' = f(t, x), \, x(0) = z_0$ 的解，其中 $f(t, x)$ 是周期为 1 的周期函数。则 $\phi(t, z_0)$ 是一个周期为 1 的周期解当且仅当 $z_0$ 是系统的 Poincaré映射的不动点，即 $p(z_0) = z_0$.
证明
（必要性）假设 $\phi(t, z_0)$ 是周期为 1 的周期解，即 $\phi(t+1, z_0) = \phi(t, z_0)$ 对所有 $t$ 成立。特别地，取 $t=0$，有 $\phi(1, z_0) = \phi(0, z_0) = z_0$。由 Poincaré映射的定义， $p(z_0) = \phi(1, z_0) = z_0$，所以 $z_0$ 是不动点。
（充分性）假设 $z_0$ 是 Poincaré映射的不动点，即 $p(z_0) = z_0$，或等价地 $\phi(1, z_0) = z_0$。由于 $f(t, x)$ 是周期为 1 的周期函数，系统是周期的。考虑函数 $\psi(t) = \phi(t+1, z_0)$。则 $\psi(t)$ 满足微分方程 $\psi'(t) = f(t, \psi(t))$ 和初始条件 $\psi(0) = \phi(1, z_0) = z_0$。由解的唯一性， $\psi(t) = \phi(t, z_0)$ 对所有 $t$ 成立，即 $\phi(t+1, z_0) = \phi(t, z_0)$，所以 $\phi(t, z_0)$ 是周期为 1 的周期解。证毕。
9. 引理2：Poincaré映射的单调性和凹性
引理 3.2
考虑周期捕获率模型 $x' = x(1 - x) - c(1 - \sin 2\pi t)$，其中 $c$ 是参数。系统的 Poincaré映射 $p_c(z)$ 满足：
$$
p_c'(z) > 0 \quad \text{和} \quad p_c''(z) < 0
$$
即 $p_c(z)$ 的一阶导数大于零，二阶导数小于零。
证明
考虑微分方程 $x' = f(t, x) = x(1 - x) - c(1 - \sin 2\pi t)$。令 $\phi(t, z)$ 是初值问题 $x' = f(t, x), \, x(0) = z$ 的解。Poincaré映射定义为 $p_c(z) = \phi(1, z)$.
首先，证明 $p_c'(z) > 0$。定义灵敏度函数 $y(t) = \frac{\partial \phi}{\partial z}(t, z)$，它满足变分方程：
$$
y' = \frac{\partial f}{\partial x}(t, \phi(t, z)) y, \quad y(0) = 1
$$
其中 $\frac{\partial f}{\partial x} = 1 - 2\phi(t, z)$。变分方程是线性齐次方程，其解为：
$$
y(t) = \exp\left( \int_0^t (1 - 2\phi(s, z)) \, ds \right)
$$
因此， $p_c'(z) = y(1) = \exp\left( \int_0^1 (1 - 2\phi(s, z)) \, ds \right) > 0$，因为指数函数恒正。
其次，证明 $p_c''(z) < 0$。定义二阶灵敏度函数 $w(t) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}(t, z)$，它满足微分方程：
$$
w' = \frac{\partial f}{\partial x} w + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} y^2, \quad w(0) = 0
$$
其中 $\frac{\partial f}{\partial x} = 1 - 2\phi(t, z)$，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2$。所以方程变为：
$$
w' = (1 - 2\phi(t, z)) w - 2 y^2
$$
这是一个线性非齐次方程，初始条件 $w(0) = 0$。解为：
$$
w(t) = -2 \int_0^t y(t) y^{-1}(s) y^2(s) \, ds = -2 \int_0^t y(t) y(s) \, ds
$$
其中使用了积分因子。由于 $y(t) > 0$ 对所有 $t$，有 $w(t) < 0$。特别地， $p_c''(z) = w(1) = -2 \int_0^1 y(1) y(s) \, ds < 0$，因为被积函数恒正。证毕。
10. 周期解存在性
定理 3.3（周期解存在性）
考虑周期捕获率模型：
$$
x' = x(1 - x) - c(1 - \sin 2\pi t)
$$
其中 $c > 0$ 是参数。该系统存在唯一的周期为1的周期解。
证明
根据引理3.1，系统存在周期为1的周期解当且仅当其Poincaré映射 $p_c(z)$ 存在不动点，即存在 $z^*$ 使得 $p_c(z^*) = z^*$。
根据引理3.2，Poincaré映射 $p_c(z)$ 满足 $p_c'(z) > 0$ 和 $p_c''(z) < 0$。这表明：
- $p_c(z)$ 是严格递增函数；
- $p_c(z)$ 是严格凹函数。
考虑区间 $I = [0, 1]$。由于系统描述种群密度，解应满足 $0 \leq x(t) \leq 1$。分析边界行为：
- 当 $z = 0$ 时，$x' = -c(1 - \sin 2\pi t) \leq 0$，所以 $p_c(0) \geq 0$；
- 当 $z = 1$ 时，$x' = -c(1 - \sin 2\pi t) \leq 0$，所以 $p_c(1) \leq 1$。
考虑函数 $g(z) = p_c(z) - z$。由上述边界分析：
- $g(0) = p_c(0) - 0 \geq 0$；
- $g(1) = p_c(1) - 1 \leq 0$。
由于 $p_c(z)$ 连续（作为微分方程解关于初值的连续依赖性），$g(z)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。由介值定理，存在 $z^* \in [0, 1]$ 使得 $g(z^*) = 0$，即 $p_c(z^*) = z^*$。
再证唯一性：由于 $p_c'(z) > 0$ 且 $p_c''(z) < 0$，函数 $g(z) = p_c(z) - z$ 是严格凹函数。严格凹函数在区间上至多有一个零点，因此不动点 $z^*$ 唯一。
由引理3.1，该不动点对应系统的唯一周期为1的周期解。证毕。
一阶高维系统
1. 一阶高维系统的定义
定义 4.1（一阶高维系统）
设 $n \geq 2$ 是整数，$D \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ 是一个区域，$\mathbf{f}: D \to \mathbb{R}^n$ 是一个已知的向量值函数。一个一阶高维常微分方程组是形如
$$
\mathbf{y}' = \mathbf{f}(x, \mathbf{y})
$$
的系统，其中 $\mathbf{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)^T$ 是未知函数向量，$x$ 是自变量，$\mathbf{y}' = \frac{d\mathbf{y}}{dx} = (y_1', y_2', \dots, y_n')^T$ 是 $\mathbf{y}$ 关于 $x$ 的导数向量。
2. 初值问题的概念
定义 4.2（初值问题）
考虑一阶高维系统 $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(x, \mathbf{y})$。初值问题是在给定初始条件 $\mathbf{y}(x_0) = \mathbf{y}_0$ 下求解函数向量 $\mathbf{y}(x)$，其中 $(x_0, \mathbf{y}_0) \in D$。形式化地，初值问题表示为：
$$
\begin{cases}
\mathbf{y}' = \mathbf{f}(x, \mathbf{y}), \\
\mathbf{y}(x_0) = \mathbf{y}_0.
\end{cases}
$$
解 $\mathbf{y}(x)$ 需在包含 $x_0$ 的区间 $I$ 上定义，满足 $\mathbf{y}'(x) = \mathbf{f}(x, \mathbf{y}(x))$ 对所有 $x \in I$，且 $\mathbf{y}(x_0) = \mathbf{y}_0$。
3. 方向场的概念
定义 4.3（方向场）
考虑一阶高维系统 $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(x, \mathbf{y})$。该系统的方向场是定义在 $D$ 上的向量场，在每一点 $(x, \mathbf{y}) \in D$ 处赋予一个方向向量 $\mathbf{f}(x, \mathbf{y})$。该向量表示在点 $(x, \mathbf{y})$ 处解曲线的切线方向。
4. 积分曲线的概念
定义 4.4（积分曲线）
考虑一阶高维系统 $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(x, \mathbf{y})$。一条积分曲线是该系统的一个解 $\mathbf{y} = \phi(x)$ 在 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ 中的图像。形式化地，积分曲线是集合：
$$
\{(x, \phi(x)) \in D : x \in I\}
$$
其中 $I$ 是解 $\phi(x)$ 的定义区间，且满足 $\phi'(x) = \mathbf{f}(x, \phi(x))$ 对所有 $x \in I$ 成立。
5. 自洽系统的概念
定义 4.5（自洽系统）
一阶高维系统称为自洽的，如果它可以写成形式：
$$
\mathbf{y}' = \mathbf{f}(\mathbf{y}),
$$
其中 $\mathbf{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n$ 是一个已知的向量值函数，$\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个区域。自洽系统的特点是右端函数不显式依赖于自变量 $x$。
6. 相空间的概念
定义 4.6（相空间）
考虑自洽高维系统 $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(\mathbf{y})$。该系统的相空间是状态变量 $\mathbf{y}$ 的所有可能取值构成的集合 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$。
7. 向量场的概念
定义 4.7（向量场）
自洽高维系统 $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(\mathbf{y})$ 的向量场是映射 $\mathbf{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n$，它将相空间 $\Omega$ 中的每一点 $\mathbf{y}$ 映射到一个向量 $\mathbf{f}(\mathbf{y})$，表示系统在该点的变化方向。
8. 相曲线的概念
定义 4.8（相曲线）
自洽高维系统 $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(\mathbf{y})$ 的一条相曲线（或轨道）是一个解 $\mathbf{y} = \phi(x)$ 在相空间 $\Omega$ 中的图像。形式化地，相曲线是集合：
$$
\{\phi(x) \in \Omega : x \in I\}
$$
其中 $I$ 是解的定义区间。相曲线描述了系统的状态随时间演化的轨迹。
9. 平衡点的概念
定义 4.9（平衡点）
考虑自洽高维系统 $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(\mathbf{y})$。点 $\mathbf{y} = \mathbf{y}^*$ 称为平衡点（或奇点），如果 $\mathbf{f}(\mathbf{y}^*) = \mathbf{0}$。
性质 4.1
如果 $\mathbf{y}^*$ 是平衡点，则常值函数 $\mathbf{y}(x) \equiv \mathbf{y}^*$ 是系统的一个解。
10. 直积型二维系统例子
定义 4.10（直积型二维系统）
考虑初值问题：
$$
\begin{cases}
\dot{X} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} X, \\
X(0) = (c_1, c_2)^T,
\end{cases}
$$
其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 是常数，$X = (x, y)^T$ 是未知函数向量。该系统由两个独立的一阶方程组成：
$$
\dot{x} = a x, \quad \dot{y} = b y.
$$
性质 4.2（解的形式）
系统的解为：
$$
X(t) = \begin{bmatrix} c_1 e^{a t} \\ c_2 e^{b t} \end{bmatrix}.
$$
性质 4.3（平衡点分析）
原点 $(0, 0)$ 是系统的唯一平衡点。其稳定性取决于参数 $a$ 和 $b$：
- 若 $a > 0$ 且 $b > 0$，平衡点为源（不稳定）；
- 若 $a < 0$ 且 $b < 0$，平衡点为汇（渐近稳定）；
- 若 $a$ 和 $b$ 异号，平衡点为鞍点（不稳定）。
11. 简谐振子例子
定义 4.11（简谐振子模型）
考虑二阶方程：
$$
\ddot{x} = -k x - a \dot{x},
$$
其中 $k > 0$ 是弹性系数，$a \geq 0$ 是摩擦系数。通过引入新变量 $y = \dot{x}$，转化为一阶二维系统：
$$
\dot{X} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -k & -a \end{bmatrix} X,
$$
其中 $X = (x, y)^T$.
性质 4.4（平衡点）
原点 $(0, 0)$ 是系统的唯一平衡点。
性质 4.5（稳定性分析）
- 若 $a = 0$，系统无阻尼，解为周期振动，平衡点为中心（稳定但非渐近稳定）；
- 若 $a > 0$ 且小，系统欠阻尼，解为阻尼振动，平衡点为汇（渐近稳定）；
- 若 $a > 0$ 且大，系统过阻尼，解单调趋于平衡点，平衡点为汇（渐近稳定）。
12. Lotka-Volterra模型例子
定义 4.12（Lotka-Volterra模型）
考虑捕食者-猎物系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = x(1 - a y), \\
\dot{y} = -y(1 - b x),
\end{cases}
$$
其中 $x > 0$ 表示猎物数量，$y > 0$ 表示捕食者数量，$a > 0$ 和 $b > 0$ 是常数。
性质 4.6（平衡点）
系统有两个平衡点：
- $(0, 0)$（平凡平衡点）；
- $\left( \frac{1}{b}, \frac{1}{a} \right)$（非平凡平衡点）。
性质 4.7（相曲线行为）
从非平衡点初值出发的解曲线为闭合轨道，系统存在周期解。所有解在相空间中形成围绕非平凡平衡点的闭曲线。