分段插值
高次多项式插值的局限性
收敛性差（Runge现象）
以函数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2} \, (x \in [-5,5])$ 为例，在等距节点上构造插值多项式 $L_n(x)$，其收敛性表现为：
$$
\lim_{n \to \infty} L_n(x) =
\begin{cases}
-f(x), & |x| \leq c \, (c \approx 3.63) \\
\text{不收敛}, & |x| > c
\end{cases}
$$
这表明高次多项式插值可能在某些区域发散，无法保证全局逼近效果。
保凸性差与数值不稳定性
- 多余拐点：插值多项式可能出现违背原始数据单调性或凸性的振荡。
- 误差传播：单个节点的函数值误差会影响整个区间的插值结果，导致病态问题。
分段线性插值
基本思想
将相邻数据点用直线连接，形成分段一次多项式函数。给定节点 $x_0 < x_1 < \dots < x_n$ 及对应函数值 $f_0, f_1, \dots, f_n$，分段线性插值函数 $I_h(x)$ 的表达式为：
$$
I_h(x) = \sum_{j=0}^n f_j l_j(x)
$$
其中基函数 $l_j(x)$ 定义为：
$$
l_j(x) =
\begin{cases}
\frac{x - x_{j-1}}{x_j - x_{j-1}}, & x \in [x_{j-1}, x_j] \, (j \neq 0) \\
\frac{x - x_{j+1}}{x_j - x_{j+1}}, & x \in [x_j, x_{j+1}] \, (j \neq n) \\
0, & \text{其他区域}
\end{cases}
$$
误差估计与收敛性
插值误差由 Lagrange 余项给出：
$$
|f(x) - I_h(x)| \leq \frac{M_2}{8} h^2
$$
其中 $M_2 = \max |f''(x)|$，$h$ 为最大区间长度。若 $f(x) \in C^2[a,b]$，则当 $h \to 0$ 时，$I_h(x)$ 一致收敛于 $f(x)$。
分段埃尔米特（Hermite）插值
整体思想
在节点处同时插值函数值和导数值，构造光滑性更高的分段多项式。对于节点 $x_0, x_1, \dots, x_n$，要求插值多项式 $H(x)$ 满足：
$$
H(x_i) = f(x_i), \quad H'(x_i) = f'(x_i)
$$
其一般形式为：
$$
H_{2n+1}(x) = \sum_{j=0}^n \left[ f_j \alpha_j(x) + f_j' \beta_j(x) \right]
$$
基函数 $\alpha_j(x)$ 和 $\beta_j(x)$ 需满足：
$$
\alpha_j(x_i) = \delta_{ij}, \quad \alpha_j'(x_i) = 0; \quad \beta_j(x_i) = 0, \quad \beta_j'(x_i) = \delta_{ij}
$$
两点三次埃尔米特插值
在子区间 $[x_k, x_{k+1}]$ 上，三次 Hermite 插值多项式为：
$$
H_3(x) = f_k \tilde{\alpha}_k(x) + f_{k+1} \tilde{\alpha}_{k+1}(x) + f_k' \tilde{\beta}_k(x) + f_{k+1}' \tilde{\beta}_{k+1}(x)
$$
其中基函数的具体形式为：
$$
\begin{aligned}
\tilde{\alpha}_k(x) &= \left( 1 + 2 \frac{x - x_k}{x_{k+1} - x_k} \right) \left( \frac{x - x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2, \\
\tilde{\beta}_k(x) &= (x - x_k) \left( \frac{x - x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2.
\end{aligned}
$$
该插值函数在节点处一阶导数连续（$C^1$ 光滑），且全局收敛。
保形分段插值（Shape-Preserving）
核心思想
通过自动设定节点导数值，使分段 Hermite 插值既保持光滑性，又保留原始数据的单调性与凸性。
导数值设定方法
- 计算割线斜率：对节点 $x_k$，计算相邻差商：
$$ d_{k-1} = \frac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}}, \quad d_k = \frac{f(x_{k+1}) - f(x_k)}{x_{k+1} - x_k} $$ - 导数值规则：
- 若 $d_{k-1} \cdot d_k \leq 0$，令 $f_k' = 0$（避免振荡）；
- 否则，采用加权调和平均：
$$ \frac{w_{k-1} + w_k}{f_k'} = \frac{w_{k-1}}{d_{k-1}} + \frac{w_k}{d_k} $$
其中权重 $w_k$ 通常取区间长度。
样条插值
1. 核心动机
- 分段插值的不足：分段线性插值（$C^0$ 连续）和分段 Hermite 插值（$C^1$ 连续）的二阶导数不连续，导致曲线光滑性不足。
- 物理背景：样条（spline）源于工程师绘图时使用的弹性木条，通过固定节点形成光滑曲线。物理上，样条的势能最小化要求曲线二阶导数连续（$C^2$ 光滑）。
三次样条插值
三次样条插值函数
定义 6.8：给定插值节点 $x_0 < x_1 < \dots < x_n \in [a, b]$，若函数 $S(x)$ 满足：
- 在每个子区间 $[x_j, x_{j+1}]$ 上为三次多项式；
- 整体二阶导数连续（$S(x) \in C^2[a, b]$）；
- 插值条件 $S(x_j) = f(x_j)$，则称 $S(x)$ 为三次样条插值函数。
基本形式
三次样条函数 $S(x)$ 的分段表达式为：
$$
S(x) =
\begin{cases}
s_0(x), & x \in [x_0, x_1] \\
s_1(x), & x \in [x_1, x_2] \\
\vdots \\
s_{n-1}(x), & x \in [x_{n-1}, x_n]
\end{cases}
$$
其中每段 $s_j(x)$ 为三次多项式，满足：
$$
s_j(x_j) = f_j, \quad s_j(x_{j+1}) = f_{j+1}, \quad s'_{j-1}(x_j) = s'_j(x_j), \quad s''_{j-1}(x_j) = s''_j(x_j)
$$
以二阶导数为参数的构造方法
假设 $S''(x_j) = M_j$，在子区间 $[x_j, x_{j+1}]$ 上，二阶导数为一次多项式：
$$
S''(x) = M_j \frac{x_{j+1} - x}{h_j} + M_{j+1} \frac{x - x_j}{h_j}, \quad h_j = x_{j+1} - x_j
$$
两次积分后得到 $S(x)$ 的表达式：
$$
S(x) = M_j \frac{(x_{j+1} - x)^3}{6h_j} + M_{j+1} \frac{(x - x_j)^3}{6h_j} + \left( f_j - \frac{M_j h_j^2}{6} \right) \frac{x_{j+1} - x}{h_j} + \left( f_{j+1} - \frac{M_{j+1} h_j^2}{6} \right) \frac{x - x_j}{h_j}
$$
通过一阶导数连续条件和边界条件，最终得到关于 $M_j$ 的线性方程组。
边界条件的类型与处理
为唯一确定三次样条插值函数，需补充两个额外条件：
第一类边界条件（固定斜率）
给定端点处一阶导数：
$$
S'(x_0) = f_0', \quad S'(x_n) = f_n'
$$
第二类边界条件（自然样条）
给定端点处二阶导数（通常取零）：
$$
S''(x_0) = f_0'' = 0, \quad S''(x_n) = f_n'' = 0
$$
第三类边界条件（周期性）
假设函数为周期函数，周期为 $x_n - x_0$，要求：
$$
S'(x_0) = S'(x_n), \quad S''(x_0) = S''(x_n)
$$
第四类边界条件（Not-a-Knot）
强制首尾两个子区间为同一三次多项式，Matlab spline 函数默认采用此条件。
求解三弯矩方程
通过边界条件和导数连续性，可建立关于 $M_j$ 的三对角线性方程组：
$$
\begin{cases}
\mu_j M_{j-1} + 2M_j + \lambda_j M_{j+1} = d_j & (j = 1, \dots, n-1) \\
\text{边界条件对应的方程}
\end{cases}
$$
其中系数矩阵严格对角占优，保证解的存在唯一性。解出 $M_j$ 后代入分段表达式即得三次样条插值函数。
B-样条函数简介
基本概念
- k次样条函数：具有 $k-1$ 阶连续导数的分段k次多项式。
- B-样条基函数：局部非零的分段多项式基函数，广泛应用于计算机图形学、几何建模和微分方程数值解。
典型应用
- 1次B-样条：等价于分段线性函数。
- 3次B-样条：光滑性高，适合复杂曲线建模。