Ch5.4 Seifer-van Kampen 定理及其应用
Van-Kampen 定理
Seifert–van Kampen 定理提供了计算拓扑空间基本群的一个有力方法：当空间可分解为几个较好子空间的并集时，其基本群可表示为这些子空间基本群的融合积。我们先叙述一般形式。
定理 5.4.1 (Seifert–van Kampen 定理)
设 $X$ 是拓扑空间，$U_1, U_2$ 是 $X$ 的开子集，满足：
- $X = U_1 \cup U_2$；
- $U_1, U_2, U_0 = U_1 \cap U_2$ 均为道路连通；
- 取基点 $x_0 \in U_0$。
记包含映射为：
$$
i_k: U_0 \hookrightarrow U_k \quad (k=1,2), \qquad j_k: U_k \hookrightarrow X \quad (k=1,2).
$$
它们诱导基本群的同态：
$$
(i_k)_*: \pi_1(U_0, x_0) \to \pi_1(U_k, x_0), \quad (j_k)_*: \pi_1(U_k, x_0) \to \pi_1(X, x_0).
$$
则 $\pi_1(X, x_0)$ 同构于融合积 $\pi_1(U_1, x_0) \ast_{\pi_1(U_0, x_0)} \pi_1(U_2, x_0)$，即 $\pi_1(U_1, x_0)$ 与 $\pi_1(U_2, x_0)$ 关于 $\pi_1(U_0, x_0)$ 的融合积，其中融合由 $(i_1)_*$ 和 $(i_2)_*$ 给出。
换言之，$\pi_1(X, x_0)$ 由 $\pi_1(U_1, x_0)$ 和 $\pi_1(U_2, x_0)$ 生成，并且对于任意 $\gamma \in \pi_1(U_0, x_0)$，在 $\pi_1(X, x_0)$ 中有 $(j_1)_* \circ (i_1)_*(\gamma) = (j_2)_* \circ (i_2)_*(\gamma)$，且没有其他关系。
该定理可推广到有限个开子集的并，但需要更复杂的融合积（称为多重融合积）。为简单起见，我们通常只使用两个子集的版本，通过逐步分解可处理更多子集。
注记：
- 定理中的开子集条件可减弱为“邻域形变收缩邻域”（neighborhood deformation retract），但开集条件已适用于许多几何情形。
- 若 $U_0$ 单连通（例如可缩），则融合积退化为自由积，即 $\pi_1(X) \cong \pi_1(U_1) \ast \pi_1(U_2)$。
- 若 $U_2$ 单连通，则融合积退化为 $\pi_1(U_1) / N$，其中 $N$ 是包含 $(i_1)_*(\pi_1(U_0))$ 的正规子群。
证明
第一步：构造同态 $\Phi: G \to \pi_1(X, x_0)$
由自由积的泛性质，存在同态 $\phi: G_1 \ast G_2 \to \pi_1(X, x_0)$，使得 $\phi|_{G_1} = j_{1*}$，$\phi|_{G_2} = j_{2*}$。对任意 $h \in H$，
$$
\phi(i_{1*}(h)) = j_{1*}(i_{1*}(h)) = (j_1 \circ i_1)_*(h), \quad
\phi(i_{2*}(h)) = j_{2*}(i_{2*}(h)) = (j_2 \circ i_2)_*(h).
$$
由于 $j_1 \circ i_1 = j_2 \circ i_2$（均为包含映射 $U_1 \cap U_2 \hookrightarrow X$），故 $(j_1 \circ i_1)_*(h) = (j_2 \circ i_2)_*(h)$。因此 $\phi$ 将关系 $i_{1*}(h) i_{2*}(h)^{-1}$ 映为 $1$，从而诱导同态
$$
\Phi: G \to \pi_1(X, x_0).
$$
第二步：证明 $\Phi$ 是满射
设 $[f] \in \pi_1(X, x_0)$，其中 $f: I \to X$ 为基于 $x_0$ 的环路。由于 $\{U_1, U_2\}$ 是 $X$ 的开覆盖，由 Lebesgue 引理，存在分割
$$
0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = 1,
$$
使得每个区间 $[t_{i-1}, t_i]$ 的像包含于某个 $U_k$（$k=1$ 或 $2$）。通过细分，可假设相邻区间落在不同的 $U_k$ 中（否则合并），且每个端点 $f(t_i) \in U_1 \cap U_2$（因为相邻区间像分属不同开集时，公共端点必在交集中；而 $f(0)=f(1)=x_0 \in U_1 \cap U_2$）。
对每个 $i = 1, \dots, n-1$，选取道路 $\gamma_i: I \to U_1 \cap U_2$ 使得 $\gamma_i(0)=x_0$，$\gamma_i(1)=f(t_i)$（利用 $U_1 \cap U_2$ 的道路连通性）。令 $\gamma_0$ 和 $\gamma_n$ 为常道路 $c_{x_0}$。
定义道路段 $f_i = f|_{[t_{i-1}, t_i]}$，其像包含于 $U_{k_i}$（$k_i=1$ 或 $2$）。构造环路
$$
\alpha_i = \gamma_{i-1} \cdot f_i \cdot \overline{\gamma_i}: I \to U_{k_i},
$$
其中 $\cdot$ 表示道路连接，$\overline{\gamma_i}$ 为 $\gamma_i$ 的逆。则 $\alpha_i$ 是基于 $x_0$ 的环路，且完全位于 $U_{k_i}$ 中，故 $[\alpha_i] \in \pi_1(U_{k_i}, x_0)$。
考虑 $G$ 中的元素 $g = [\alpha_1] [\alpha_2] \cdots [\alpha_n]$（乘积在 $G$ 中计算）。计算 $\Phi(g)$：
$$
\Phi(g) = j_{k_1*}([\alpha_1]) \cdot j_{k_2*}([\alpha_2]) \cdots j_{k_n*}([\alpha_n]) \in \pi_1(X, x_0).
$$
在 $X$ 中，
$$
\alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdots \alpha_n
= (\gamma_0 \cdot f_1 \cdot \overline{\gamma_1}) \cdot (\gamma_1 \cdot f_2 \cdot \overline{\gamma_2}) \cdots (\gamma_{n-1} \cdot f_n \cdot \overline{\gamma_n})
\sim \gamma_0 \cdot f_1 \cdot f_2 \cdots f_n \cdot \overline{\gamma_n}
= c_{x_0} \cdot f \cdot c_{x_0}
\sim f.
$$
因此 $\Phi(g) = [f]$，故 $\Phi$ 是满射。
第三步：证明 $\Phi$ 是单射
设 $g \in G$ 满足 $\Phi(g) = 1$。将 $g$ 表示为字
$$
w = g_1 g_2 \cdots g_m,
$$
其中每个 $g_\nu$ 属于 $G_1$ 或 $G_2$，且相邻字母来自不同的群（否则可合并）。则存在基于 $x_0$ 的环路 $f: I \to X$ 使得 $[f] = \Phi(g)$，且存在同伦 $F: I \times I \to X$ 满足
$$
F(t,0) = f(t),\quad F(t,1) = x_0,\quad F(0,s)=F(1,s)=x_0,
$$
即 $F$ 是 $f$ 到常道路的零伦。
构造网格分割：
由于 $\{U_1, U_2\}$ 是开覆盖，由 Lebesgue 引理，存在分割
$$
0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_p = 1, \quad 0 = s_0 < s_1 < \cdots < s_q = 1,
$$
使得每个小矩形 $R_{ij} = [t_{i-1}, t_i] \times [s_{j-1}, s_j]$ 的像 $F(R_{ij})$ 包含于某个 $U_k$（记作 $U_{k_{ij}}$）。通过进一步细分，可要求每个顶点 $F(t_i, s_j) \in U_1 \cap U_2$（利用 $U_1 \cap U_2$ 是开集且 $F$ 连续）。
选择顶点道路：
对每个顶点 $(t_i, s_j)$，选取道路 $\gamma_{ij}: I \to U_1 \cap U_2$ 使得 $\gamma_{ij}(0)=x_0$，$\gamma_{ij}(1)=F(t_i,s_j)$，且满足：
- 对于角点：$\gamma_{00}$ 和 $\gamma_{p0}$ 取常道路 $c_{x_0}$（因为 $F(0,0)=x_0$，$F(1,0)=x_0$）；
- 对于底边顶点 $(t_i, 0)$，可调整 $\gamma_{i0}$ 使得它们与 $g$ 的表示相容（详见后文）；
- 对于顶边 $s=q$，因 $F(t,1)=x_0$，取所有 $\gamma_{i,q} = c_{x_0}$；
- 对于侧边 $t=0$ 和 $t=p$，因 $F(0,s)=F(1,s)=x_0$，取 $\gamma_{0j} = \gamma_{pj} = c_{x_0}$。
定义边对应的群元素：
对于水平边 $e_{ij} = [t_{i-1}, t_i] \times \{s_j\}$，定义
$$
a_{ij} = [\gamma_{i-1,j} \cdot F|_{e_{ij}} \cdot \overline{\gamma_{i,j}}] \in \pi_1(U_{k_{ij}}, x_0),
$$
其中 $U_{k_{ij}}$ 包含 $F(e_{ij})$。类似地，对于垂直边 $f_{ij} = \{t_i\} \times [s_{j-1}, s_j]$，定义
$$
b_{ij} = [\gamma_{i,j-1} \cdot F|_{f_{ij}} \cdot \overline{\gamma_{i,j}}] \in \pi_1(U_{k_{ij}}, x_0).
$$
小矩形关系：
考虑小矩形 $R_{ij}$，其边界环路（基于 $x_0$）为
$$
\alpha_{ij} = \gamma_{i-1,j-1} \cdot F|_{\partial R_{ij}} \cdot \overline{\gamma_{i-1,j-1}},
$$
其中 $\partial R_{ij}$ 为逆时针方向。由于 $F(R_{ij}) \subset U_{k_{ij}}$，且顶点在 $U_1 \cap U_2 \subset U_{k_{ij}}$，环路 $\alpha_{ij}$ 完全位于 $U_{k_{ij}}$ 中。又因 $R_{ij}$ 可缩，$\alpha_{ij}$ 在 $U_{k_{ij}}$ 中零伦，故 $[\alpha_{ij}]=1$ 在 $\pi_1(U_{k_{ij}}, x_0)$ 中。
将 $\alpha_{ij}$ 用边元素表示：
$$
\alpha_{ij} \sim a_{i,j-1} \cdot b_{i,j} \cdot \overline{a_{i,j}} \cdot \overline{b_{i-1,j}}.
$$
因此得到关系
$$
a_{i,j-1} b_{i,j} = b_{i-1,j} a_{i,j} \quad \text{在 } \pi_1(U_{k_{ij}}, x_0) \text{ 中}.
$$
该关系在包含同态下也给出 $G$ 中的等式。
底边与顶边：
适当选择底边道路 $\gamma_{i0}$，可使乘积
$$
a_{10} a_{20} \cdots a_{p0} = g \quad \text{在 } G \text{ 中}.
$$
对于顶边，因 $\gamma_{i,q}=c_{x_0}$ 且 $F(t,1)=x_0$，有 $a_{iq}=1$（平凡元素）。
归纳变换：
从底行 $j=0$ 开始，利用关系式逐步将 $a_{i,j-1}$ 向上推进。具体地，对固定的 $j$，关系
$$
a_{i,j-1} b_{i,j} = b_{i-1,j} a_{i,j}
$$
允许在 $G$ 中将 $a_{i,j-1}$ 替换为 $b_{i-1,j} a_{i,j} b_{i,j}^{-1}$。通过一系列这样的操作（并利用侧边 $b_{0j}=b_{pj}=1$），可证明在 $G$ 中：
$$
a_{10} a_{20} \cdots a_{p0} = a_{1q} a_{2q} \cdots a_{pq} = 1 \cdot 1 \cdots 1 = 1.
$$
因此 $g=1$，故 $\Phi$ 是单射。
综上，$\Phi: G \to \pi_1(X, x_0)$ 是同构，即
$$
\pi_1(X, x_0) \cong \pi_1(U_1, x_0) \ast_{\pi_1(U_1 \cap U_2, x_0)} \pi_1(U_2, x_0).
$$
使用 Van Kampen 定理计算基本群的步骤
为了有效应用 Van Kampen 定理，建议遵循以下步骤。我们将详细说明每一步，尤其是如何选取合适的开集和确定包含映射。
步骤 1：空间分解
将空间 $X$ 表示为两个道路连通开子集 $U_1$ 和 $U_2$ 的并，使得 $U_0 = U_1 \cap U_2$ 也是道路连通的。通常选取 $U_1, U_2$ 使得它们的基本群容易计算（例如可缩、圆周、圆盘等）。常见技巧：
- 让 $U_1$ 和 $U_2$ 稍微“重叠”一点，使交集非空且形状简单。
- 如果空间有较复杂的部分，可将其包含在一个开集中，而另一个开集覆盖其余部分。
步骤 2：计算各子空间的基本群
分别计算 $\pi_1(U_1, x_0)$, $\pi_1(U_2, x_0)$ 和 $\pi_1(U_0, x_0)$。选取基点 $x_0 \in U_0$。如果某个子空间可缩，则其基本群平凡；如果是圆周，则基本群为 $\mathbb{Z}$；如果是高维球面（$n \geq 2$），则基本群平凡；等等。
步骤 3：确定包含映射诱导的同态
这是最关键的一步。需要明确每个包含映射 $i_1: U_0 \hookrightarrow U_1$ 和 $i_2: U_0 \hookrightarrow U_2$ 诱导的基本群同态：
$$
(i_k)_*: \pi_1(U_0, x_0) \to \pi_1(U_k, x_0) \quad (k=1,2).
$$
具体做法：
- 选取 $U_0$ 中生成 $\pi_1(U_0)$ 的环路代表元（通常取标准生成元）。
- 将这些环路视为包含在 $U_k$ 中的环路（因为 $U_0 \subset U_k$）。
- 在 $U_k$ 中看这些环路是否同伦于某个元素（可能是更简单的环路），从而确定 $(i_k)_*$ 将生成元映到 $\pi_1(U_k)$ 中的哪个元素（用 $\pi_1(U_k)$ 的生成元表示）。
注意：如果 $U_0$ 的基本群有多个生成元，需要对每个生成元做上述分析。如果 $U_0$ 可缩，则 $(i_k)_*$ 是平凡同态，此时融合积退化为自由积。
步骤 4：写出融合积表示
根据定理，$\pi_1(X) \cong \pi_1(U_1) \ast_{\pi_1(U_0)} \pi_1(U_2)$。具体表示：
- 取 $\pi_1(U_1)$ 的生成元集合 $A$ 和关系 $R_1$（如果已知）。
- 取 $\pi_1(U_2)$ 的生成元集合 $B$ 和关系 $R_2$。
- 取 $\pi_1(U_0)$ 的生成元集合 $C$，并知道每个生成元 $c \in C$ 在 $(i_1)_*$ 和 $(i_2)_*$ 下的像。
- 则 $\pi_1(X)$ 的生成元为 $A \cup B$，关系为 $R_1 \cup R_2 \cup \{ (i_1)_*(c) = (i_2)_*(c) \mid c \in C \}$。
注意：如果 $\pi_1(U_0)$ 不是自由群（例如有额外关系），则关系 $(i_1)_*(c) = (i_2)_*(c)$ 可能已蕴含一些其他关系。通常我们取 $\pi_1(U_0)$ 的生成元集使得这些生成元在 $\pi_1(U_k)$ 中的像容易表示。
步骤 5：化简表示
可能得到的群表示较复杂，可尝试化简，例如消去冗余生成元，或者识别为已知的群。
下面通过几个经典例子具体说明。
经典例子
例 1：有限个圆环粘在一点（wedge of circles）
设 $X = \bigvee_{i=1}^n S^1_i$ 为 $n$ 个圆周在一个公共点 $p$ 处粘合而成的空间（也称为 bouquet of circles）。计算其基本群。
步骤 1：分解
利用归纳法：对 $n$ 用 Van Kampen 定理，每次粘一个圆周。即令 $U_1$ 为第一个圆周（稍微加厚使其开），$U_2$ 为其余 $n-1$ 个圆周的 wedge（也加厚），交集是一个可缩开集（公共点的小邻域）。由于交集可缩，融合积退化为自由积。
步骤 2：计算基本群
- $\pi_1(U_1) \cong \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$，生成元记作 $a_1$。
- $\pi_1(U_2) \cong \pi_1(\bigvee_{i=2}^n S^1_i)$。由归纳假设，这是秩 $n-1$ 的自由群，生成元记作 $a_2, \dots, a_n$。
- $\pi_1(U_0)$ 平凡，因为 $U_0$ 可缩。
步骤 3：包含映射诱导的同态
因为 $U_0$ 可缩，$\pi_1(U_0) = \{1\}$，包含映射诱导的同态平凡。
步骤 4：融合积表示
由于 $U_0$ 单连通，融合积就是自由积：$\pi_1(X) \cong \mathbb{Z} \ast F_{n-1}$，其中 $F_{n-1}$ 是秩 $n-1$ 的自由群。自由积 $\mathbb{Z} \ast F_{n-1}$ 就是秩 $n$ 的自由群 $F_n$。因此
$$
\pi_1\left( \bigvee_{i=1}^n S^1 \right) \cong F_n = \langle a_1, a_2, \dots, a_n \rangle.
$$
结论：$n$ 个圆周的 wedge 的基本群是秩为 $n$ 的自由群。
例 2：环面 $T^2 = S^1 \times S^1$
环面可视为正方形将对边等同：$(x,0) \sim (x,1)$, $(0,y) \sim (1,y)$。我们使用 Van Kampen 定理计算 $\pi_1(T^2)$。
步骤 1：分解
将环面表示为两个开子集的并：
- 令 $U_1$ 为环面去掉一个稍小的圆盘（开盘），即环面带一个洞。它可形变收缩到其 1-骨架，即两个圆周的 wedge（一个经圆和一个纬圆）。因此 $U_1$ 同伦等价于 $S^1 \vee S^1$。
- 令 $U_2$ 为包含该圆盘的一个开邻域（比如稍微扩大那个洞），使得 $U_2$ 同伦等价于一个圆盘（即可缩）。
- 则 $U_0 = U_1 \cap U_2$ 是一个圆环（annulus），同伦等价于圆周 $S^1$。
更具体地：取环面上一个点 $p$，考虑 $p$ 的一个小圆盘邻域，令 $U_2$ 为该圆盘，$U_1$ 为环面去掉 $p$（但为了是开集，我们去掉一个稍小的闭圆盘，保留边界附近的开邻域）。这样 $U_1$ 同伦等价于环面去掉一点，它可收缩到 1-骨架（两个生成元的 wedge）。$U_0$ 是圆盘去掉中心点，同伦等价于圆周。
步骤 2：计算基本群
取基点 $x_0$ 在 $U_0$ 的边界上。
- $\pi_1(U_1) \cong \pi_1(S^1 \vee S^1) \cong \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$，生成元记作 $a, b$，分别对应经圆和纬圆。
- $\pi_1(U_2)$ 平凡（因为 $U_2$ 可缩）。
- $\pi_1(U_0) \cong \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$，生成元记作 $c$。注意：$c$ 是 $U_0$ 中绕边界圆周一圈的环路。
步骤 3：确定包含映射诱导的同态
需要计算：
- $(i_1)_*: \pi_1(U_0) \to \pi_1(U_1)$: 将 $c$ 映到 $U_1$ 中的哪个元素？在 $U_1$ 中，边界圆周正好是那个小圆盘的边界，它绕着缺失的点转一圈。在环面去掉一点收缩到 1-骨架的过程中，这个边界圆周正好对应于经圆和纬圆的换位子：具体地，它同伦于 $aba^{-1}b^{-1}$（或逆，取决于定向）。通常取 $c \mapsto aba^{-1}b^{-1}$。(考虑等化前的正方形，该圆周可以形变扩张到正方形的边界，边界绕行一圈对应于经纬圆的换位子。)
- $(i_2)_*: \pi_1(U_0) \to \pi_1(U_2)$: 因为 $U_2$ 可缩，$\pi_1(U_2)$ 平凡，所以 $(i_2)_*(c) = 1$。
步骤 4：融合积表示
融合积 $\pi_1(U_1) \ast_{\pi_1(U_0)} \pi_1(U_2)$ 中，$\pi_1(U_2)$ 平凡，所以实际上就是 $\pi_1(U_1)$ 模去由 $(i_1)_*(c)$ 生成的正规子群。因为 $\pi_1(U_2) = \{1\}$，关系 $(i_1)_*(c) = (i_2)_*(c)$ 变为 $(i_1)_*(c) = 1$。因此
$$
\pi_1(T^2) \cong \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} = 1 \rangle = \langle a, b \mid ab = ba \rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.
$$
结论：环面的基本群是自由阿贝尔群 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$。
例 3：射影平面 $\mathbb{R}P^2$
射影平面可定义为将球面 $S^2$ 的对径点等同，或者更直观地，将圆盘的边界圆周上对径点粘合。我们使用后一种模型。
步骤 1：分解
将 $\mathbb{R}P^2$ 表示为两个开子集的并：
- 令 $U_1$ 为射影平面去掉一点（比如对应圆盘中心点的像）。这同伦等价于边界圆周在粘合后的空间，即圆周 $S^1$。
- 令 $U_2$ 为包含该点的一个小圆盘邻域（在射影平面中），因为圆盘可缩，且射影平面在一点附近是欧几里得的，所以 $U_2$ 同伦等价于一个点（可缩）。
- 则 $U_0 = U_1 \cap U_2$ 是一个圆环（annulus），同伦等价于圆周。
步骤 2：计算基本群
基点取在 $U_0$ 中。
- $\pi_1(U_1) \cong \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$，生成元记作 $a$。
- $\pi_1(U_2)$ 平凡。
- $\pi_1(U_0) \cong \mathbb{Z}$，生成元记作 $c$。$c$ 是 $U_0$ 中绕 $p$ 点的小圆周。
步骤 3：确定包含映射诱导的同态
- $(i_1)_*: \pi_1(U_0) \to \pi_1(U_1)$: 需要看 $U_0$ 中的小圆周在 $U_1$ 中对应什么。在射影平面中，绕 $p$ 点的小圆周在 $U_1$ 中同伦于绕边界（即 1-骨架）两圈？实际上，从圆盘模型看：射影平面由圆盘边界对径粘合，中心点为 $p$。$U_0$ 中的小圆周是绕中心的一个圆周，当它收缩到边界时，由于对径粘合，它变成了边界圆周的两倍。因为边界圆周上对径点等同，所以绕小圆周一圈对应边界圆周上走两圈。因此 $(i_1)_*(c) = a^2$（如果 $a$ 是边界圆周对应的生成元）。
- $(i_2)_*: \pi_1(U_0) \to \pi_1(U_2)$ 是平凡同态：$(i_2)_*(c) = 1$。
步骤 4：融合积表示
融合积 $\pi_1(U_1) \ast_{\pi_1(U_0)} \pi_1(U_2)$ 中，$\pi_1(U_2)$ 平凡，所以得到
$$
\pi_1(\mathbb{R}P^2) \cong \langle a \mid a^2 = 1 \rangle \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
$$
结论：射影平面的基本群是二阶循环群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。