Ch5.3 自由群和融合积
一、阿贝尔群的直和
1.1 有限直和
定义 5.3.1（有限直和）
设 $G_1, G_2, \dots, G_n$ 是阿贝尔群。它们的 直和（也称为直积）是一个阿贝尔群，记作 $\bigoplus_{i=1}^n G_i$ 或 $G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n$，其元素是 n 元组 $(g_1, g_2, \dots, g_n)$，其中 $g_i \in G_i$，运算按分量进行：
$$
(g_1, g_2, \dots, g_n) + (h_1, h_2, \dots, h_n) = (g_1 + h_1, g_2 + h_2, \dots, g_n + h_n).
$$
单位元是 $(0,0,\dots,0)$，元素 $(g_1,\dots,g_n)$ 的逆元是 $(-g_1,\dots,-g_n)$。
对于有限个阿贝尔群，直和与直积作为群是同构的，因此常不加区分。
直观理解
直和是将多个阿贝尔群“组合”成一个更大的阿贝尔群，使得新群的元素是各分量元素的组合，运算独立进行。这类似于向量空间的直和：每个分量独立，且整体是各分量的笛卡尔积。直和保持了各分量的独立性，且每个分量可以自然地嵌入直和中（通过在第 i 个分量放入元素，其余为 0）。
例 5.3.2
- 设 $G_1 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $G_2 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，则直和 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 是一个 6 阶阿贝尔群，同构于 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。一般地，若 $m$ 与 $n$ 互素，则 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$。
- 设 $G_1 = \mathbb{R}$, $G_2 = \mathbb{R}$，则直和 $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ 就是实平面上的加法群，可与 $\mathbb{R}^2$ 等同。
- 设 $G_1 = \mathbb{Z}$, $G_2 = \mathbb{Z}$，则 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 是由两个生成元生成的自由阿贝尔群，其元素为整数对 $(m,n)$，运算为向量加法。
1.2 无限直和与直积
对于无限个阿贝尔群，直和与直积的定义不同：
定义 5.3.3（无限直和与直积）
设 $\{G_i\}_{i \in I}$ 是一族阿贝尔群（指标集 $I$ 可能无限）。它们的 直积 $\prod_{i \in I} G_i$ 是所有函数 $f: I \to \bigcup_{i \in I} G_i$ 使得 $f(i) \in G_i$ 的集合，运算按分量相加：$(f+g)(i) = f(i) + g(i)$。
而 直和 $\bigoplus_{i \in I} G_i$ 是直积的子群，由满足除了有限个 $i$ 外 $f(i)=0$ 的函数组成。
直和有时称为 受限直积。当指标集有限时，直和与直积一致。
直观理解
无限直积允许每个分量可以独立取任意值（类似于选择公理中的选择函数），而直和则要求只有有限个分量非零。直和是直积的“有限支撑”子群。直观上，直积类似于无限维空间（所有序列），而直和是其中只有有限个非零坐标的子空间。
例 5.3.4
- 设 $G_i = \mathbb{Z}$ 对所有 $i \in \mathbb{N}$。则直积 $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{Z}$ 包含所有整数序列 $(a_1, a_2, \dots)$，而直和 $\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{Z}$ 是仅有限项非零的整数序列组成的子群。
- 设 $G_i = \mathbb{R}$ 对所有 $i \in I$，且 $I$ 无限。则直积 $\prod_{i \in I} \mathbb{R}$ 是所有实值函数 $f: I \to \mathbb{R}$，而直和是有限支撑的函数。
1.3 直和的泛性质
定理 5.3.5（直和的泛性质）
设 $\{G_i\}_{i \in I}$ 是一族阿贝尔群，$\bigoplus_{i \in I} G_i$ 是它们的直和，并令 $\iota_j: G_j \to \bigoplus_{i \in I} G_i$ 为嵌入映射：$\iota_j(g)$ 在第 $j$ 个分量为 $g$，其余分量为 0。则对于任意阿贝尔群 $H$ 和一族同态 $\varphi_i: G_i \to H$，存在唯一的同态 $\varphi: \bigoplus_{i \in I} G_i \to H$ 使得对每个 $j \in I$ 有 $\varphi \circ \iota_j = \varphi_j$。
证明
给定 $\varphi_i$，定义 $\varphi: \bigoplus_{i \in I} G_i \to H$ 如下：对任意 $(g_i)_{i \in I} \in \bigoplus_{i \in I} G_i$，由于只有有限个 $g_i$ 非零，设这些指标为 $i_1, \dots, i_n$，令
$$
\varphi((g_i)) = \varphi_{i_1}(g_{i_1}) + \varphi_{i_2}(g_{i_2}) + \dots + \varphi_{i_n}(g_{i_n}).
$$
容易验证 $\varphi$ 是同态：若还有 $(h_i)$，则 $(g_i)+(h_i) = (g_i+h_i)$，其非零指标包含在两者的非零指标之并中，由 $\varphi_i$ 的同态性可得 $\varphi((g_i)+(h_i)) = \varphi((g_i)) + \varphi((h_i))$。
对于 $j \in I$，$\iota_j(g)$ 除第 j 分量外均为 0，故 $\varphi(\iota_j(g)) = \varphi_j(g)$，即 $\varphi \circ \iota_j = \varphi_j$。
唯一性：若还有同态 $\psi$ 满足条件，则对任意 $(g_i) \in \bigoplus_{i \in I} G_i$，由于 $(g_i) = \sum_{i \in I} \iota_i(g_i)$（有限和），有
$$
\psi((g_i)) = \sum \psi(\iota_i(g_i)) = \sum \varphi_i(g_i) = \varphi((g_i)),
$$
故 $\psi = \varphi$。
此泛性质表明直和是阿贝尔群范畴中的 余积（coproduct）。
二、群的自由积
2.1 自由积的定义
现在我们考虑非交换群的一般情况。自由积是构造新群的一种方法，它将一族群“合并”为一个更大的群，使得这些群作为子群嵌入且它们之间除了单位元外没有交互。
定义 5.3.6（自由积）
设 $\{G_i\}_{i \in I}$ 是一族群。它们的 自由积 $\ast_{i \in I} G_i$ 是一个群，构造如下：
- 字：一个有限序列 $w = a_1 a_2 \dots a_n$，其中每个 $a_k$ 属于某个 $G_i \setminus \{e_i\}$（$e_i$ 是 $G_i$ 的单位元），且相邻的 $a_k$ 和 $a_{k+1}$ 属于不同的群。
- 约化：如果一个字满足上述条件（即没有相邻字母来自同一群，且没有单位元），则称为 约化字。空字记作 $\varepsilon$。
- 乘法：两个约化字 $u$ 和 $v$ 的乘积通过拼接 $uv$ 然后约化得到：从拼接处开始，如果相邻字母属于同一群，则将它们相乘（得到该群的一个元素），如果结果是单位元则删除，然后继续检查新的相邻字母，直到得到约化字。
- 单位元：空字 $\varepsilon$。
- 逆元：字 $a_1 a_2 \dots a_n$ 的逆是 $a_n^{-1} \dots a_2^{-1} a_1^{-1}$，其中 $a_k^{-1}$ 是其在所属群中的逆。
可以证明上述运算定义了群结构，记作 $\ast_{i \in I} G_i$。
每个群 $G_j$ 自然嵌入自由积：将 $g \in G_j \setminus \{e_j\}$ 映为长度为 1 的字 $g$，单位元映为空字。通常将 $G_j$ 与它在自由积中的像等同。
直观理解
自由积可以想象为将多个群“粘合”在一起，但除了单位元外没有其他公共元素。每个群中的元素可以交替相乘，但不能交换不同群的元素（除非通过群本身的性质）。自由积中的元素就像“单词”，字母来自不同的群，且相邻字母不能来自同一群（否则合并）。自由积是这些群生成的“最自由”的群，没有添加任何额外关系。例如，两个循环群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的自由积是由两个对合生成且没有其他关系的群，即无限二面体群。
例 5.3.7
- 两个循环群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的自由积 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。设两个群的生成元分别为 $a$ 和 $b$，满足 $a^2 = 1$, $b^2 = 1$。自由积中的元素是交替出现的 $a$ 和 $b$，例如 $ababab$。这个群同构于无限二面体群，可以看作实数轴上由反射生成的等距群。
- 自由积 $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$。设两个循环群的生成元分别为 $a$ 和 $b$。则自由积中的元素是任意由 $a, a^{-1}, b, b^{-1}$ 组成的约化字，其中相邻字母不能是同一生成元的幂（因为那样可以合并）。这个群实际上是一个秩为 2 的自由群。
- 自由积 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。这个群由两个元素 $a, b$ 生成，满足 $a^2 = 1, b^3 = 1$，没有其他关系。可以证明这个群同构于 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$（模群）的某个子群。
2.2 自由积的泛性质
自由积具有如下泛性质，它是群范畴中的余积。
定理 5.3.8（自由积的泛性质）
设 $\{G_i\}_{i \in I}$ 是一族群，$\ast_{i \in I} G_i$ 是它们的自由积，并令 $\iota_j: G_j \to \ast_{i \in I} G_i$ 为自然嵌入（将 $g \in G_j$ 映为长度为 1 的字 $g$，若 $g \neq e_j$；映为空字若 $g = e_j$）。则对于任意群 $H$ 和一族同态 $\varphi_i: G_i \to H$，存在唯一的同态 $\varphi: \ast_{i \in I} G_i \to H$ 使得对每个 $j \in I$ 有 $\varphi \circ \iota_j = \varphi_j$。
证明
给定同态 $\varphi_i$，定义映射 $\varphi: \ast_{i \in I} G_i \to H$ 如下：对任意约化字 $w = a_1 a_2 \dots a_n$，其中 $a_k \in G_{i_k}$，令
$$
\varphi(w) = \varphi_{i_1}(a_1) \varphi_{i_2}(a_2) \dots \varphi_{i_n}(a_n) \in H.
$$
定义 $\varphi(\varepsilon) = e_H$。由于约化字的表示唯一，该定义是良定的。我们验证 $\varphi$ 是同态：设 $u = a_1 \dots a_m$, $v = b_1 \dots b_n$ 是两个约化字。乘积 $uv$ 的约化过程如下：将 $u$ 和 $v$ 拼接，然后从连接处开始合并。具体地，如果 $a_m$ 和 $b_1$ 属于不同的群，则 $uv$ 已经是约化字；否则，它们属于同一群，设 $c = a_m b_1 \in G_i$。若 $c \neq e_i$，则用 $c$ 替代这两个字母；若 $c = e_i$，则删除它们，然后继续检查新的相邻字母。这个过程可能持续多步。我们证明 $\varphi(uv) = \varphi(u) \varphi(v)$。
设约化过程最终得到的约化字为 $w$。注意在 $H$ 中，$\varphi(u) \varphi(v) = \varphi_{i_1}(a_1) \dots \varphi_{i_m}(a_m) \varphi_{j_1}(b_1) \dots \varphi_{j_n}(b_n)$。如果 $a_m$ 和 $b_1$ 属于不同群，则显然 $\varphi(uv) = \varphi(u) \varphi(v)$。如果属于同一群，则约化过程中合并了它们：在 $H$ 中，$\varphi_{i_m}(a_m) \varphi_{j_1}(b_1) = \varphi_i(a_m) \varphi_i(b_1) = \varphi_i(a_m b_1) = \varphi_i(c)$，而如果 $c = e_i$，则这一项消失。继续此过程，可见 $\varphi(uv)$ 正好等于 $\varphi(u) \varphi(v)$。故 $\varphi$ 是同态。
由定义，对 $g \in G_j$，$\varphi(\iota_j(g)) = \varphi_j(g)$，所以 $\varphi \circ \iota_j = \varphi_j$。
唯一性：若还有同态 $\psi$ 满足条件，则对任意生成元 $g \in G_j$（作为长度为 1 的字），有 $\psi(g) = \varphi_j(g) = \varphi(g)$。由于自由积由各 $G_j$ 生成，且同态在生成元上确定，故 $\psi = \varphi$。
三、自由群
3.1 自由群的定义
自由群是自由积的特例，当每个因子都是无限循环群时，所得的自由积就是自由群。自由群也可以由集合直接构造，是“最自由”的群。
定义 5.3.9（自由群）
给定一个集合 $S$（称为字母表），其上的 自由群 $F(S)$ 是一个群，构造如下：
- 令 $S^{-1} = \{s^{-1} \mid s \in S\}$ 为形式逆的集合，与 $S$ 不交。
- 字：由 $S \cup S^{-1}$ 中符号组成的有限序列 $w = x_1 x_2 \dots x_n$。
- 约化：如果一个字没有相邻符号是互逆的（即没有形如 $s s^{-1}$ 或 $s^{-1} s$ 的子串），则称为 约化字。空字记作 $\varepsilon$。
- 乘法：两个约化字 $u$ 和 $v$ 的乘积通过拼接 $uv$ 然后约化得到：从拼接处开始，删除相邻的互逆对，然后继续，直到得到约化字。
- 单位元：空字 $\varepsilon$。
- 逆元：字 $x_1 x_2 \dots x_n$ 的逆是 $x_n^{-1} \dots x_2^{-1} x_1^{-1}$，其中若 $x = s \in S$，则 $x^{-1} = s^{-1}$；若 $x = s^{-1}$，则 $x^{-1} = s$。
可以证明上述运算定义了群结构，记作 $F(S)$。集合 $S$ 称为自由群的 自由生成元。
若 $S$ 有 $n$ 个元素，则记自由群为 $F_n$，称为 秩为 n 的自由群。特别地，$F_0$ 是平凡群，$F_1$ 同构于整数加法群 $\mathbb{Z}$。
“直观理解”
自由群是“最自由”的群，由集合 $S$ 生成，除了群公理要求的单位元和逆元关系外，没有其他任何关系。自由群中的元素是“单词”，字母来自 $S$ 及其形式逆，且单词不能通过消去相邻的字母和它的逆来简化。自由群在群论中的地位类似于向量空间中的自由模：任何群都可以由生成元和关系表示，而自由群正是没有关系的生成元所生成的群。自由群的非交换性体现在单词的顺序上。
例 5.3.10
- 若 $S$ 是空集，则 $F(S)$ 是平凡群。
- 若 $S$ 是单元素集 $\{a\}$，则 $F(S)$ 同构于整数加法群 $\mathbb{Z}$，因为所有约化字形如 $a^n$（$n \in \mathbb{Z}$），乘法对应指数相加。
- 若 $S = \{a, b\}$，则 $F(S)$ 是所有由 $a, b, a^{-1}, b^{-1}$ 组成的约化字的集合，例如 $ab a^{-1} b^2$ 是一个约化字。该群是非阿贝尔的无限群。它是秩为 2 的自由群。
- 自由群 $F(a,b)$ 的子群由所有偶数长度的字组成，这个子群实际上是秩为 3 的自由群（由 $aa, ab, ab^{-1}$ 等生成）。
自由群也可以用自由积来构造：若 $S$ 有 $n$ 个元素，则 $F(S)$ 同构于 $n$ 个 $\mathbb{Z}$ 的自由积：$\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z} \ast \cdots \ast \mathbb{Z}$。
3.2 自由群的泛性质
自由群的泛性质表明，自由群是集合到群遗忘函子的左伴随。
定理 5.3.11（自由群的泛性质）
设 $S$ 是一个集合，$F(S)$ 是 $S$ 上的自由群，并令 $\iota: S \to F(S)$ 为包含映射（将 $s$ 映为长度为 1 的字 $s$）。则对于任意群 $G$ 和任意映射 $f: S \to G$，存在唯一的群同态 $\varphi: F(S) \to G$ 使得 $\varphi \circ \iota = f$。
证明
给定 $f: S \to G$，我们将其延拓到 $S^{-1}$ 上：定义 $f(s^{-1}) = f(s)^{-1} \in G$。现在对任意约化字 $w = x_1 x_2 \dots x_n$，其中 $x_i \in S \cup S^{-1}$，定义
$$
\varphi(w) = f(x_1) f(x_2) \dots f(x_n) \in G,
$$
并定义 $\varphi(\varepsilon) = e_G$。由于约化字的表示唯一，该定义良定。
验证同态：设 $u, v$ 是约化字。乘积 $uv$ 约化后得到字 $w$。与自由积类似，约化过程对应于在 $G$ 中消去相邻互逆的像。由于 $f(x) f(x^{-1}) = f(x) f(x)^{-1} = e_G$，在 $G$ 中对应的乘积正好等于 $\varphi(u) \varphi(v)$。因此 $\varphi(uv) = \varphi(u) \varphi(v)$。
显然 $\varphi(\iota(s)) = \varphi(s) = f(s)$，所以 $\varphi \circ \iota = f$。
唯一性：若还有同态 $\psi: F(S) \to G$ 满足 $\psi \circ \iota = f$，则对生成元 $s \in S$，有 $\psi(s) = f(s) = \varphi(s)$。由于同态保持逆，$\psi(s^{-1}) = \psi(s)^{-1} = f(s)^{-1} = \varphi(s^{-1})$。由于 $F(S)$ 由 $S$ 生成，且同态在生成元上确定，故 $\psi = \varphi$。
推论 5.3.12
任何群都是某个自由群的商群。
证明
设 $G$ 是一个群，取 $S$ 为 $G$ 的生成集（例如 $S = G$），则由泛性质，存在同态 $\varphi: F(S) \to G$ 使得 $\varphi(s) = s$ 对 $s \in S$。由于 $S$ 生成 $G$，$\varphi$ 是满射。令 $N = \ker \varphi$，则由第一同构定理，$G \cong F(S)/N$。
自由群在群表示理论中扮演重要角色：群可以表示为 $\langle S \mid R \rangle$，即自由群 $F(S)$ 模去由关系 $R$ 生成的正规子群。
3.3 自由群的进一步性质
自由群还有许多有趣的性质，这里列举两个基本事实。
定理 5.3.13（自由群的子群也是自由群）
自由群的任意子群仍然是自由群（Nielsen–Schreier 定理）。而且，如果 $F$ 是秩为 $n$ 的自由群，$H$ 是 $F$ 的指数有限的子群，则 $H$ 是秩为 $1 + [F:H](n-1)$ 的自由群。
例 5.3.14
设 $F_2 = F(a,b)$ 是秩为 2 的自由群。考虑由 $a^2, b^2, ab$ 生成的子群，实际上是所有长度为偶数的字组成的子群。这个子群是秩为 3 的自由群。
定理 5.3.15（自由群的 Abel 化）
将自由群 $F(S)$ 交换化（即模掉换位子子群）得到自由阿贝尔群 $\mathbb{Z}^{\oplus |S|}$。特别地，秩为 $n$ 的自由群的 Abel 化同构于 $\mathbb{Z}^n$。
四、融合积（Amalgamated Product）
融合积的引入动机
在自由积中，我们将一族群通过最自由的方式组合在一起，除了单位元外没有额外的关系。然而，在许多几何和代数情形中，我们希望在合并群的同时，将某些公共子群"粘合"起来，即要求这些子群在合并后是等同的。这正是融合积的概念。
例如，在拓扑中考虑两个空间沿着公共子空间粘合时，它们的基本群往往表现为这两个空间基本群关于公共子空间基本群的融合积。这是Seifert-van Kampen定理的核心内容。
融合积的定义
定义 5.3.16（融合积）
设 $H$ 是一个群，$G_1$ 和 $G_2$ 是两个群，且分别有单同态 $\varphi_1: H \to G_1$ 和 $\varphi_2: H \to G_2$。将 $H$ 通过 $\varphi_1, \varphi_2$ 分别视为 $G_1$ 和 $G_2$ 的子群。$G_1$ 和 $G_2$ 关于 $H$ 的融合积是一个群，记作 $G_1 \ast_H G_2$，定义为自由积 $G_1 \ast G_2$ 模去由关系
$$
\varphi_1(h) = \varphi_2(h) \quad (\forall h \in H)
$$
生成的正规子群。更精确地，设 $N$ 是 $G_1 \ast G_2$ 中包含所有形如 $\varphi_1(h) \varphi_2(h)^{-1}$ ($h \in H$) 的元素的最小正规子群，则
$$
G_1 \ast_H G_2 = (G_1 \ast G_2) / N.
$$
该构造可推广到多个群的情况：设一族群 $\{G_i\}_{i \in I}$，有一个公共群 $H$ 及单同态 $\varphi_i: H \to G_i$，则融合积 $\ast_H G_i$ 是自由积 $\ast_{i \in I} G_i$ 模去由 $\varphi_i(h) = \varphi_j(h)$ (对所有 $i, j \in I$ 和 $h \in H$) 生成的正规子群。
直观理解
融合积可以想象为将多个群沿着它们的公共子群 $H$ "粘合"在一起。在自由积中，来自不同群的元素除了单位元外没有关系；而在融合积中，我们要求 $H$ 在每个群中的像被视为同一个子群。这就像将多个空间沿着公共子空间粘合：原本各自独立的群现在共享一个公共部分，并且这个公共部分完全等同。融合积是自由积的一种商，添加了将 $H$ 等同的关系。
融合积的泛性质
融合积可以通过泛性质刻画，这体现了其作为推出（pushout）的角色。
定理 5.3.17（融合积的泛性质）
设 $H, G_1, G_2$ 如定义 5.3.1。记 $\iota_1: H \to G_1$, $\iota_2: H \to G_2$ 为单同态（为统一起见，下面用 $\iota_1, \iota_2$ 代替 $\varphi_1, \varphi_2$）。令 $G = G_1 \ast_H G_2$，并设 $j_1: G_1 \to G$, $j_2: G_2 \to G$ 为自然同态（复合 $G_i \hookrightarrow G_1 \ast G_2 \twoheadrightarrow G$）。则下图交换：
$$
\begin{array}{ccc}
H & \xrightarrow{\iota_1} & G_1 \\
\downarrow{\iota_2} & & \downarrow{j_1} \\
G_2 & \xrightarrow{j_2} & G
\end{array}
$$
且满足以下泛性质：对任意群 $K$ 及同态 $f_1: G_1 \to K$, $f_2: G_2 \to K$ 使得 $f_1 \circ \iota_1 = f_2 \circ \iota_2$，存在唯一的同态 $f: G \to K$ 使得 $f \circ j_1 = f_1$ 且 $f \circ j_2 = f_2$。
证明
由融合积的构造，显然有 $j_1 \circ \iota_1 = j_2 \circ \iota_2$（因为 $\iota_1(h)$ 和 $\iota_2(h)$ 在 $G$ 中等同）。
给定 $f_1, f_2$ 满足 $f_1 \circ \iota_1 = f_2 \circ \iota_2$，由自由积的泛性质（定理 6.1.8），存在唯一的同态 $\tilde{f}: G_1 \ast G_2 \to K$ 使得 $\tilde{f}|_{G_1} = f_1$，$\tilde{f}|_{G_2} = f_2$。对任意 $h \in H$，有
$$
\tilde{f}(\iota_1(h) \iota_2(h)^{-1}) = f_1(\iota_1(h)) f_2(\iota_2(h))^{-1} = f_1(\iota_1(h)) f_1(\iota_1(h))^{-1} = 1,
$$
其中用到了 $f_1 \circ \iota_1 = f_2 \circ \iota_2$。因此，$\tilde{f}$ 在关系子 $N$ 上平凡，故诱导出同态 $f: (G_1 \ast G_2)/N \to K$，即 $f: G_1 \ast_H G_2 \to K$，满足 $f \circ j_1 = f_1$, $f \circ j_2 = f_2$。
唯一性：若还有同态 $f': G \to K$ 满足条件，则 $f'$ 与 $f$ 在 $j_1(G_1)$ 和 $j_2(G_2)$ 上一致，而这些像生成 $G$，故 $f' = f$。
融合积的具体构造与正规形式
为了更清晰地理解融合积的元素，我们可以给出其正规形式，类似于自由积的约化字。
定理 5.3.18（融合积的正规形式）
设 $G = G_1 \ast_H G_2$。选取 $G_1$ 中 $H$ 的左陪集代表元系 $T_1$，使得包含单位元 $e$（即 $e \in T_1$）；同样选取 $G_2$ 中 $H$ 的左陪集代表元系 $T_2$，也包含单位元。则 $G$ 中每个元素可唯一表示为如下形式：
$$
h \, t_1 t_2 \cdots t_n,
$$
其中 $n \geq 0$，$h \in H$，而 $t_1, \dots, t_n$ 是交替取自 $T_1 \setminus \{e\}$ 和 $T_2 \setminus \{e\}$ 的序列（即相邻的 $t_i$ 来自不同的陪集代表系）。当 $n=0$ 时，元素就是 $h$。
证明思路
由于 $G$ 是自由积模去关系，每个元素可写为自由积中的字。利用关系 $\varphi_1(h) = \varphi_2(h)$，我们可以将字转化为上述形式。首先，可将字中相邻的来自同一群的元素合并，并利用关系将相邻的 $H$-元素集中到最左边。通过选择陪集代表元，可以将每个非 $H$ 元素写为陪集代表元与某个 $H$-元素的乘积，然后将 $H$-元素逐步左移。最终得到上述形式。唯一性需要证明不同的正规形式代表不同的元素，这可通过构造到某个适当群上的作用来验证。
直观理解
正规形式表明，融合积中的元素可以想象为"穿越"于 $G_1$ 和 $G_2$ 之间，但每次从一个群切换到另一个群时，我们记录的是陪集代表元（即"非公共部分"），而所有的公共部分（来自 $H$）都集中到了最前面。这类似于在两个空间中行走，每次穿过公共区域时，我们只记录在各自空间中的相对位置，而公共区域的信息被提取到起点。
自然映射的单射性
一个重要的问题是：自然同态 $j_i: G_i \to G_1 \ast_H G_2$ 是否是单射？即 $G_1$ 和 $G_2$ 是否作为子群嵌入到融合积中？一般情况下，答案是肯定的。
定理 5.3.19（嵌入定理）
在融合积 $G_1 \ast_H G_2$ 中，自然同态 $j_1: G_1 \to G_1 \ast_H G_2$ 和 $j_2: G_2 \to G_1 \ast_H G_2$ 是单射。因此，我们可以将 $G_1$ 和 $G_2$ 视为 $G$ 的子群，且 $j_1(H) = j_2(H)$ 是它们的公共子群。
证明
该定理的证明需要一些技术，一种方法是利用正规形式的唯一性：若 $g \in G_1$ 且 $j_1(g)=1$，则将其写为正规形式，通过比较可知 $g \in H$ 且实际上 $g=1$。更一般的证明可通过构造作用或使用树积（tree product）的性质。这里我们概述一种基于正规形式的论证。
假设 $g \in G_1$ 使得 $j_1(g)=1$。在自由积 $G_1 \ast G_2$ 中，$g$ 可视为长度为1的字。在模去关系后成为单位元，意味着在自由积中，$g$ 属于正规子群 $N$。$N$ 中的元素可由形如 $r h r^{-1}$ 的共轭生成，其中 $r \in G_1 \ast G_2$，$h \in \varphi_1(H)$ 或 $\varphi_2(H)$。通过分析这种元素在陪集代表元下的形式，可以证明若 $g$ 在 $G_1$ 中且变为单位，则 $g$ 必须属于 $H$ 且在关系下等同于 $H$ 的单位元，从而 $g=1$。因此 $j_1$ 是单射。同理 $j_2$ 也是单射。
因此，在融合积中，我们可以安全地将 $G_1, G_2$ 和 $H$ 视为 $G$ 的子群，且 $G_1 \cap G_2 = H$（在等同的意义下）。
融合积的例子
例 5.3.20
- 若 $H$ 是平凡群，则融合积 $G_1 \ast_H G_2$ 就是自由积 $G_1 \ast G_2$。
- 若 $H = G_1$ 且 $\varphi_1: H \to G_1$ 是恒等映射，$\varphi_2: H \to G_2$ 是某个单同态，则融合积 $G_1 \ast_H G_2$ 同构于 $G_2$。实际上，此时关系要求 $G_1$ 中所有元素等同于它们在 $G_2$ 中的像，因此整个 $G_1$ 被"吸收"进 $G_2$。
- 设 $G_1 = \mathbb{Z} = \langle a \rangle$，$G_2 = \mathbb{Z} = \langle b \rangle$，$H = \mathbb{Z}$，且 $\varphi_1: H \to G_1$ 为 $n \mapsto a^{2n}$，$\varphi_2: H \to G_2$ 为 $n \mapsto b^{3n}$。则融合积 $G_1 \ast_H G_2$ 由两个元素 $a, b$ 生成，满足关系 $a^2 = b^3$。这个群实际上是 亏格为1的扭结群（三叶结的基本群）的子群。
- 拓扑例子：设两个环面 $T_1$ 和 $T_2$ 沿着一个简单闭曲线 $\gamma$ 粘合。若 $\gamma$ 在每个环面中不是可缩的，且不是边界平行线，则整个空间的基本群是两个环面基本群（都是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$）关于 $\gamma$ 生成的循环子群的融合积。具体地，$\pi_1(T_1) = \langle a_1, b_1 \mid [a_1, b_1] = 1 \rangle$，$\pi_1(T_2) = \langle a_2, b_2 \mid [a_2, b_2] = 1 \rangle$，而 $\gamma$ 在每个环面中对应某个单词，如 $a_1^m b_1^n$ 和 $a_2^p b_2^q$。则粘合空间的基本群为
$$ \langle a_1, b_1, a_2, b_2 \mid [a_1,b_1]=1, [a_2,b_2]=1, a_1^m b_1^n = a_2^p b_2^q \rangle. $$
这正是融合积 $\pi_1(T_1) \ast_{\langle \gamma \rangle} \pi_1(T_2)$。