TCS Lec11总结

1. 随机算法案例

1.1 随机搜索算法

• 问题定义：
  输入：长度为 $n$ 的二进制串 $x$，其中恰有 $n/4$ 个位置为 1。
  输出：一个满足 $x_i = 1$ 的位置 $i$。
• 确定性算法：
  • 顺序扫描：最坏情况（如 $x = 0^{3n/4}1^{n/4}$) 时间复杂度 $\Omega(n)$。
• 随机算法：
  • 重复采样随机位置 $i \sim \text{Unif}([n])$，直到找到 1。
  • 分析：
    • 单次成功概率 $p = 1/4$。
    • 运行时间服从几何分布，期望值 $\mathbb{E}[T] = 1/p = 4 = O(1)$。
  • 关键结论：对任意输入，期望时间复杂度为 $O(1)$。

1.2 矩阵乘法验证（Freivalds 算法）

• 问题定义：
  给定 $n \times n$ 矩阵 $A, B, C$，验证 $AB \overset{?}{=} C$。
• 算法：
  重复 $k$ 次：
  1. 生成随机向量 $v \in \{0,1\}^n$（均匀分布）。
  2. 计算 $d = A(Bv) - Cv$。
  3. 若 $d \neq \vec{0}$，输出 "No"。
     若所有迭代通过，输出 "Yes"。
• 正确性证明：
  • 若 $AB = C$：恒输出 "Yes"（错误率 $0$）。
  • 若 $AB \neq C$：设 $D = AB - C \neq 0$，存在非零元素 $D_{i,j}$。
    • 分析分量 $d_i = \sum_k D_{i,k}v_k = D_{i,j}v_j + s$（$s$ 为其他项和）。
    • 错误条件：$d_i = 0$。
      $$ \Pr(d_i = 0) = \underbrace{\Pr(v_j = 0)}_{1/2} \cdot \Pr(s=0) + \underbrace{\Pr(D_{i,j}v_j = -s)}_{\leq 1/2} \cdot \Pr(s \neq 0) \leq \frac{1}{2}. $$
    • 故 $\Pr(\text{输出 "Yes"}) \leq (1/2)^k = 2^{-k}$。
• 复杂度：$O(kn^2)$（优于直接计算 $O(n^\omega)$，$\omega \geq 2.37$）。

1.3 MAX-CUT 近似算法

• 问题定义：
  给定图 $G=(V,E)$，求最大割（NP-难问题）。
• 随机算法：
  • 为每个顶点随机分配 $0$ 或 $1$（均匀分布），割边为 $x_u \neq x_v$ 的边。
  • 期望割大小：
    $$ \mathbb{E}[\text{size}] = \sum_{\{u,v\} \in E} \Pr(x_u \neq x_v) = \frac{|E|}{2} \geq \frac{1}{2} \text{OPT}. $$
• 去随机化：
  • 成对独立哈希函数：
    在随机算法去随机化（Derandomization）中，成对独立哈希函数族（Pairwise Independent Hash Family）是关键工具。

1. 完全独立性的计算代价过高

• 在 MAX-CUT 随机算法中，为每个顶点独立随机分配比特（0/1）需要 $n$ 个独立随机比特。
• 可能赋值方案共 $2^n$ 种（指数级），无法在多项式时间内枚举所有解。
• 算法只需保证每条边被割的概率为 $1/2$（即 $\Pr[x_u \neq x_v] = \frac{1}{2}$)。
• 但完全独立性要求所有顶点赋值全局独立，计算代价过高。

2. 成对独立性的充分性

   • 定义：
     • 函数族 $\mathcal{H} = \{ h: U \to R \}$ 是成对独立的，若对任意不同输入 $x_1 \neq x_2 \in U$ 和任意输出 $y_1, y_2 \in R$：
       $$ \Pr_{h \in \mathcal{H}} \left[ h(x_1) = y_1 \land h(x_2) = y_2 \right] = \frac{1}{|R|^2}. $$
     • 性质：对任意 $x_1 \neq x_2$，事件 $h(x_1) = y_1$ 和 $h(x_2) = y_2$ 相互独立。
   • 关键观察：
     • MAX-CUT 的割大小仅依赖边端点的比特差异：
       $$ \text{size} = \sum_{\{u,v\} \in E} \mathbf{1}_{[h(u) \neq h(v)]}. $$
     • 只需保证每条边的割事件（即 $h(u) \neq h(v)$）概率为 $1/2$，且边间两两独立（无需全局独立）。

3. 高效构造与多项式大小

   • 构造方法（以顶点集 $V$ 为例）：
     • 设顶点用 $k = \log n$ 位编码（$U = \{0,1\}^k$），输出 $R = \{0,1\}$。
     • 定义哈希函数：
       $$ h_{a,b}(x) = a \cdot x + b \mod 2 \quad (a \in \{0,1\}^k, b \in \{0,1\}). $$
     • 函数族大小：$|\mathcal{H}| = 2^{k+1} = 2n = O(n)$（多项式级）。
   • 成对独立性证明：
     • 固定 $x_1 \neq x_2$，需证 $\forall y_1, y_2 \in \{0,1\}$：
       $$ \Pr_{a,b} \left[ a \cdot x_1 + b = y_1 \land a \cdot x_2 + b = y_2 \right] = \frac{1}{4}. $$
     • 方程组：
       $$ \begin{cases} a \cdot x_1 + b = y_1 \\ a \cdot x_2 + b = y_2 \end{cases} \implies a \cdot (x_1 - x_2) = y_1 - y_2 \pmod{2}. $$
     • 因 $x_1 \neq x_2$，存在坐标 $i$ 使得 $x_{1,i} \neq x_{2,i}$。
       对固定 $a$ 的其他分量，$a_i$ 有唯一解满足方程（概率 $1/2$），且 $b$ 由 $a$ 唯一确定（概率 $1$）。
       故联合概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

4. 去随机化的实现

   • 算法步骤：
     1. 枚举所有 $h_{a,b} \in \mathcal{H}$（共 $2n$ 个函数）。
     2. 对每个 $h_{a,b}$，计算割大小 $\text{size}_{a,b} = \sum_{\{u,v\} \in E} \mathbf{1}_{[h_{a,b}(u) \neq h_{a,b}(v)]}$。
     3. 输出最大割。
   • 正确性保证：
     • 对每条边 $\{u,v\}$：
       $$ \Pr_{h \in \mathcal{H}} \left[ h(u) \neq h(v) \right] = \frac{1}{2} \quad (\text{由成对独立性导出}). $$
     • 期望割大小：
       $$ \mathbb{E}[\text{size}] = \sum_{\{u,v\} \in E} \frac{1}{2} = \frac{|E|}{2}. $$
     • 存在性：期望为 $|E|/2$ → 必存在某个 $h_{a,b}$ 满足 $\text{size}_{a,b} \geq \frac{|E|}{2}$。
   • 复杂度优势：
     • 时间：$O(n) \times O(|E|) = O(n^3)$（多项式时间）。
     • 空间：每个顶点赋值仅依赖 $a, b$ 和自身标签，可并行计算。

• 为什么更弱独立性足够？——本质原因
  随机算法的去随机化常依赖以下事实：

1. 目标函数为线性（如割大小是边割事件的线性组合）。
2. 期望的线性性（Linearity of Expectation）：
   $$ \mathbb{E}\left[\sum_{\{u,v\} \in E} \mathbf{1}_{\text{cut}}\right] = \sum_{\{u,v\} \in E} \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\text{cut}}]. $$
3. 期望计算仅需边缘概率：
   • 对每条边 $e$，只需 $\Pr[\text{割 } e] = \frac{1}{2}$。
   • 无需高阶联合事件概率（如三条边同时被割的概率）。

→ 成对独立性已足够保证边缘概率正确，且能高效构造。

1.4 素性测试

• Fermat 测试：
  • 依据：若 $n$ 质数，则 $\forall a: a^n \equiv a \pmod{n}$。
  • 缺陷：Carmichael 数（如 $561$) 满足条件但为合数。
• Rabin-Miller 算法：
  • 步骤：对 $n=2^k q+1$，检查序列 $a^q, a^{2q}, \dots, a^{2^k q} \pmod{n}$ 是否以 $1$ 结尾且前驱为 $-1$。
  • 错误率：若 $n$ 合数，$\Pr(\text{通过}) \leq 1/4$（Rabin 证明）。
• AKS 算法 (2002)：
  确定性多项式时间算法（但随机算法更高效）。

2. BPP 类：定义与性质

2.1 基本定义

• 概率图灵机：
  非确定性图灵机，每步有两个随机选择（概率 $1/2$），路径概率为 $2^{-\text{随机步数}}$。
• BPP 类：
  语言 $L \in \text{BPP}$ 当且仅当存在多项式时间概率图灵机 $M$ 满足：
  $$ \begin{cases} x \in L & \implies \Pr[M \text{ accepts } x] \geq 2/3, \\ x \notin L & \implies \Pr[M \text{ accepts } x] \leq 1/3. \end{cases} $$
• 等价定义：存在多项式时间验证器 $V$ 使得
  $$ x \in L \iff \Pr_{r \in \{0,1\}^{p(|x|)}} [V(x,r) = 1] \geq 2/3. $$

2.2 误差缩减

• 定理：对任意 $L \in \text{BPP}$ 和多项式 $q$，存在概率机 $M'$ 在时间 $\text{poly}(n)$ 内以错误率 $\leq 2^{-q(n)}$ 判定 $L$。
• 证明：
  • 独立运行原算法 $k = O(q(n))$ 次，取多数结果。
  • 由 Chernoff 界，错误概率 $\leq e^{-c k} \leq 2^{-q(n)}$（$c>0$ 为常数）。

2.3 BPP 与电路复杂性（P/poly）

BPP与电路复杂性：详细展开

1. 非均匀计算模型：P/poly类

1.1 电路模型基础

• 电路定义：

  • 由布尔门（AND, OR, NOT）组成的有向无环图
  • 输入：n个布尔变量
  • 输出：1个布尔值
  • 大小：电路中门的数量

• 有限函数计算：

  • 对每个输入长度n，函数 $f_n: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$
  • $f_n \in \text{SIZE}_n(s)$ 当存在大小 $\leq$ s的电路计算 $f_n$

1.2 扩展到无限语言

• 语言 $L \subseteq \{0,1\}^*$：

  • 对应函数序列 $\{f_n\}$，其中 $f_n(x) = L(x)$ 当 $|x| = n$

• 非均匀复杂度类：

  • $L \in \text{SIZE}(T(n))$ 当存在电路族 $\{C_n\}$ 满足：
    $$ \begin{cases} \forall n, C_n \text{ 计算 } f_n \\ \exists n_0, \forall n \geq n_0, |C_n| \leq T(n) \end{cases} $$

• P/poly定义：
  $$ \text{P/poly} = \bigcup_{c \in \mathbb{N}} \text{SIZE}(n^c) $$
  多项式大小电路族计算的语言类

1.3 P与P/poly的关系

特性	P类	P/poly类
计算模型	单一图灵机	电路族（每个输入长度不同电路）
均匀性	是（同一机器处理所有输入）	否（不同尺寸输入用不同电路）
包含关系	$\text{P} \subseteq \text{P/poly}$	$\text{P} \subsetneq \text{P/poly}$
非可计算问题	不包含	包含（如硬编码不可判定问题的答案）

反例说明严格包含：
定义语言：
$$ L = \{ 1^n \mid \text{第 } n \text{ 个图灵机在空输入上停机} \} $$

• $L \in \text{P/poly}$：对每个n，电路硬编码答案（0或1）
• $L \notin \text{RE}$：图灵停机问题不可判定 → $L \notin \text{P}$

2. BPP ⊆ P/poly 的证明

2.1 定理核心思想

若 $L \in \text{BPP}$，则存在多项式大小电路族计算 $L$，证明分三步：

步骤1：误差缩减

• 设原始BPP算法错误概率 $\epsilon = 1/3$
• 通过k次独立重复并取多数结果，错误概率降至 $\epsilon' \leq e^{-ck}$ (Chernoff界)
• 特别取 $k = n+1$，则：
  $$ \epsilon' \leq e^{-c(n+1)} < \frac{1}{10} \cdot 2^{-n} \quad (\text{对足够大c}) $$

步骤2：并集界与存在性

• 固定输入长度n，记输入空间 $|\{0,1\}^n| = 2^n$
• 对每个输入x，错误概率：
  $$ \Pr_r[M'(x,r) \neq L(x)] < \delta = \frac{1}{10} \cdot 2^{-n} $$
• 存在性论证：
  $$ \Pr_r[\exists x: M'(x,r) \neq L(x)] \leq \sum_x \Pr_r[M'(x,r) \neq L(x)] < 2^n \cdot \delta = \frac{1}{10} < 1 $$
  ⇒ 存在固定随机串 $r^*$ 使得：
  $$ \forall x \in \{0,1\}^n: M'(x, r^*) = L(x) $$

步骤3：电路构造

1. 对每个n，硬编码 $r^*$（长度 $m = \text{poly}(n)$)
2. 构造电路 $C_n$ 模拟 $M'(\cdot, r^*)$
   • 因 $M'$ 是确定性多项式时间算法
   • 标准电路模拟：时间 $T(n)$ → 电路大小 $O(T(n)^2)$

3. BPP 与复杂性理论

3.1 Sipser-Gács 定理：P = NP ⇒ P = BPP

• 目标：证明若 $\text{P} = \text{NP}$，则 $\text{BPP} = \text{P}$。
• 证明概要：
  1. 误差缩减：设 $L \in \text{BPP}$，有验证器 $V$，错误率 $\leq 2^{-m-2}$（$m = |r|$）。
     • 定义集合 $S_x = \{ r \mid V(x,r) = 1 \}$：
       $$ \begin{cases} x \in L & \implies |S_x| \geq (1 - 2^{-m-2}) \cdot 2^m > 2^{m-1}, \\ x \notin L & \implies |S_x| \leq 2^{-2} = 1/4. \end{cases} $$
  2. 覆盖引理：若 $|S| \geq 2^{m-1}$，则 $\exists s_1, \dots, s_{2m}$ 使得 $\bigcup_{i=1}^{2m} (S \oplus s_i) = \{0,1\}^m$。
     • 证明（概率法）：
       • 随机选取 $s_i$，对固定 $z \in \{0,1\}^m$：
         $$ \Pr[z \notin S \oplus s_i] = 1 - \frac{|S|}{2^m} \leq \frac{1}{2}. $$
       • 故 $\Pr[z \text{ 未被覆盖}] \leq (1/2)^{2m} = 2^{-2m}$。
       • 并集界：$\Pr[\exists z \text{ 未被覆盖}] \leq 2^m \cdot 2^{-2m} = 2^{-m} < 1$。
  3. 量词消去：
     • 定义谓词 $\phi(x; s_1, \dots, s_{2m}) := \forall r\, \exists i: V(x, r \oplus s_i) = 1$。
     • 若 $x \in L$，则 $\exists s_1, \dots, s_{2m}$ 使 $\phi$ 真。
     • 若 $x \notin L$，则 $\forall s_1, \dots, s_{2m}$，$\phi$ 假。
     • 因 $\phi$ 是 $\Pi_2$ 公式，且 $\text{P} = \text{NP}$ 可推出多项式时间判定 $\phi$，故 $L \in \text{P}$。

3.2 硬度与随机性（Impagliazzo-Wigderson 定理）

• 定理：
  若存在 $L \in \text{E} = \text{DTIME}(2^{O(n)})$ 和 $\delta > 0$，使得对充分大 $n$，$L$ 在 $n$ 位输入的电路复杂度 $\geq 2^{\delta n}$，则 $\text{P} = \text{BPP}$。
• 内涵：指数时间问题的电路下界可推导出去随机化。

3.3 BPP 在复杂性谱中的位置

• 已知包含关系：
  $$ \text{P} \subseteq \text{BPP} \subseteq \begin{cases} \text{P/poly}, \\ \text{EXP} = \text{DTIME}(2^{\text{poly}(n)}). \end{cases} $$
• 开放问题：
  1. $\text{BPP} \overset{?}{=} \text{P}$（广泛认为成立）。
  2. $\text{BPP} \overset{?}{=} \text{NEXP}$（认为不成立，但未证明）。
• 与 NP 的关系：
  • 若 NP-难问题 $\in \text{BPP}$，则 $\text{NP} \subseteq \text{BPP}$。
  • 若 $\text{P} = \text{NP}$，则 $\text{P} = \text{BPP}$（Sipser-Gács 定理）。
• 可能的世界观：

  情形	关系
  预期	$\text{P} = \text{BPP} \subsetneq \text{NP} \subseteq \text{EXP}$
  BPP 极大	$\text{P} \subsetneq \text{NP} \subseteq \text{BPP} = \text{EXP}$
  P 极大	$\text{P} = \text{NP} = \text{BPP} \subsetneq \text{EXP}$