一致收敛：全局一致性

在数学分析中，函数序列的收敛性是一个核心概念。点态收敛（Pointwise Convergence）是基础，但一致收敛（Uniform Convergence）才是真正强大的收敛形式。它保证了极限函数的连续性、积分与极限的可交换性等重要性质。本文将深入探讨一致收敛的本质，并通过经典例子揭示其与点态收敛的关键区别。

定义与直观理解

点态收敛：局部视角

函数序列 $\{f_n\}$ 在集合 $D \subset \mathbb{R}$ 上点态收敛于 $f$，如果：

对每个 $x \in D$ 和任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N = N(\varepsilon, x) \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时：
$$ > |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon > $$

关键点：$N$ 依赖于 $x$ 和 $\varepsilon$，不同点收敛速度不同。

一致收敛：全局视角

函数序列 $\{f_n\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f$，如果：

对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$（仅依赖于 $\varepsilon$），使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in D$：
$$ > |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon > $$

核心区别：$N$ 只依赖于 $\varepsilon$，与 $x$ 无关，整个定义域同步收敛。

几何直观

想象极限函数 $f$ 的 $\varepsilon$-带形区域：$ \{(x,y) : |y - f(x)| < \varepsilon\} $。

• 点态收敛：每条曲线 $f_n$ 最终会进入带形区域，但不同点进入时间不同
• 一致收敛：存在时刻 $N$，之后所有曲线 $f_n$ ($n > N$) 完全包含在带形区域内

例子解析

例1：$f_n(x) = \frac{x}{n}$ 在 $[0, \infty)$

点态收敛：
固定 $x_0 \geq 0$，有 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_0}{n} = 0$。取 $N = \lceil \frac{x_0}{\varepsilon} \rceil$，则当 $n > N$ 时：
$$ \left| \frac{x_0}{n} \right| < \varepsilon $$
∴ 点态收敛于 $f(x) = 0$。

一致收敛？
取 $\varepsilon = 1$，假设存在 $N$ 使得 $n > N$ 时对所有 $x \geq 0$ 有 $|\frac{x}{n}| < 1$。
但取 $x = n$，则 $\left| \frac{n}{n} \right| = 1 \not< 1$，矛盾！
∴ 不一致收敛。

关键区别：
原点附近收敛快，但远处 ($x$ 大) 收敛慢。无统一 $N$ 控制全局。

例2：$f_n(x) = \frac{1}{n(1+x^2)}$ 在 $\mathbb{R}$

点态收敛：
对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n(1+x_0^2)} = 0$。
∴ 点态收敛于 $f(x) = 0$。

一致收敛：
计算上确界范数：
$$ \sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x\in\mathbb{R}} \frac{1}{n(1+x^2)} = \frac{1}{n} \to 0 \quad (n \to \infty) $$
∴ 一致收敛于 $f(x) = 0$。

关键区别：
函数被 $1/n$ 均匀控制，最大值趋于 $0$。

例3：$f_n(x) = x^n$ 在 $[0,1]$

点态收敛：
$$ \lim_{n\to\infty} x^n = \begin{cases} 0 & x \in [0,1) \\ 1 & x = 1 \end{cases} = f(x) $$

一致收敛？

• 每个 $f_n$ 连续，但极限 $f$ 在 $x=1$ 不连续
• 一致收敛的极限必连续（见下文定理）
  ∴ 不一致收敛。

关键区别：
在 $x=1$ 附近，收敛速度急剧变慢。例如取 $x_n = 1 - \frac{1}{n}$：
$$ (1 - \frac{1}{n})^n \to e^{-1} \approx 0.367 \not\to 0 \quad (n \to \infty) $$

一致收敛的性质

连续性保持定理

若 $f_n$ 在 $D$ 上连续，且 $f_n \rightrightarrows f$（一致收敛）于 $D$，则 $f$ 在 $D$ 上连续。

证明：
固定 $x_0 \in D$，需证 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
由一致收敛，对 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使 $n > N$ 时：
$$ \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} $$
取定 $n_0 > N$，由 $f_{n_0}$ 在 $x_0$ 连续，存在 $\delta > 0$ 使 $|x - x_0| < \delta$ 时：
$$ |f_{n_0}(x) - f_{n_0}(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3} $$
于是当 $|x - x_0| < \delta$ 时：
$$ \begin{align*} |f(x) - f(x_0)| & \leq |f(x) - f_{n_0}(x)| + |f_{n_0}(x) - f_{n_0}(x_0)| + |f_{n_0}(x_0) - f(x_0)| \\ & < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{align*} $$
∴ $f$ 在 $x_0$ 连续。

积分与极限交换定理

若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，且 $f_n \rightrightarrows f$ 于 $[a,b]$，则：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上可积
2. $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x) dx$

证明：
由一致收敛，对 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使 $n > N$ 时：
$$ \sup_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{b-a} $$
于是：
$$ \left| \int_a^b f_n - \int_a^b f \right| \leq \int_a^b |f_n - f| < \int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a} dx = \varepsilon $$
∴ $\lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n = \int_a^b f$。

微分与极限交换定理

若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上可导，且：

1. 存在 $x_0 \in [a,b]$ 使 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛
2. $\{f'_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g$

则：

1. $f_n \rightrightarrows f$ 于 $[a,b]$
2. $f$ 可导且 $f' = g$

一致收敛的判别方法

上确界判别法

计算 $M_n = \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)|$。若：
$$ \lim_{n \to \infty} M_n = 0 $$
则 $f_n \rightrightarrows f$ 于 $D$。

Cauchy准则

$f_n$ 在 $D$ 上一致收敛 $\iff$ 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $m,n > N$ 时：
$$ \sup_{x \in D} |f_m(x) - f_n(x)| < \varepsilon $$

一致收敛的核心在于全局一致性——存在与位置无关的$N$使得整个函数序列同步逼近极限函数。这种强收敛形式是分析函数序列极限行为的理想工具。