Ch7.7 同调理论的应用（一）
本章将选取几个同调理论经典且重要的应用
1. 拓扑不变量与分类
1.1 同调群作为拓扑不变量
我们已经知道奇异同调群是 同伦型不变量：如果两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 具有相同的同伦型（即存在映射 $f: X \to Y$ 和 $g: Y \to X$ 使得 $g \circ f \simeq \operatorname{id}_X$ 和 $f \circ g \simeq \operatorname{id}_Y$），那么对所有 $n$ 有同构 $H_n(X) \cong H_n(Y)$。由于同胚的空间必然同伦等价，因此奇异同调群是 拓扑不变量：同胚的空间具有同构的同调群。
定理 7.1.1（同伦不变性）
设 $f, g: X \to Y$ 是同伦的连续映射，则它们诱导相同的同调同态 $f_* = g_*: H_n(X) \to H_n(Y)$。特别地，如果 $f: X \to Y$ 是一个同伦等价，则 $f_*$ 是同构。
推论 7.1.2
同伦等价的空间具有同构的同调群。因此，同调群是拓扑不变量（更精确地说，是同伦型不变量）。
例子 7.1.3
- 可缩空间（例如欧氏空间、圆盘、一点）的同调群与单点空间相同：$H_0 \cong \mathbb{Z}$，$H_n = 0$（$n > 0$）。
- 球面 $S^n$ 与一点不同伦等价，因为它们的同调群不同：$H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$，而一点的 $H_n = 0$（$n > 0$）。因此球面不是可缩的。
同调不变性为我们提供了一个区分空间的有力工具：如果两个空间的同调群不同，则它们一定不同伦等价，从而也不同胚。然而，反过来不一定成立：同调群相同的空间不一定同伦等价，甚至不一定同胚。例如，$S^2 \times S^4$ 和 $\mathbb{CP}^3$ 的整系数同调群相同，但它们不同伦等价（上同调环不同）。
尽管如此，在某些受限的类别中，同调群可以完全分类空间。最著名的例子是闭曲面的分类。
1.2 曲面的同调分类
闭曲面（紧连通无边二维流形）的分类是拓扑学中的经典结果。它们被分为可定向曲面和不可定向曲面两类。
- 可定向曲面 $M_g$（$g \ge 0$）：亏格为 $g$ 的环面。$M_0 = S^2$，$M_1 = T^2$（环面），$M_2$（双环面），等等。
- 不可定向曲面 $N_h$（$h \ge 1$）：$N_1 = \mathbb{RP}^2$（实射影平面），$N_2$（克莱因瓶），等等。
定理 7.1.4（闭曲面的同调群）
- 可定向曲面 $M_g$ 的同调群为：
$$ H_0(M_g) \cong \mathbb{Z}, \quad H_1(M_g) \cong \mathbb{Z}^{2g}, \quad H_2(M_g) \cong \mathbb{Z}, \quad H_n(M_g) = 0 \ (n > 2). $$ - 不可定向曲面 $N_h$ 的同调群为：
$$ H_0(N_h) \cong \mathbb{Z}, \quad H_1(N_h) \cong \mathbb{Z}^{h-1} \oplus \mathbb{Z}_2, \quad H_2(N_h) = 0, \quad H_n(N_h) = 0 \ (n > 2). $$
证明思路：可以通过胞腔同调或单纯同调直接计算（见第五部分）。这里简要回顾可定向情形：$M_g$ 有一个 CW 结构，包含一个 0-胞腔、$2g$ 个 1-胞腔和一个 2-胞腔。边缘算子 $d_1 = 0$，$d_2 = 0$（因为边界路径中每个 1-胞腔正反向各出现一次），因此链复形为 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}^{2g} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \to 0$，同调即得。对于不可定向曲面，$d_2$ 非零，导致 $H_2 = 0$，且 $H_1$ 中出现挠子群 $\mathbb{Z}_2$。
定理 7.1.5（基于同调群的曲面分类）
设 $M$ 和 $N$ 是两个闭曲面。
- 如果 $H_2(M) \cong \mathbb{Z}$ 且 $H_2(N) \cong \mathbb{Z}$，则 $M$ 和 $N$ 可定向。此时 $M$ 和 $N$ 同胚当且仅当 $H_1(M) \cong H_1(N)$（即 $H_1$ 的秩相同）。由于可定向曲面 $M_g$ 的 $H_1$ 的秩为 $2g$，所以亏格 $g$ 由 $H_1$ 的秩决定。
- 如果 $H_2(M) = 0$ 且 $H_2(N) = 0$，则 $M$ 和 $N$ 不可定向。此时 $H_1$ 中的挠子群为 $\mathbb{Z}_2$，且自由部分的秩为 $h-1$，因此 $h$ 由 $H_1$ 的结构决定：$h = \operatorname{rank}(H_1) + 1$。
因此，两个闭曲面同胚当且仅当它们的同调群同构（作为阿贝尔群）。换句话说，闭曲面的同胚类完全由 $H_0$、$H_1$ 和 $H_2$ 决定。
例子 7.1.6
- 环面 $T^2 = M_1$：$H_1 \cong \mathbb{Z}^2$。
- 球面 $S^2 = M_0$：$H_1 = 0$。
- 实射影平面 $\mathbb{RP}^2 = N_1$：$H_1 \cong \mathbb{Z}_2$（自由部分秩为 0）。
- 克莱因瓶 $N_2$：$H_1 \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$（自由部分秩为 1）。
注意：仅凭同调群不能区分可定向曲面与不可定向曲面？实际上，$H_2$ 的信息可以：可定向曲面的 $H_2 \cong \mathbb{Z}$，不可定向曲面的 $H_2 = 0$。因此，结合 $H_1$ 和 $H_2$，我们可以完全确定曲面的类型和参数。
更高维的类比：在高维，流形的同调群不能完全分类流形，但提供重要的不变量。例如，Poincaré 猜想（已证明）表明，一个单连通的三维闭流形如果具有与 $S^3$ 相同的同调群（即平凡同调），则它同胚于 $S^3$。但在四维及以上，存在具有相同同调群但不同胚的流形（如 exotic spheres）。
2. Brouwer 不动点定理
Brouwer 不动点定理是代数拓扑最著名的应用之一，它断言任何从 $n$ 维闭圆盘到自身的连续映射都有不动点。我们将利用同调理论给出一个简洁的证明。
2.1 定理陈述
定理 7.2.1（Brouwer 不动点定理）
设 $D^n = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| \le 1 \}$ 是 $n$ 维闭单位圆盘，$f: D^n \to D^n$ 是连续映射。则存在 $x \in D^n$ 使得 $f(x) = x$。
2.2 预备知识
证明的关键是考察球面 $S^{n-1} = \partial D^n$ 和相对同调群 $H_n(D^n, S^{n-1})$。我们知道：
- $D^n$ 是可缩的，因此 $H_k(D^n) = 0$（$k > 0$），$H_0(D^n) \cong \mathbb{Z}$。
- 球面 $S^{n-1}$ 的同调：$H_{n-1}(S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$，$H_k(S^{n-1}) = 0$（$0 < k < n-1$），$H_0(S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$（当 $n>1$）。
- 相对同调群：$H_n(D^n, S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$，且 $H_k(D^n, S^{n-1}) = 0$（$k \ne n$）。这可以通过长正合序列对 $(D^n, S^{n-1})$ 计算得到：
$$ \cdots \to H_k(S^{n-1}) \to H_k(D^n) \to H_k(D^n, S^{n-1}) \to H_{k-1}(S^{n-1}) \to \cdots. $$
当 $k = n$ 时，由于 $H_n(D^n) = 0$ 且 $H_{n-1}(S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$，我们得到 $H_n(D^n, S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$。事实上，这个同构可以由相对同调类 $[\sigma]$ 生成，其中 $\sigma$ 是一个奇异的 $n$-单形，将 $\Delta^n$ 同胚地映射到 $D^n$ 的内部，并保持定向。
2.3 证明
证明：假设 $f: D^n \to D^n$ 没有不动点，即对任意 $x \in D^n$，有 $f(x) \ne x$。我们将构造一个连续映射 $r: D^n \to S^{n-1}$，使得 $r|_{S^{n-1}} = \operatorname{id}_{S^{n-1}}$（即 $r$ 是收缩映射）。然后利用同调导出矛盾。
构造 $r$：对任意 $x \in D^n$，考虑从 $f(x)$ 出发经过 $x$ 的射线。由于 $f(x) \ne x$，这条射线与 $S^{n-1}$ 有唯一交点，记为 $r(x)$。具体公式为：
设 $f(x) \ne x$，定义直线参数方程：
$$
L(t) = f(x) + t (x - f(x)), \quad t \ge 0.
$$
我们希望找到 $t$ 使得 $\|L(t)\| = 1$。因为 $\|f(x)\| \le 1$，而 $\|x\| \le 1$，但 $x \ne f(x)$。可以解方程：
$$
\|f(x) + t (x - f(x))\|^2 = 1.
$$
这是一个关于 $t$ 的二次方程，由于当 $t=0$ 时 $\|f(x)\| \le 1$，当 $t \to +\infty$ 时范数趋向无穷，所以存在唯一正根 $t = t(x) \ge 0$。定义 $r(x) = f(x) + t(x) (x - f(x))$。易见当 $x \in S^{n-1}$ 时，$t(x)=0$ 或 $1$？实际上，若 $x \in S^{n-1}$，则 $\|x\|=1$。但 $f(x)$ 可能不等于 $x$。我们需要验证 $r(x)=x$。事实上，如果 $x \in S^{n-1}$，考虑 $t=1$，则 $L(1)=x$，且 $\|x\|=1$，所以 $t(x)=1$，从而 $r(x)=x$。因此 $r$ 确实是收缩映射：$r: D^n \to S^{n-1}$ 且 $r|_{S^{n-1}} = \operatorname{id}_{S^{n-1}}$。
同调论证：考虑包含映射 $i: S^{n-1} \hookrightarrow D^n$ 和收缩映射 $r: D^n \to S^{n-1}$。我们有 $r \circ i = \operatorname{id}_{S^{n-1}}$。因此，在同调群上诱导的同态满足：
$$
r_* \circ i_* = \operatorname{id}_{H_{n-1}(S^{n-1})}.
$$
现在考察 $n-1$ 维同调群。已知 $H_{n-1}(S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$，生成元记为 $[z]$。设 $i_*([z]) \in H_{n-1}(D^n)$。但由于 $D^n$ 可缩，当 $n-1 > 0$ 时，$H_{n-1}(D^n) = 0$。因此 $i_*([z]) = 0$。但由 $r_* \circ i_* = \operatorname{id}$，得：
$$
[z] = r_*(i_*([z])) = r_*(0) = 0,
$$
这与 $[z]$ 非零矛盾。因此假设不成立，故 $f$ 必有不动点。
注记：上述证明要求 $n-1 > 0$，即 $n \ge 2$。当 $n=1$ 时，$D^1 = [-1,1]$，结论也成立：连续映射 $f: [-1,1] \to [-1,1]$ 必有不动点。这可以用中值定理证明，但上面的同调证明对 $n=1$ 也适用吗？注意 $S^0$ 由两个点组成，其同调群 $H_0(S^0) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，而 $H_0(D^1) \cong \mathbb{Z}$。包含映射 $i: S^0 \hookrightarrow D^1$ 诱导的 $i_*: H_0(S^0) \to H_0(D^1)$ 将两个生成元映到同一个生成元，因此不是单射。但我们的证明利用了 $H_{n-1}(D^n)=0$，当 $n=1$ 时是 $H_0(D^1) \cong \mathbb{Z}$，非零，所以论证不直接适用。不过，我们可以用约化同调来统一处理：对于 $n=1$，考虑约化同调 $\tilde{H}_0$，则 $\tilde{H}_0(S^0) \cong \mathbb{Z}$，而 $\tilde{H}_0(D^1)=0$，同样的矛盾成立。因此，证明可以修改为使用约化同调，从而对所有 $n \ge 1$ 成立。
另一个常见证明（使用度理论）：也可以利用球面映射的度来证明。假设没有不动点，构造映射 $g: D^n \to S^{n-1}$ 如下：从 $f(x)$ 到 $x$ 的射线与球面的交点。然后考虑 $g|_{S^{n-1}}: S^{n-1} \to S^{n-1}$。可以证明这个映射的度为零（因为它可延拓到 $D^n$），同时又可以证明它的度是 1（因为它是同伦于恒等映射的），矛盾。这个证明与上面本质相同。
2.4 应用与例子
Brouwer 不动点定理在许多领域有广泛应用，包括经济学（Nash 均衡的存在性）、微分方程（解的存在性）等。
例子 7.2.2
考虑二维圆盘 $D^2$。任何连续映射 $f: D^2 \to D^2$ 都有不动点。例如，旋转映射 $f(z) = e^{i\theta} z$（其中 $z \in D^2 \subset \mathbb{C}$）显然有不动点 $z=0$。更复杂的映射，如 $f(x,y) = (x^2 - y^2, 2xy)$，也有不动点（实际上，原点就是不动点）。
非例子：如果区域不是凸的，结论可能不成立。例如，考虑环形区域 $A = \{ z \in \mathbb{C} \mid 1 \le |z| \le 2 \}$，旋转映射 $f(z) = e^{i\theta} z$ 没有不动点（当 $\theta$ 不是 $2\pi$ 的整数倍时）。但 $A$ 不是同胚于圆盘。
Brouwer 不动点定理也说明了球面与圆盘的不同：球面到自身的映射可以没有不动点，例如 $S^1$ 上的旋转。
3. 映射度理论与 Hopf 定理
映射度是代数拓扑中研究球面之间映射的核心不变量。它完全刻画了球面自映射的同伦类。
3.1 映射度的定义
设 $n \ge 1$，考虑 $n$ 维球面 $S^n$。我们知道 $H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$，并且这个群由一个标准生成元 $[S^n]$ 表示，称为基本类。具体地，我们可以将 $S^n$ 视为 $\Delta^n$ 的边界商掉一个映射，或者利用单纯同调或奇异同调中的某个闭链类。
定义 7.3.1（映射度）
设 $f: S^n \to S^n$ 是一个连续映射。诱导同态 $f_*: H_n(S^n) \to H_n(S^n)$ 是一个从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同态，因此由某个整数 $d$ 决定：$f_*( \alpha ) = d \cdot \alpha$，对所有 $\alpha \in H_n(S^n)$。这个整数 $d$ 称为映射 $f$ 的 度数（degree），记作 $\deg(f)$。
注记：由于同调函子的同伦不变性，同伦的映射诱导相同的同态，因此具有相同的度数。即度数是一个同伦不变量。
3.2 映射度的性质
- 恒等映射：$\deg(\operatorname{id}_{S^n}) = 1$。
- 常值映射：如果 $f$ 是常值映射（将整个球面映为一个点），则 $f_* = 0$，因此 $\deg(f) = 0$。
- 复合映射：$\deg(g \circ f) = \deg(g) \cdot \deg(f)$。
- 同伦不变性：如果 $f \simeq g$，则 $\deg(f) = \deg(g)$。
- 反射映射：考虑关于某个超平面的反射 $r: S^n \to S^n$。例如，在 $S^1$ 上，反射 $z \mapsto \bar{z}$（复共轭）的度数为 $-1$。一般地，反射的度数为 $-1$。
- 覆叠映射：考虑 $d$-重覆叠映射 $p: S^1 \to S^1$，$p(z)=z^d$（这里将 $S^1$ 视为复平面中的单位圆）。则 $\deg(p) = d$。类似地，对于高维球面，也存在覆叠映射（仅当 $d = \pm 1$ 时才是覆叠，但可以有别的具有度数 $d$ 的映射）。
3.3 映射度的计算
计算映射度有多种方法，包括同调论、微分拓扑（正则值的原像个数带符号）或几何方法。这里我们给出一些经典例子的计算。
例 7.3.2（反射）
考虑 $S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$，定义反射 $r: S^n \to S^n$，$r(x_0, x_1, \dots, x_n) = (-x_0, x_1, \dots, x_n)$。我们证明 $\deg(r) = -1$。
证明：我们可以将 $S^n$ 三角剖分，使得反射是单纯映射，并计算它在链水平上的作用。或者，我们可以使用归纳法和 Mayer-Vietoris 序列。一个常见的方法是使用度数对映射的乘积性质：反射可以表示为 $n+1$ 个超平面反射的复合，每个超平面反射度数为 $-1$，因此总度数为 $(-1)^{n+1}$？不对，注意这里只反射一个坐标，其他不变。更直接的方法：考虑 $S^n$ 的生成元。例如，将 $S^n$ 视为两个 $n$-单形的边界，反射映射反转定向，因此将基本类映为其相反数。所以度数为 $-1$。
例 7.3.3（旋转）
$S^1$ 上的旋转 $R_\theta: S^1 \to S^1$，$R_\theta(z) = e^{i\theta} z$。旋转同伦于恒等映射（通过旋转角从 $\theta$ 到 0），因此 $\deg(R_\theta) = 1$。
例 7.3.4（幂映射）
考虑 $S^1$ 上的映射 $f_m: S^1 \to S^1$，$f_m(z)=z^m$（$m \in \mathbb{Z}$）。可以证明 $\deg(f_m) = m$。证明思路：利用单纯同调，将 $S^1$ 剖分成若干段，使得每段在 $f_m$ 下是覆叠映射，计算链映射的矩阵。
例 7.3.5（高维球面的覆叠映射）
对于 $S^n$（$n \ge 2$），不存在非常值的覆叠映射 $S^n \to S^n$，因为 $S^n$ 是单连通的（当 $n \ge 2$）。但我们可以构造度数为 $d$ 的映射。例如，考虑映射 $f: S^2 \to S^2$，将球面视为 Riemann 球面，$f(z) = z^d$（在复坐标下）。这个映射的度数恰为 $d$。一般地，对于任意整数 $d$，存在映射 $S^n \to S^n$ 度数为 $d$。一种构造是“挤压-映射”：将球面赤道以上部分沿经线覆盖球面 $d$ 次，赤道以下部分类似，但根据 $d$ 的正负调整定向。
3.4 Hopf 定理
Hopf 定理是映射度理论的一个深刻结果，它表明对于球面自映射，度数完全决定了同伦类。
定理 7.3.6（Hopf）
两个连续映射 $f, g: S^n \to S^n$ 同伦当且仅当它们具有相同的度数：$\deg(f) = \deg(g)$。
换句话说，映射度给出了从球面自映射的同伦类集合 $[S^n, S^n]$ 到整数 $\mathbb{Z}$ 的双射。这是同伦论中一个基本结论：球面的同伦群 $\pi_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$。
证明概要：证明分为两部分：
- 如果 $f \simeq g$，则 $\deg(f) = \deg(g)$：这由同伦不变性直接得到。
- 反之，如果 $\deg(f) = \deg(g)$，则 $f \simeq g$：这是非平凡的部分。证明思路是首先将映射“标准化”，然后利用同伦构造连接它们。一种常见证明使用以下步骤：
- 第一步：证明任何映射 $f: S^n \to S^n$ 同伦于一个“标准形式”的映射，该映射在某个点附近是“好的”（例如，是多项式映射或单纯映射）。
- 第二步：证明如果两个映射具有相同的度数，则它们可以通过一系列操作（如添加“悬环”）相互转换，这些操作对应于同伦。
- 第三步：利用同伦扩张性质将问题转化为胞腔的附着映射问题。
一个更现代的证明使用 obstruction theory（阻碍理论），它表明映射同伦类由第一个非零阻碍类决定，而对于球面自映射，这个阻碍类就是度数。
由于完整的证明较长且需要更多技术准备，我们在此仅给出一个几何直观：考虑 $S^1$ 的情形。设 $f, g: S^1 \to S^1$ 满足 $\deg(f) = \deg(g) = d$。我们可以将 $f$ 和 $g$ 提升到覆叠空间 $\mathbb{R} \to S^1$ 上，得到提升 $\tilde{f}, \tilde{g}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$。由于度数相同，提升后的函数满足 $\tilde{f}(x+1) = \tilde{f}(x) + d$，$\tilde{g}(x+1) = \tilde{g}(x) + d$。然后定义同伦 $H_t(x) = (1-t)\tilde{f}(x) + t \tilde{g}(x)$，由于线性同伦满足相同的周期性条件，它下降为 $S^1$ 上的同伦。因此 $f \simeq g$。这个论证可以推广到高维，但需要更细致的处理。
推论 7.3.7
球面 $S^n$ 的自同伦类集合 $[S^n, S^n]$ 与整数 $\mathbb{Z}$ 一一对应，其中对应由映射度给出。
3.5 应用：Borsuk-Ulam 定理
映射度的一个重要应用是证明 Borsuk-Ulam 定理。
定理 7.3.8（Borsuk-Ulam）
设 $f: S^n \to \mathbb{R}^n$ 是连续映射。则存在 $x \in S^n$ 使得 $f(x) = f(-x)$。
特别地，当 $n=2$ 时，地球上总存在一对对跖点具有相同的温度和气压。
证明思路（使用映射度）：假设结论不成立，即 $f(x) \ne f(-x)$ 对所有 $x$。定义映射 $g: S^n \to S^{n-1}$ 为：
$$
g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{\|f(x) - f(-x)\|}.
$$
验证 $g(-x) = -g(x)$，即 $g$ 是一个反对称映射。然后考虑 $g$ 在赤道 $S^{n-1} \subset S^n$ 上的限制。可以证明这个限制是零伦的（因为它可延拓到上半球面），但同时由于反对称性质，它的度数是奇数（如果 $n-1 \ge 1$）。矛盾。详细证明需要结合映射度和同伦群的性质。