Ch 1 引言
拓扑学中的范畴论视角
范畴论提供了一种统一的语言来描述数学结构及其之间的关系。一个“范畴”由两类基本元素构成：
- 对象（Objects）：代表某种数学结构（如拓扑空间、群、线性空间等）；
- 态射（Morphisms）：代表对象之间的“保持结构”的映射（如连续映射、群同态、线性映射等）。
与古典数学强调单个对象不同，现代观点更关注对象间的态射关系，这使范畴论成为连接不同数学分支（如代数、拓扑、线性代数）的强大工具。
在拓扑学中，我们研究的是“拓扑空间范畴”，其中：
- 对象 = 拓扑空间
- 态射 = 连续映射
这一视角有助于从更高层次理解拓扑不变量和构造（如商空间、积空间），也为后续学习同调代数、同伦论等打下基础。
1. 引言
1.1 欧拉定理
欧拉关于多面体的定理是许多拓扑学思想的起点。定理的表达式为：
$$v - e + f$$
其中 $v$, $e$, $f$ 分别表示多面体的顶点数、边数和面数。
该表达式并不对所有多面体都等于 2。例如，内部挖去一个小正方体的正方体对应的多面体满足 $v - e + f = 4$。内部挖通一个棱柱的棱柱对应的多面体满足 $v - e + f = 0$。
这些反例源于多面体结构上的缺陷。我们需要对多面体进行精确定义和约束，才能得到普适的结论。
定义：多面体
一个多面体是由有限多个平面多边形构成的集合，满足以下条件：
- 若两个多边形相交，则它们共享一条完整的公共边。
- 每条边恰好属于两个多边形。
- 对于任意顶点，包含该顶点的所有多边形可以按循环顺序排列，使得相邻的多边形共享一条边。
定理 1.1： 欧拉定理
设 $P$ 是一个满足以下条件的多面体：
- $P$ 是连通的（即其任意两个顶点可通过一条边链连接）。
- $P$ 是单连通的（即其表面上的任何简单闭多边形曲线都将表面分割成两部分）。
则有：
$$v - e + f = 2$$
证明
$P$ 的一组连通的顶点和边称为图：所谓“连通”，即图中任意两个顶点均可通过一条边链连接。更一般地，我们将“图”一词用于三维空间中任何有限连通线段集合，它们像图 1.4 那样“完美贴合”。（若两条线段相交，则必须在公共顶点处相交。）不含任何环路的图称为树。注意，对于一棵树，顶点数减去边数等于 1。若树记作 $T$，我们写作 $v(T) - e(T) = 1$。
根据假设1，$P$ 的所有顶点和边构成一个图。容易看出，在任何图中，我们总能找到一个子图，它是一棵树并包含原图的所有顶点。因此，选择一棵树 $T$，它包含 $P$ 的一部分边以及所有顶点。现在构造 $T$ 的某种“对偶” $\Gamma$。该对偶是一个按如下方式定义的图：对于 $P$ 的每个面 $A$，我们在 $\Gamma$ 中赋予一个顶点 $\hat{A}$。$\Gamma$ 中的两个顶点 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 由一条边连接，当且仅当 $P$ 中对应的面 $A$ 和 $B$ 相邻且共享一条不在 $T$ 中的边。这个对偶 $\Gamma$ 是连通的，因而也是一个图。直观上，若 $\Gamma$ 的两个顶点不能通过 $\Gamma$ 的边链连接，则它们必被 $T$ 的某个环路隔开。（这需要一些证明，我们将在第7章详细展开。）由于 $T$ 不含任何环路，我们推断 $\Gamma$ 必须是连通的。
事实上，$\Gamma$ 是一棵树。因为如果 $\Gamma$ 中存在环路，根据假设 2，它会将 $P$ 分割成两个不同的部分，而每一部分至少包含 $T$ 的一个顶点。尝试用边链连接位于不同部分中的两个 $T$ 的顶点，会导致一条穿过该分隔环路的链，从而无法完全包含在 $T$ 中。这与 $T$ 是连通的矛盾。因此，$\Gamma$ 是一棵树。
由于任何树的顶点数比边数多 1，我们有 $v(T) - e(T) = 1$ 且 $v(\Gamma) - e(\Gamma) = 1$。因此：
$$v(T) - [e(T) + e(\Gamma)] + v(\Gamma) = 2.$$
但根据构造，$v(T) = v$，$e(T) + e(\Gamma) = e$，且 $v(\Gamma) = f$。这就完成了证明。
1.2 拓扑等价
定理 1.2
拓扑等价的多面体具有相同的欧拉数。
核心思想：欧拉数 $v - e + f$ 是一个拓扑不变量。尽管其组成部分（$v, e, f$ 的具体值）在同胚变换下会发生改变，但它们的组合计算结果——欧拉数——保持不变。
从多面体到球面
回顾定理 (1.1) 的证明思路：
该证明揭示了一个深刻的几何事实：任何一个满足连通、单连通条件的多面体 $P$，都可以被构造性地证明同胚于一个球面。
推论
满足欧拉定理 (1.1) 的多面体，其拓扑本质是球面。因此，欧拉数 2 是球面本身的性质。
定义：同胚
两个拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 同胚，如果存在一个映射 $f: X \to Y$，满足：
- $f$ 是双射（一一对应）。
- $f$ 连续。
- $f$ 的逆映射 $f^{-1}$ 也连续。
直观上，这意味着 $X$ 可以经拉伸、弯曲（但不允许撕裂或粘合不同点）而连续形变为 $Y$。
示例：四个同胚的空间
以下四个空间彼此同胚：
- 有限高圆柱面（不含上下底圆）。
- 单叶双曲面（方程 $x^2 + y^2 - z^2 = 1$）。
- 复平面上的开圆环（区域 $1 < |z| < 3$）。
- 去掉南北极点的球面。
证明（以 (b) 到 © 为例）：
- 在双曲面（用柱坐标 $(r, \theta, z)$ 表示）与圆环（用极坐标 $(ρ, θ)$ 表示）之间建立映射。
- 定义一个严格单调、连续的双射函数 $f: \mathbb{R} \to (1, 3)$，例如：
$$ f(x) = \frac{x}{1 + |x|} + 2 $$ - 映射定义为：$(r, \theta, z) \mapsto (f(z), \theta)$。
由于同胚是等价关系，只需证明每个空间都与空间 (3) 同胚，即可推出它们全部互相同胚。
欧拉数作为拓扑不变量
如果两个多面体 $P$ 和 $Q$ 是拓扑等价的（同胚），则它们的欧拉数相等：$v_P - e_P + f_P = v_Q - e_Q + f_Q$。
根本原因：
欧拉数本质上计算的是与空间“形状”（即拓扑类型）相关的全局信息，而非依赖于具体的几何剖分方式。
重要例子：
- 所有与球面同胚的多面体，欧拉数均为 2。
- 所有与环面（如带孔洞的立方体，图 1.3）同胚的多面体，欧拉数均为 0。
这标志着拓扑学的核心目标之一：寻找并利用拓扑不变量来对空间进行分类和区分。欧拉数是这类不变量的第一个重要例子。
1.3 曲面
研究问题与对象
拓扑学的研究对象是空间在同胚变换（即拓扑等价）下保持不变的性质。本节试图回答两个核心问题：
- 我们所研究的“空间”具体指什么？
- 两个空间之间的连续映射如何精确定义？
例子：从直观曲面开始
作为几何学家，我们关注在欧氏空间中自然出现的有界几何对象，例如：
- 平面上的单位圆、单位圆盘。
- 三维空间中的球面、环面、圆柱面、莫比乌斯带、带孔双环面（图 1.10）。
- 克莱因瓶：一种更复杂的曲面，在任何三维嵌入中都必须与自身相交（图 1.10）。
克莱因瓶的构造与理解
克莱因瓶可以通过与环面类比的方式来构造和理解：
- 环面的构造：从矩形纸片出发，按特定方式（如图 1.11）粘合两对边。
- 克莱因瓶的构造：前半部分（形成圆柱）与环面相同，但随后需将圆柱两端以反向粘合。这要求将圆柱一端穿过其侧面（图 1.12），从而导致自交。
- 在四维空间中的实现：克莱因瓶可以在四维欧氏空间中实现为无自交的曲面。关键在于利用第四个维度来分离在三维中必须相交的部分（类似图 1.13 中利用第三个维度分离平面中相交的直线）。
莫比乌斯带：嵌入的局限性与拓扑等价
莫比乌斯带揭示了依赖具体欧氏空间嵌入的局限性：
- 构造：取一矩形条带，将其一端扭转半圈后与另一端粘合（图 1.15）。这得到常见的表示（图 1.14a）。
- 拓扑等价的非显然性：图 1.14c 所示带子（粘合前扭转了 $1\frac{1}{2}$ 圈）与标准莫比乌斯带（图 1.14a）是同胚的。因为在粘合边时，被识别的点集完全相同。
- 关键洞见：尽管这两个空间本身同胚，但不存在整个三维欧氏空间到自身的同胚映射，能将其中一个嵌入映射为另一个嵌入。这表明，空间的内在拓扑性质与其在欧氏空间中的特定嵌入方式是不同的概念。
1.4 抽象空间
依赖直观的欧氏空间嵌入图像可能产生误导（如莫比乌斯带的例子）。因此，我们需要更抽象、精确的方式来定义“曲面”：首先定义抽象的拓扑空间，然后将曲面定义为一种在每一点附近局部都“看起来像”欧氏平面的拓扑空间。在定义“拓扑空间”时，我们追求两个核心目标：一是充分一般性，以容纳从有限离散点集到连续统（如实直线）、几何曲面乃至函数空间等多样结构；二是足够具体，以便能严格定义“连续映射”和“同胚”。后者是关键——它引导我们放弃对欧氏距离的依赖，转而抽象出“邻域”的概念作为基础。
在欧氏空间中，函数 $f: \mathbb{E}^m \to \mathbb{E}^n$ 在点 $\mathbf{x}$ 处连续的经典定义依赖于距离。但该定义可被重述为：对于任意 $\mathbf{x}$ 及其像点 $f(\mathbf{x})$ 的任一邻域 $N$，原像 $f^{-1}(N)$ 必须是 $\mathbf{x}$ 的一个邻域。这提示我们：只要我们能在任意集合上合理地定义“邻域”，就能推广连续性的概念。
因此，拓扑空间的公理化定义旨在保留“邻域系统”这一核心结构，同时剥离对度量或坐标的具体依赖。
定义 1.3：拓扑空间
设 $X$ 是一个非空集合。若对每个点 $x \in X$，指定了一个非空子集族（称为 $x$ 的邻域），且这些邻域满足以下四条公理：
- 点 $x$ 属于它的每一个邻域。
- 任意两个 $x$ 的邻域之交仍是 $x$ 的邻域。
- 若 $N$ 是 $x$ 的邻域，且 $U \supseteq N$，则 $U$ 也是 $x$ 的邻域。
- 若 $N$ 是 $x$ 的邻域，则其内部 $\overset{\circ}{N} = \{ z \in N \mid N \text{ 是 } z \text{ 的邻域} \}$ 也是 $x$ 的邻域。
则称 $X$ 连同这些邻域系统构成一个拓扑空间。赋予集合 $X$ 上述邻域结构的过程称为在 $X$ 上定义了一个拓扑。
解释
- 公理 4 的直观意义在于：邻域应包含其“内部点”，即那些本身也被该集合视为邻域的点。例如，在 $\mathbb{E}^m$ 中，闭球 $B$ 是中心点的邻域，其内部（开球）仍为邻域。
- 邻域系统的公理不依赖于任何距离函数，因此适用于更广泛的空间类型。
定义：连续映射
设 $X, Y$ 为拓扑空间。函数 $f: X \to Y$ 称为连续，若对任意 $x \in X$ 及 $f(x)$ 在 $Y$ 中的任一邻域 $N$，原像 $f^{-1}(N)$ 是 $x$ 在 $X$ 中的一个邻域。
定义：同胚
函数 $h: X \to Y$ 称为同胚，若它是双射、连续，且其逆映射 $h^{-1}: Y \to X$ 也连续。当存在这样的 $h$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 同胚（或拓扑等价）。
拓扑空间的例子
例 1：欧氏空间
标准欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 自然构成拓扑空间，其邻域由开球或闭球诱导。重要的是，不同维度的欧氏空间不可能同胚，这是维数理论的核心结论，虽证明困难，但对建立空间维数的直觉至关重要。
例 2：子空间拓扑
设 $X$ 为拓扑空间，$Y \subseteq X$。对每个 $y \in Y$，定义其邻域为所有形如 $N \cap Y$ 的集合，其中 $N$ 是 $y$ 在 $X$ 中的邻域。此构造满足公理，称 $Y$ 具有子空间拓扑。由此，所有欧氏空间的子集（包括球面、环面、莫比乌斯带等）均可视为拓扑空间。
例 3：圆与区间的对比
令 $C$ 为复平面上单位圆，$[0,1)$ 为半开区间，均赋予子空间拓扑。定义 $f: [0,1) \to C$ 为 $f(x) = e^{2\pi i x}$。该映射是双射且连续，但其逆不连续——因为圆上绕一圈回到起点时，区间端点无法连续映射回去。这突显了同胚定义中要求逆映射连续的重要性。
例 4：径向投影与三角剖分
考虑一个球中放置一个内接四面体。球面与四面体表面作为 $\mathbb{E}^3$ 子空间。其间的径向投影 $\pi$ 是一个同胚，这种将曲面分解为多边形并粘合的方式称为三角剖分，将在后续章节深入讨论。
例 5：度量空间诱导拓扑
任何度量空间 $(X,d)$ 都自然诱导一个拓扑：点 $x$ 的邻域包含所有满足 $d(x,y) < \varepsilon$ 的点 $y$。例如，定义在闭区间 $I$ 上的连续实值函数空间 $X$，其常用度量为：
$$
d(f,g) = \sup_{x \in I} |f(x) - g(x)|.
$$
该度量诱导的拓扑使函数空间成为拓扑空间。
例 6：奇特拓扑
在实数集 $\mathbb{R}$ 上定义一种新拓扑：一个集合是点 $x$ 的邻域，当且仅当它包含 $x$ 且其补集为有限集。此拓扑与通常拓扑不同胚，且不能由任何度量诱导——因为度量空间必然满足第一可数性公理，而此拓扑不满足。
例 7：离散拓扑
设 $X$ 为任意集合，对每个 $x \in X$，令 $\{x\}$ 为其邻域。由公理 ©，任何含 $x$ 的子集均为邻域。这种拓扑称为离散拓扑。在此拓扑下，任意函数都是连续的，因为每个单点集都是开集。
定义 1.4：曲面
一个曲面是一个拓扑空间 $S$，满足：
- 对任意点 $p \in S$，存在一个邻域 $U \ni p$，使得 $U$ 同胚于平面 $\mathbb{R}^2$。
- 对任意两个不同点 $p, q \in S$，存在互不相交的邻域 $U_p \ni p$, $U_q \ni q$。
解释
条件 1 是曲面的本质特征：局部同胚于平面，符合“站在曲面上某点看近处像平面”的直观。例如地球表面局部看似平面，整体却是球面。
条件 2 是技术性要求，确保空间“足够好”，避免病态情况（如某些非豪斯多夫空间）。它保证了点之间可以被邻域分离，这在所有经典曲面例子中都成立。
注意
若允许曲面具有边界（如莫比乌斯带），则需放宽条件 1：允许某些点的邻域同胚于上半平面 $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq 0\}$。此时，所有经典曲面例子（包括带边界的）均可纳入此框架。
1.5 分类定理
在前几节中，我们逐步构建了抽象拓扑空间的语言，并定义了“曲面”的概念。现在将重新聚焦于一类结构良好、具有几何直观的曲面——闭曲面。
定义：闭曲面
满足以下三个条件的曲面称为闭曲面：
- 无边界：即没有边缘或开口（如莫比乌斯带或圆柱面被排除）；
- 紧致：直观上指“有限大小且封闭”，其精确定义将在第3章给出；
- 连通：整体为一个不可分割的部分（如两个分离球面不被视为单个闭曲面）。
典型例子包括球面、环面和克莱因瓶。平面或开圆环等“未闭合”空间不属于此类。
我们的核心目标是：对所有闭曲面进行分类——即构造一个完备且互不同胚的曲面清单，使得任意给定闭曲面都同胚于该清单上的某一个。
构造闭曲面的两种基本方式
方式一：添加把手（可定向曲面）
从标准球面出发，移除两个不相交的圆盘，然后将一个圆柱体的两个边界圆周分别粘合到这两个孔洞上。这个操作称为“添加一个把手”。所得曲面仍为闭曲面。
- 添加一个把手后，得到的是环面（同胚于 $S^1 \times S^1$）。
- 重复此过程，可构造出带有两个、三个乃至任意有限个把手的球面。
这类曲面被称为亏格为 $n$ 的可定向曲面，其中 $n$ 为把手数。这些曲面构成闭曲面的第一类，即可定向曲面。
方式二：替换莫比乌斯带（不可定向曲面）
从球面开始，移除一个圆盘，再用一条莫比乌斯带替代它。莫比乌斯带只有一个边界圆，恰好可与球面上的孔洞边界一一粘合。
- 此操作需在四维空间中实现，以避免自交（三维嵌入必然自交）。
- 所得曲面称为射影平面，记作 $\mathbb{RP}^2$。
更一般地，对于每个正整数 $n$，从球面移除 $n$ 个不相交圆盘，并用 $n$ 条莫比乌斯带替代，即可构造出一个新的闭曲面。
- 当 $n=2$ 时，所得曲面同胚于克莱因瓶。
- 图 1.18 描述了这一过程：将克莱因瓶沿中线切开，可得两条莫比乌斯带；每条莫比乌斯带的边界邻域同胚于圆柱体，而圆柱体又同胚于移除了两个圆盘的球面。因此，克莱因瓶可视为由两个莫比乌斯带通过“补丁”拼接而成。
这类曲面构成闭曲面的第二类，即不可定向曲面。
定理 1.5：闭曲面分类定理
任何闭曲面必同胚于以下三类之一：
- 标准球面；
- 带有 $n$ 个把手的球面（$n \geq 1$），即亏格为 $n$ 的可定向曲面；
- 移除了 $n$ 个圆盘并用 $n$ 条莫比乌斯带替代的球面（$n \geq 1$），即不可定向曲面。
并且，这三类曲面中的任意两个均不同胚。
例如，一个带有一个把手的球面移除一个圆盘并替换为一条莫比乌斯带，所得曲面同胚于移除了三个圆盘并用三条莫比乌斯带替代的球面。这一结果将在第7章严格证明。
定义：可定向曲面
若在曲面上任取一条光滑闭合曲线，在起点处选定一个局部坐标系（包含切向量与法向量），当沿曲线完整绕行一周后，回到原点时坐标系方向不变，则称该曲面为可定向。
直观上，这意味着曲面“没有扭曲”导致方向反转。
- 带任意多个把手的球面均为可定向（图 1.19a 显示绕行后方向一致）。
- 球面本身也可视为亏格为0的可定向曲面。
定义：不可定向曲面
若存在某条闭合曲线，沿其绕行一周后，法向量方向发生反转，则称该曲面为不可定向。
- 包含莫比乌斯带的曲面（如射影平面、克莱因瓶）均为不可定向。
分类定理表明：闭曲面的拓扑类型完全由其是否可定向及“复杂度”（把手数或莫比乌斯带数）决定。
1.6 拓扑不变量
拓扑不变量是指在同胚变换下保持不变的空间性质。它们是拓扑学的核心工具，用于区分和分类不同的拓扑空间。常见的拓扑不变量包括：
- 欧拉数：如前所述，闭曲面的欧拉数由其亏格决定。可定向曲面（带把手的球面）和不可定向曲面（含莫比乌斯带的球面）具有不同的欧拉数公式。
- 基本群：描述空间中闭合路径的同伦类。不同拓扑空间的基本群通常不同，是强有力的区分工具。
- 同调群：通过代数方法捕捉空间的“洞”结构。不同空间的同调群通常不同，提供了另一种区分空间的手段。
通过计算和比较这些拓扑不变量，我们可以有效地区分不同的拓扑空间，并理解它们的结构特征。在后续章节中，我们将深入探讨这些不变量的定义、计算方法及其在拓扑分类中的应用。