Ch 2.1 Baire纲集定理

§1 Baire纲集定理

用于说明可数开稠子集的交仍然是稠密的。

定义：Baire 纲集

$(X, d)$ 是度量空间。

1. 若 $A \subseteq X$ 满足 $\overline{A}$ 没有内点（即 $\forall x \in \overline{A}, \forall \varepsilon > 0, B(x, \varepsilon) \cap \overline{A}^C \neq \varnothing$），称 $A$ 是无处稠密的。
2. 若 $A = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$，$A_i$ 是无处稠密的，则称 $A$ 是第一纲集。
3. 不是第一纲集的集合称为第二纲集。因若 $A^c$ 是第一纲集，则称 $A$ 是剩余集。

引理1（纲集的性质）：设 $(X, d)$ 是度量空间，则下列结论成立。

1. $A$ 是无处稠密的 $\Leftrightarrow A^c$ 是包含开的稠密集；
2. 若 $B$ 是第一纲集，$A \subseteq B$，则 $A$ 是第一纲集（即第一纲集的子集是第一纲集）；
3. 若 $A$ 是第二纲集，$A \subseteq B \subseteq X$，则 $B$ 是第二纲集（即包含第二纲集的集合仍是第二纲集）；
4. 第一纲集的可数并是第一纲集，剩余集的可数交是剩余集；
5. $R$ 是剩余集 $\Leftrightarrow R$ 含有可数个开的稠密集的交。

证明：

1:
首先，不难验证 $X \setminus \overline{A} = \text{int}(X \setminus A)$，其中 $\text{int}(A) = \left\{ x \in A \mid \exists \delta > 0, \text{ s.t. } B(x, \delta) \subseteq A \right\}$。

从而
$$ X \setminus \text{int}(\overline{A}) = \overline{X \setminus \overline{A}} = \overline{\text{int}(X \setminus A)} $$

“$\Rightarrow$”：若 $\text{int}(\overline{A}) = \varnothing$，$\Rightarrow X = \overline{\text{int}(X \setminus A)}$，即 $X \setminus A$ 是开稠集。由于 $\text{int}(X \setminus A) \subseteq A^c$，$\Rightarrow$ 结论。

“$\Leftarrow$”：若 $A^c$ 包含开稠集，则 $\underbrace{\text{int}(X \setminus A)}_{\text{开}} \supseteq \text{开稠集}$，$\Rightarrow X = \overline{\text{int}(X \setminus A)} = X \setminus \text{int}(\overline{A})$，$\Rightarrow \text{int}(\overline{A}) = \varnothing$，$\Rightarrow$ 依定义。

2, 3, 4 可由定义验证。

5：

“$\Rightarrow$” 若 $R \subseteq X$ 是剩余集，$A = X \setminus R$ 是第一纲集 $\xRightarrow{\text{定义}} A = \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j$, $A_j$ 是无处稠密集。

记 $U_i = X \setminus \overline{A_i} = \text{int}(X \setminus A_i)$，从而 $\overline{U_i} = \overline{\text{int}(X \setminus A_i)} = X \setminus \text{int}(\overline{A_i}) = X$ $\Rightarrow U_i$ 是开稠集。

$$ \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i = X \setminus \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_i} \subseteq X \setminus \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = R \quad \Rightarrow \text{结论}. $$

“$\Leftarrow$” 若 $\bigcap_{i=1}^{\infty} U_i \subseteq R$，其中 $U_i$ 是开稠集。记 $A_i = X \setminus U_i$ $\xRightarrow{\text{引理1①}} A_i$ 是无处稠密集，

$\Rightarrow A = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 是第一纲集，$X \setminus R \subseteq X \setminus \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A$ $\Rightarrow$ 结论。

Baire纲定理

若 $(X, d)$ 是非空完备度量空间，则下列结论成立。

1. 剩余集是稠密的；
2. $U \subseteq X$ 是非空开集，则 $U$ 是第二纲集；
3. 若 $A_i \subseteq X$ 是闭集且无内点，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 也无内点；
4. 若 $U_i \subseteq X$ 开集且稠密，则 $\bigcap_{i=1}^{\infty} U_i$ 是稠密的；
5. 剩余集是第二纲集。

命题：若 $(X, d)$ 是度量空间，则 1 $\Leftrightarrow$ 2 $\Leftrightarrow$ 3 $\Leftrightarrow$ 4

证明：

• 1 $\Rightarrow$ 2：由于 $U$ 是开集 $\Rightarrow X \setminus U$ 不是稠密的 $\Rightarrow X \setminus U$ 不是剩余集 $\Rightarrow U$ 不是第一纲集。
• 2 $\Rightarrow$ 3：由定义知 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 是第一纲集。（反证法）若 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 会有内点，即 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 包含一开集 $\Longrightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 是第二纲集，这与 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 是第一纲集矛盾，$\Rightarrow$ 结论。
• 3 $\Rightarrow$ 4：记 $A_i = X \setminus U_i$；$\xRightarrow{\text{由引理1①}} A_i$ 是无处稠密的且是闭集 $\xRightarrow{\text{③}} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 无内点。由于 $\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right)^C = \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i$，从而 $\bigcap_{i=1}^{\infty} U_i$ 是稠密的。否则若 $\bigcap_{i=1}^{\infty} U_i$ 不稠，$\exists x_0 \in X$ 以及 $\varepsilon > 0$，s.t. $B(x_0; \varepsilon) \cap \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i = \varnothing$，由上式，有 $B(x_0; \varepsilon) \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$，这与条件矛盾。
• 4 $\Rightarrow$ 1：假设 $R$ 是剩余集，由引理1⑤，$R$ 是稠密的。

Baire 纲定理的证明

首先 2 $\Rightarrow$ 5：

假设 $R$ 是剩余集 $\Rightarrow X \setminus R$ 是第一纲集。若 $R$ 是第一纲集，$\Rightarrow X = (X \setminus R) \cup R$ 是第一纲集，这与②矛盾 $\Rightarrow R$ 是第二纲集。（$X$ 是非空开集）。

4的证明：

假设 $U_i$ 是开稠集。则：
$$ \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i \text{ 是稠密的} \Longleftrightarrow \forall x_0 \in X, \forall \varepsilon_0 > 0, \quad B(x_0; \varepsilon_0) \cap \left( \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i \right) \neq \varnothing $$

由于 $U_i$ ($i \ge 1$) 是开稠集，$\Rightarrow B(x_0; \varepsilon_0) \cap U_1 \neq \varnothing$，即 $\exists x_1 \in U_1 \cap B(x_0; \varepsilon_0)$。

选取$\epsilon_n$：
$$ \varepsilon_1 < \frac{1}{2} \varepsilon_0, \quad \overline{B(x_1; \varepsilon_1)} \subset U_1 \cap B(x_0; \varepsilon_0)\\ ......\\ \varepsilon_k < 2^{-k} \varepsilon_0, \quad B(x_k; \varepsilon_k) \subset U_k \cap B(x_{k+1}; \varepsilon_{k+1}) $$

$\Rightarrow d(x_k, x_{k+1}) < 2^{-(k+1)} \Rightarrow \{x_k\}_{k \ge 1}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列。

由完备性，$\exists x^* \in X$，s.t. $d(x_k, x^*) \to 0$，当 $k \to +\infty$。

$\Rightarrow \forall k \ge k_0, \quad x_k \in B(x_k; \varepsilon_k) \Rightarrow x^* \in \overline{B(x_k, \varepsilon_k)} \subset U_k$

$$ \Rightarrow x^* \in B(x_0; \varepsilon_0) \cap \left( \bigcap_{j \ge 1} U_j \right) \quad \Rightarrow \bigcap_{j \ge 1} U_j \text{ 是稠密的}. $$

注：

依赖选择公理

• 证明用到了“依赖选择公理”：
  若 $A: X \to 2^X$（$\Rightarrow \forall x \in X, A(x) \subseteq X$ 且 $A(x)$ 非空），则 $\exists \{x_k\}_{k \ge 1} \subseteq X$，s.t. $x_{k+1} \in A(x_k), \quad \forall k \ge 1$。
  只要从每个点出发都有“下一步可走”（即映射 $A(x)$ 非空），那么就一定能无限地走下去，构造出一条无限长的路径。

• 对于上述选取过程：假定
  $$ X \overset{\text{记}}{=} \left\{ (k, x, \varepsilon) \mid k \ge 1, x \in X, 0 < \varepsilon < 2^{-k}, \overline{B(x; \varepsilon)} \subset U_k \cap B(x_0; \varepsilon_0) \right\} $$

  且
  $$ A(k, x, \varepsilon) := \left\{ (\tilde{k}, \tilde{x}, \tilde{\varepsilon}) \in X \mid \tilde{k} = k+1, B(\tilde{x}; \tilde{\varepsilon}) \subseteq B(x; \varepsilon) \right\} $$
  从而由依赖选择公理得到选取的无穷序列的存在性

与选择依赖公理的关系

Baire纲集定理可以推出“依赖选择”公理。

子空间度量不要求完备

若 $(X, d)$ 是完备度量空间. $M \subseteq X$ 非空开集，则 $(M, d_M \stackrel{\text{定义}}{=} d|_{M \times M})$ 是度量空间且 (Baire纲定理) 成立。此时 $(M, d_M)$ 不要求是完备的。（4的证明过程可知）

剩余集性质

“$\mathbb{R}$”的剩余集可以是零测集（也就是第一纲集的测度可以是全测度）。

完备性要求

Baire纲定理对于不完备度量空间不成立。例 $(\Omega, d), d(x,y) = |x-y| \quad \forall x,y \in \Omega$

取 $\chi \in \Omega$. 则 $\{\chi\}$ 是无处稠密集. $\Rightarrow \Omega$ 是第一纲集. $\Rightarrow \Omega$ 中的任何集合是第一纲集且是稀疏集

可分性弱化条件

对于可分的非空完备度量空间，“Baire纲定理”证明不需要“依赖选择公理”。

应用

命题

若 $C[0,1]$ 中处处不可微的函数集合记为 $E$, 则 $E$ 是非空的且是剩余集（第二纲集）。

证明：

令 $A_n \stackrel{\text{定义}}{=} \left\{ f \in C[0,1] \mid \exists s \in [0,1], \quad \text{使} |h| \leq \frac{1}{n}, \quad 0 \leq s+h \leq 1 \right.$

有 $\left. |f(s+h) - f(s)| \leq n|h| \right\}$, 即 $A_n$ 中函数至少在一点可微且导数的绝对值 $\leq n$

从而
$$ C[0,1] \setminus E \subseteq \bigcup_{n \geq 1} A_n $$

因此 $\text{结论} \iff A_n \text{ 是无处稠密的}$

• Step 1.

  $A_n$ 是 $(C[0,1], \| \cdot \|_{L^\infty})$ 下的闭集。即 $C[0,1] \setminus A_n$ 是开集。

  $\forall f \in C[0,1] \setminus A_n$, $f$ 满足 $\forall s \in [0,1], \exists h_s \text{ s.t. } |h_s| \leq \frac{1}{n} \text{ 且 } \underset{0 \leq s+h_s \leq 1}{|f(s+h_s) - f(s)| \geq (n + \delta_s) |h_s|}$

  由 $f$ 的连续性， $\exist \eta_s > 0$. s.t. $\forall t \in [s - \eta_s, s + \eta_s] \cap [0,1]$, 有

  $$ |f(t + h_s) - f(t)| \geq \left(n + \frac{\delta_s}{2}\right) |h_s| $$

  由 $[0,1] \subset \bigcup_{S \in [0,1]} ([s - \eta_s, s + \eta_s] \cap [0,1]) \quad \Rightarrow \quad [0,1] \subseteq \bigcup_{i=1}^N [s_i - \eta_{s_i}, s_i + \eta_{s_i}] \cap [0,1]$

  记 $\delta_0 = \min \left\{ \delta_{s_1}, \cdots, \delta_{s_N} \right\} / 2 \quad h_0 = \min \left\{ |h_{s_1}|, \cdots, |h_{s_N}| \right\}$

  若 $\|g - f\|_\infty \leq \frac{\delta_0}{4} h_0$, 且 $\forall t \in [s_i - \eta_{s_i}, s_i + \eta_{s_i}] \cap [0,1)$

  $$ \begin{aligned} |g(t + h_{s_i}) - g(t)| &\geq |f(t + h_{s_i}) - f(t)| - 2 \times \frac{\delta_0}{4} h_0 \\ &\geq (n + \delta_0) |h_{s_i}| - \frac{\delta_0}{2} h_0 \geq (n + \frac{\delta_0}{2}) |h_{s_i}| \end{aligned} $$

  $\Rightarrow g \in C[0,1] \setminus A_n \quad \Rightarrow$ 闭集。

• Step 2.
  $A_n$ 无内点, $\forall f \in A_n$. $\forall \varepsilon > 0$. 于多项式函数 $P(x)$, s.t. $\|f - P\|_\infty \leq \varepsilon/2$

  $P \in C^p([0,1]) \Rightarrow \exists M > 0$. s.t. $|P(x+h) - P(x)| \leq M |h|$

  构造分段函数 $g$. s.t. $\|g\|_\infty \leq \varepsilon/2$

  且线段的斜率绝对值 $\geq M + n + 1$
  

  则 $g + P \in B(f; \varepsilon)$ 但是 $g + P \notin A_n$. $\Rightarrow$ 由 $\epsilon$ 的原子性得到结论

  由于 $(C[0,1]; l^\infty)$ 是完备的. 由 Baire纲集知 $\bigcup_{n \geq 1} A_n$ 是第一纲集 $\Rightarrow E$ 是剩余集。