Ch7.1 同调

同调的思想与背景

1. 几何动机：拓扑空间中的“洞”及其代数化

(1) 直观理解“洞”

拓扑学的一个核心目标是研究空间在连续变形下的不变性质。我们已经学过同伦理论，它通过基本群和高阶同伦群探测空间的“洞”。但同伦群计算困难，且难以代数化处理。同调理论则提供了一种更易于计算且代数的工具，同样能捕捉空间的“洞”。

我们首先从几何直观出发：

• 0维洞：即空间的连通分支。一个空间若不连通，就有多个0维洞。但同调中通常将0维洞的信息放在 $H_0$ 中。
• 1维洞：比如圆圈 $S^1$ 中心的洞。注意，这个洞是一维的，因为它的边界是一个一维的圈。更一般地，一个闭合曲线如果不能连续收缩成一点，就可能围绕一个洞。例如，圆环面（torus）表面有两个不同的1维洞（经圈和纬圈）。
• 2维洞：比如球面 $S^2$ 包围的内部空洞。从空间本身看，球面没有“穿过的洞”，但它包围了一个二维的空洞。同调中，高维空洞对应高阶同调群。

同调的基本思想是：用“循环”和“边界”来刻画洞。一个循环是空间中的闭链（如闭合曲线、闭曲面），如果它是某个更高维区域的边界，那么它就没有包围洞；否则，它可能代表一个洞。

例子：考虑一个圆环面 $T^2$。它有两条典型的不可收缩的闭合曲线（经圈和纬圈），它们都不是任何曲面的边界（在环面上）。这两条曲线分别对应一个1维洞。再考虑球面 $S^2$：任何闭合曲线都是某个区域的边界，所以没有1维洞；但球面本身作为一个2维闭链，不是任何三维区域的边界（因为球面是二维的，且没有“内部”），所以它有一个2维洞。

(2) 代数化：从几何到代数

为了将几何直观代数化，我们构造以下代数对象：

1. 链复形：对空间 $X$，我们构造一系列自由Abel群 $C_n(X)$，其生成元是某种“n维基本图形”（如单纯形、胞腔或奇异单形）。这些群通过边界算子 $\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X)$ 连接，满足 $\partial_{n-1} \circ \partial_n = 0$（边界无边界）。

2. 循环与边界：

   • n维循环：满足 $\partial_n(c) = 0$ 的链 $c \in C_n(X)$，记作 $Z_n(X) = \ker \partial_n$。
   • n维边界：存在 $d \in C_{n+1}(X)$ 使得 $c = \partial_{n+1}(d)$，记作 $B_n(X) = \operatorname{im} \partial_{n+1}$。
     由 $\partial^2=0$ 可知 $B_n(X) \subseteq Z_n(X)$。

3. 同调群：定义 n 维同调群为商群
   $$ H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X). $$
   一个同调类 $[c] \in H_n(X)$ 就是一个 n 维循环模去边界。如果两个循环相差一个边界，则它们代表相同的洞。

(3) 同调群的几何信息

• $H_0(X)$：反映连通分支数。若 $X$ 道路连通，则 $H_0(X) \cong \mathbb{Z}$。
• $H_1(X)$：反映1维洞的数量。对于可三角化的空间，$H_1(X)$ 是基本群 $\pi_1(X)$ 的 Abel 化。
• $H_n(X)$（$n \geq 2$）：反映 n 维空洞。例如，$S^n$ 的 $H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$，且其他维数为零（除了 $H_0$）。

重要例子：

• 圆 $S^1$：$H_0 \cong \mathbb{Z}, H_1 \cong \mathbb{Z}$，其他为0。
• 球面 $S^2$：$H_0 \cong \mathbb{Z}, H_2 \cong \mathbb{Z}$，$H_1 = 0$。
• 环面 $T^2$：$H_0 \cong \mathbb{Z}, H_1 \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}, H_2 \cong \mathbb{Z}$。

同调群是拓扑不变量：同胚的空间具有同构的同调群。实际上，同伦等价的空间也拥有同构的同调群（同伦不变性）。

2. 历史线索：从 Euler 示性数、Betti 数到现代同调论

(1) Euler 示性数

同调思想的源头可追溯到 Euler 多面体公式：对于凸多面体，顶点数 $V$、边数 $E$、面数 $F$ 满足
$$ V - E + F = 2. $$
这个常数2是球面的 Euler 示性数。后来发现，对于任意闭曲面，Euler 示性数 $\chi = V - E + F$ 是一个拓扑不变量，且与曲面的亏格 $g$（洞的个数）相关：对于可定向闭曲面，$\chi = 2 - 2g$。

在现代同调论中，Euler 示性数可表示为同调群的交错和：
$$ \chi(X) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \, \mathrm{rank} \, H_n(X), $$
其中 $\mathrm{rank}$ 是指自由部分的秩（Betti 数）。

(2) Betti 数

19世纪，Riemann 和 Betti 试图推广 Euler 公式到高维。Betti 引入了“连通数”的概念，描述高维空间中的连通性。实际上，第 n 个 Betti 数 $b_n$ 就是 $H_n(X)$ 的自由部分的秩。Euler 示性数可写成
$$ \chi = \sum_{n} (-1)^n b_n. $$

(3) Poincaré 的奠基性工作

Poincaré 在1895年的论文《Analysis Situs》中系统引入了同调理论。他使用了单纯复形和单纯同调，定义了链、边界、循环和同调群。他还提出了 Poincaré 对偶定理，并猜想单连通的三维闭流形同胚于 $S^3$（Poincaré 猜想）。

(4) 现代同调论的发展

20世纪，随着抽象代数和范畴论的发展，同调论被公理化并推广。Eilenberg 和 Steenrod 在《代数拓扑学基础》中提出了同调论的公理体系，证明了满足公理的同调论在 CW 复形上的唯一性。同时，为了处理一般拓扑空间，发展了奇异同调（Lefschetz, Eilenberg）。胞腔同调和 Mayer-Vietoris 序列等计算工具也被引入，使得同调成为代数拓扑的核心工具。

3. 三种主要同调理论的比较

现代拓扑学中，常用的同调理论有三种：奇异同调、胞腔同调和单纯同调。它们对“好”的空间（如 CW 复形）给出同构的同调群，但出发点不同，各有优劣。

(1) 奇异同调（Singular Homology）

• 基本思想：对任意拓扑空间 $X$，考虑从标准 n 维单形 $\Delta^n$ 到 $X$ 的所有连续映射（奇异单形）。这些映射生成自由 Abel 群 $C_n^{\text{sing}}(X)$。边界算子定义为限制到单形的各个面（带符号交替和）。由此得到奇异链复形，其同调称为奇异同调。
• 优点：
  • 适用于任意拓扑空间，无需附加结构。
  • 函子性好：连续映射诱导链映射，从而诱导同调群的同态。
  • 容易证明同伦不变性、切除定理等一般性质。
• 缺点：链群非常大（通常无限生成），直接计算困难。但对 CW 复形可通过胞腔逼近定理简化为胞腔同调。

(2) 胞腔同调（Cellular Homology）

• 基本思想：适用于 CW 复形。利用 CW 复形的胞腔结构，每个 n 维胞腔对应一个生成元，链群 $C_n^{\text{cell}}(X)$ 是由所有 n 维胞腔生成的自由 Abel 群。边界算子由胞腔的附着映射的映射度（degree）决定。
• 优点：
  • 链群规模小，易于计算。许多常见空间（如射影空间、曲面、Grassmann 流形）有自然的 CW 结构，可快速计算同调。
  • 几何直观强，边界算子反映了胞腔如何粘合。
• 缺点：仅适用于 CW 复形。需要证明与奇异同调的同构（通过胞腔逼近定理）。

(3) 单纯同调（Simplicial Homology）

• 基本思想：适用于单纯复形（即由单纯形规则粘合而成的组合结构，常见于三角剖分）。每个 n 维单纯形对应一个生成元，链群 $C_n^{\text{simpl}}(X)$ 由这些单纯形生成。边界算子由顶点的交替和给出。
• 优点：
  • 完全组合化，适合算法实现（计算拓扑中常用）。
  • 历史上最先出现，直观易懂。
• 缺点：
  • 需要空间有三角剖分（虽然存在三角剖分定理，但剖分可能很复杂）。
  • 单纯同调与奇异同调同构（通过几何实现），但证明需一定步骤。