Ch 3.1 紧致性
3.1 $\mathbb{E}^n$ 中的闭有界子集
那些既是闭集又是有界的欧几里得空间 $\mathbb{E}^n$ 的子集对我们而言具有特殊的重要性。作为例子，我们提及第1章中描述的曲面以及我们将在第6章中构建的有限单纯复形，以对空间进行三角剖分。我们将证明，这些子集可以通过一个纯粹的拓扑性质来刻画，也就是说，这个性质仅涉及 $\mathbb{E}^n$ 的拓扑结构，而不涉及距离的概念。当该性质被推广到一般拓扑空间时，被称为“紧致性”。
定义：开覆盖
设 $X$ 是一个拓扑空间，$\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一族开子集，其并集为整个 $X$。这样的族称为 $X$ 的一个开覆盖。如果 $\mathscr{F}'$ 是 $\mathscr{F}$ 的子族，并且 $\bigcup \mathscr{F}' = X$，则称 $\mathscr{F}'$ 为 $\mathscr{F}$ 的一个子覆盖。
例子
设 $X$ 为平面，$\mathscr{F}$ 取所有半径为1、中心坐标为整数的开球的集合。这些球构成了平面的一个开覆盖。注意，如果我们从 $\mathscr{F}$ 中移除任意一个球 $B$，则剩余的球族无法覆盖平面，因为它们的并集不包含 $B$ 的中心。因此，$\mathscr{F}$ 没有真子覆盖。对于第二个例子，我们令 $X$ 为具有由实直线诱导的通常拓扑的闭单位区间 $[0,1]$，并取以下 $[0,1]$ 的开子集族作为 $\mathscr{F}$:
$$
[0, 1/10); (1/3, 1]; \quad \text{以及集合 } (1/(n + 2), 1/n) \text{，其中 } n \in \mathbb{Z} \text{ 且 } n \geqslant 2.
$$
这个开覆盖是无限的；这个开覆盖存在一个有限子覆盖：
$$ [0, 1/10); (1/3, 1]; \quad \text{以及 } (1/(n + 2), 1/n) \text{，其中 } 2 \leqslant n \leqslant 9. $$
事实上，$[0,1]$ 的任何开覆盖都包含一个有限子覆盖。正是这一性质将 $\mathbb{E}^n$ 中的闭有界子集挑选了出来。
定理 3.1：实数空间中的闭有界子集
一个 $\mathbb{E}^n$ 的子集 $X$ 是闭集且有界的，当且仅当 $X$ 的每个开覆盖（带有诱导拓扑）都有一个有限子覆盖。
受此结果启发，我们做出如下定义。
定义 3.2：紧致空间
一个拓扑空间 $X$ 称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖。
可以发现，紧致性是拓扑空间的一个不变量：如果 $X$ 和 $Y$ 是同胚的拓扑空间，则 $X$ 紧致当且仅当 $Y$ 紧致。这是因为同胚映射将开覆盖映射为开覆盖，并且有限子覆盖映射为有限子覆盖。
3.2 Heine-Borel定理
在本节中，我们将给出著名的Heine-Borel定理的两种证明。
定理 3.3: Heine-Borel定理
闭区间是紧的。
证明1
设 $[a, b]$ 是实直线上的一个闭区间，具有诱导拓扑，$\mathscr{F}$ 是 $[a,b]$ 的一个开覆盖。思路是从 $a$ 向 $b$ “逐步推进”该区间，看看在不违反路径必须包含在 $\mathscr{F}$ 的有限个成员的并集内的条件下，能走多远。该定理表明我们可以一直走到 $b$。
我们通过定义 $[a,b]$ 的一个子集 $X$ 来实现：
$$ X = \{ x \in [a,b] \mid [a,x] \text{ 包含在 } \mathscr{F} \text{ 的某个有限子族的并集中} \}. $$
那么 $X$ 是非空的（因为 $a \in X$）并且上有界（由 $b$ 界定）。因此 $X$ 有一个上确界或最小上界，记作 $s$。我们声称 $s \in X$ 且 $s = b$。因为设 $O$ 是 $\mathscr{F}$ 中包含 $s$ 的成员。由于 $O$ 是开集，我们可以选择足够小的 $\varepsilon > 0$，使得 $(s - \varepsilon, s] \subseteq O$，并且如果 $s < b$，我们可以假设 $(s - \varepsilon, s + \varepsilon) \subseteq O$。
现在 $s$ 是 $X$ 的最小上界，因此存在 $X$ 中的点任意接近 $s$。此外，$X$ 具有这样的性质：如果 $x \in X$ 且 $a \leqslant y \leqslant x$，则 $y \in X$。因此我们可以假设 $s - \varepsilon/2 \in X$。根据 $X$ 的定义，区间 $[a, s - \varepsilon/2]$ 包含在 $\mathscr{F}$ 的某个有限子族 $\mathscr{F}'$ 的并集中。将 $O$ 加入 $\mathscr{F}'$，我们得到 $\mathscr{F}$ 的一个有限集合，其并集当然包含 $[a,s]$。因此 $s \in X$。如果 $s < b$，则 $\bigcup \mathscr{F}' \cup O$ 包含 $[a, s + \varepsilon/2]$，从而得出 $s + \varepsilon/2 \in X$，这与 $s$ 是 $X$ 的上界相矛盾。因此 $s = b$，且所有 $[a,b]$ 都包含在 $\bigcup \mathscr{F}' \cup O$ 中。
证明
使用反证法。假设定理 (3.3) 不成立。设 $\mathscr{F}$ 是 $[a,b]$ 的一个开覆盖，但不包含有限子覆盖。设 $I_1 = [a,b]$。将 $[a,b]$ 分割成两个长度相等的闭子区间 $[a, \frac{1}{2}(a + b)]$ 和 $[\frac{1}{2}(a + b), b]$。至少其中一个必须具有这样的性质：它不包含在 $\mathscr{F}$ 的任何有限子族的并集中。选择具有此性质的一个，称之为 $I_2$。现在重复该过程，二分 $I_2$ 并选择其中一个，称为 $I_3$，它不包含在 $\mathscr{F}$ 的任何有限子族的并集中。如此继续，我们得到一个嵌套的闭区间序列
$$
I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \dots
$$
当我们沿着序列前进时，它们的长度趋于零。
我们声称 $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$ 恰好包含一个点。在我们第一个证明定理 (3.3) 时，我们使用了实数的完备性性质（即一个上有界的非空实数集有上确界）。为了证明区间的交集非空，令 $x_n$ 表示区间 $I_n$ 的左端点，并考虑序列 $\{x_n\}$。该序列单调递增且上有界。$p$ 表示 $x_n$ 的上确界，$\{x_n\}$ 收敛于 $p$。容易验证 $p \in I_n$ 对所有 $n$ 成立。此外，由于 $I_n$ 的长度随着 $n$ 趋于无穷大而趋于零，显然 $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$ 不能包含多于一个点。因此
$$
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \{p\}.
$$
$p$ 属于 $[a,b]$，因此位于 $\mathscr{F}$ 的某个开集 $O$ 中。选择足够小的 $\varepsilon > 0$，使得 $(p - \varepsilon, p + \varepsilon) \cap [a,b] \subseteq O$，并选择一个足够大的正整数 $n$，使得 $\text{length}(I_n) < \varepsilon$。由于 $p \in I_n$，$I_n$ 完全包含在 $O$ 中。但 $I_n$ 是被选出来使其不包含在 $\mathscr{F}$ 的任何有限子族的并集中的，而这里我们有 $I_n$ 包含在 $\mathscr{F}$ 的单个成员内，矛盾。因此，定理 (3.3) 成立。
推论
闭区间上的连续实值函数是有界的。
证明
假设 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ 是连续的。给定 $x \in [a,b]$，我们可以找到 $x$ 在 $[a,b]$ 中的一个邻域 $O(x)$，使得对所有 $x' \in O(x)$，都有 $|f(x') - f(x)| < 1$。所有这样的 $O(x)$ 构成 $[a,b]$ 的一个开覆盖。因此，根据Heine-Borel定理，我们可以找到一个有限子族，比如 $O(x_1), \dots, O(x_k)$，使得 $O(x_1) \cup \dots \cup O(x_k) = [a,b]$。现在如果 $x$ 位于 $O(x_i)$ 中，则 $|f(x)| \leqslant |f(x_i)| + 1$。因此，对于 $[a,b]$ 中的任意点 $x$，我们有
$$
|f(x)| \leqslant \max\{|f(x_1)|, \dots, |f(x_k)|\} + 1
$$
更高维的情形
二分法论证可以推广到更高维度。例如，考虑正方形
$$
S = \{(x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, \; 0 \leqslant y \leqslant 1\}
$$
及其从平面诱导的通常拓扑。要证明 $S$ 是紧致的，需要证明 $S$ 的任何开子集族，只要其并集是整个 $S$，就包含一个有限子族，其并集也是整个 $S$。思路与之前完全相同：假设存在一个族 $\mathscr{F}$ 使得这是错误的，并用反证法。在二分法过程中，我们通过连接其对边的中点将 $S$ 分割成四个较小的正方形。我们选择四个中不包含在 $\mathscr{F}$ 的任何有限子族的并集中的一个，称之为 $S_1$。重复这个过程，产生一个嵌套的正方形序列
$$
S \supseteq S_1 \supseteq S_2 \supseteq \dots
$$
当我们沿着序列前进时，它们的直径趋于零。类似地，我们可以证明这些正方形的交集恰好包含一个点 $p$。由于 $p$ 位于 $\mathscr{F}$ 的某个成员 $O$ 中，我们可以选择足够小的正方形 $S_n$，使得 $S_n \subseteq O$，从而得到矛盾。因此，$S$ 是紧致的。
我们将在第 3.4 节给出 $S$ 紧致性的另一种证明。思路非常简单：我们将定义两个拓扑空间的乘积，并证明紧致空间的乘积是紧致的。由于 $S$ 是乘积空间 $[0,1] \times [0,1]$，因此 $S$ 是紧致的。
3.3 紧致空间的性质
定理 3.4
紧致空间的连续像仍是紧致的。
证明
设 $f: X \to Y$ 是一个满连续函数，且 $X$ 是紧致的，我们需要证明 $Y$ 是紧致的。令 $\mathscr{F}$ 是 $Y$ 的一个开覆盖。若 $O \in \mathscr{F}$，则由 $f$ 的连续性可知 $f^{-1}(O)$ 是 $X$ 的一个开子集，因此族
$$ \mathscr{G} = \{ f^{-1}(O) \mid O \in \mathscr{F} \} $$
是 $X$ 的一个开覆盖。由于 $X$ 是紧致的，$\mathscr{G}$ 包含一个有限子覆盖，记作 $X = f^{-1}(O_1) \cup \dots \cup f^{-1}(O_k)$。现在 $f$ 是满射函数，因此 $f(f^{-1}(O_i)) = O_i$ 对于 $1 \leqslant i \leqslant k$ 成立，于是我们有 $Y = O_1 \cup O_2 \cup \dots \cup O_k$。这些开集 $O_1, O_2, \dots, O_k$ 因此构成了 $\mathscr{F}$ 的一个有限子覆盖。
拓扑空间 $X$ 的子集 $C$ 称为 $X$ 的紧致子集，如果赋予 $C$ 从 $X$ 诱导的拓扑后，$C$ 是一个紧致空间。记住，$C$ 的子集 $U$ 在诱导拓扑下是开集当且仅当 $U = V \cap C$ 对某个 $X$ 的开集 $V$ 成立。因此，$C$ 是 $X$ 的紧致子集当且仅当每一个覆盖 $C$ 的 $X$ 的开集族都包含一个有限子族，其并集也包含 $C$。
定理 3.5
紧致空间的闭子集是紧致的。
证明
设 $X$ 是一个紧致空间，$C$ 是 $X$ 的一个闭子集，$\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一族开子集，使得 $C \subseteq \bigcup \mathscr{F}$。如果我们把开集 $X - C$ 加入 $\mathscr{F}$，就得到 $X$ 的一个开覆盖。利用 $X$ 的紧致性，我们知道这个开覆盖有一个有限子覆盖。因此我们可以找到 $O_1, O_2, \dots, O_k \in \mathscr{F}$，使得 $O_1 \cup O_2 \cup \dots \cup O_k \cup (X - C) = X$。这就给出了 $C \subseteq O_1 \cup O_2 \cup \dots \cup O_k$，而集合 $O_1, \dots, O_k$ 提供了所需的 $\mathscr{F}$ 的有限子族。
定理 3.6
若 $A$ 是豪斯多夫空间 $X$ 的一个紧致子集，且 $x \in X - A$，则存在 $x$ 和 $A$ 的不相交邻域。因此，豪斯多夫空间中的紧致子集是闭集。
证明
设 $z$ 是 $A$ 中的一个点。由于 $X$ 是豪斯多夫空间，我们可以找到不相交的开集 $U_z$ 和 $V_z$，使得 $x \in U_z$ 且 $z \in V_z$。我们将改变 $z$ 在 $A$ 中的位置，符号也相应变化，以强调 $U_z$ 和 $V_z$ 对 $z$ 的依赖关系；记住 $x$ 是 $X - A$ 中的一个固定点。随着 $z$ 在整个 $A$ 上变动，产生一族开集 $\{V_z \mid z \in A\}$，其并集包含 $A$。但 $A$ 是紧致的，因此 $A \subseteq V_{z_1} \cup \dots \cup V_{z_k}$，其中 $z_1, z_2, \dots, z_k \in A$ 为某个有限点集。令 $V = V_{z_1} \cup \dots \cup V_{z_k}$。由于 $V_{z_i}$ 与 $x$ 的开邻域 $U_{z_i}$ 不相交，$V$ 与交集 $U = U_{z_1} \cap \dots \cap U_{z_k}$ 不相交。集合 $U, V$ 是 $x$ 和 $A$ 的不相交开邻域。
我们在第2章中看到，一对一的满连续函数不一定有连续逆，因此它不一定是同胚映射。然而，如果该函数是从一个紧致空间到一个豪斯多夫空间，则我们可以使用前面的结果来验证其逆是连续的。
定理 3.7
从紧致空间 $X$ 到豪斯多夫空间 $Y$ 的连续双射是同胚映射。
证明
设 $f: X \to Y$ 是该函数，$C$ 是 $X$ 的一个闭子集。那么 $C$ 是紧致的（定理 3.5）。因此 $f(C)$ 是紧致的（定理 3.4），从而在 $Y$ 中是闭集（定理 3.6）。所以 $f$ 将闭集映射为闭集，这证明了 $f^{-1}$ 是连续的。
我们的下一个结果让我们对可以紧致的空间类型有了很好的感觉。它表明，如果在一个紧致空间中有无限多个点，那么这些点必须在某处聚集在一起；用更正式的语言来说，它们必须有一个极限点。
定理 3.8：Bolzano-Weierstrass性质
紧致空间的无限子集必有一个极限点。
证明
设 $X$ 是一个紧致空间，$S$ 是 $X$ 的一个没有极限点的子集。我们将证明 $S$ 是有限的。给定 $x \in X$，我们可以找到 $x$ 的一个开邻域 $O(x)$，使得
$$ O(x) \cap S = \begin{cases} \emptyset & \text{若 } x \notin S \\ \{x\} & \text{若 } x \in S, \end{cases} $$
因为否则 $x$ 将成为 $S$ 的极限点。由 $X$ 的紧致性，开覆盖 $\{O(x) \mid x \in X\}$ 有一个有限子覆盖。但每个集合 $O(x)$ 至多包含 $S$ 中的一个点，因此 $S$ 必须是有限的。
波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质告诉我们，例如，欧几里得空间中的紧致子集不能向某个方向无限延伸。因为如果它可以，我们就能找到无限多个点，彼此充分分离并趋于无穷远，且没有极限点。当然，我们可以使用所讨论集合的开覆盖给出这一事实的精确证明。
定理 3.9
欧空间中若一个子集是紧致的，则它是闭且有界的。
证明
设 $X$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的一个紧致子集。根据定理 (3.8)，$X$ 是有界的。要证明 $X$ 是闭的，设 $p$ 是 $X$ 的一个极限点。我们需要证明 $p \in X$。假设 $p \notin X$。由于 $\mathbb{E}^n$ 是豪斯多夫空间，我们可以找到 $p$ 和 $X$ 的不相交邻域 $O_p$ 和 $O_X$。但这与 $p$ 是 $X$ 的极限点矛盾。因此，$p \in X$，从而 $X$ 是闭的。
定理 3.10
定义在紧致空间上的连续实值函数是有界的，并且达到其上下界。
证明
若 $f: X \to \mathbb{R}$ 是连续的，且 $X$ 是紧致的，则 $f(X)$ 是紧致的。因此，根据定理 (3.9)，$f(X)$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个闭且有界的子集，故 $f$ 必然是有界的。由于 $f(X)$ 是闭集，$f(X)$ 的上确界和下确界都属于 $f(X)$。因此我们可以找到点 $x_1, x_2 \in X$，使得
$$ f(x_1) = \sup(f(X)) \quad \text{且} \quad f(x_2) = \inf(f(X)), $$
这恰好说明 $f$ 达到了它的上下界。
我们以一个关于紧致度量空间的开覆盖的技术性结果结束本节：该结果将在后续章节中多次应用。
引理 3.11：勒贝格引理※
设 $X$ 是一个紧致度量空间，$\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一个开覆盖。则存在一个实数 $\delta > 0$（称为 $\mathscr{F}$ 的勒贝格数），使得 $X$ 中直径小于 $\delta$ 的任何子集都包含在 $\mathscr{F}$ 的某个成员内。
直观理解
勒贝格引理表明，在紧致度量空间中，任何足够小的子集都可以被包含在开覆盖的某个成员内。换句话说，紧致空间中的点不会“太分散”，以至于无法用开覆盖中的单个开集来覆盖它们。这个定理在后续章节中很实用，例如，可以将某个空间划分为足够小的部分，以确保每个部分都包含在开覆盖的某个成员内，进而在每个部分上应用局部性质，从而得出整个空间的全局性质。
证明
如果不成立，我们可以找到 $X$ 的子集序列 $A_1, A_2, A_3, \dots$，它们都不包含在 $\mathscr{F}$ 的任何成员内，且它们的直径趋于零。对于每个 $n$，选择一个属于 $A_n$ 的点 $x_n$。序列 $\{x_n\}$ 要么只包含有限个不同的点（此时某个点重复出现无限次），要么是无限的（此时由于 $X$ 是紧致的，它必须有一个极限点）。将重复的点或极限点记为 $p$。令 $U$ 是 $\mathscr{F}$ 中包含 $p$ 的元素。选择 $\varepsilon > 0$ 使得 $B(p,\varepsilon) \subseteq U$，并选择足够大的整数 $N$，使得：
- $A_N$ 的直径小于 $\varepsilon/2$，且
- $x_N \in B(p, \varepsilon/2)$。
那么对于 $A_N$ 中的任意点 $x$，都有 $d(x_N, p) < \varepsilon/2$ 且 $d(x, x_N) < \varepsilon/2$，因此 $d(x,p) < \varepsilon$，从而 $A_N \subseteq U$。这与我们对序列 $\{A_n\}$ 的初始选择相矛盾。
3.4 乘积空间
考虑具有自然乘积结构的空间，例如可以将平面视为两条实直线的乘积，将环面视为两个圆的乘积，或将圆柱体视为一个圆与单位区间的乘积。例如取 $\mathbb{E}^3$ 中的一个圆柱：
$$ \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 = 1 \quad \text{且} \quad 0 \leqslant z \leqslant 1\} $$
并赋予其诱导拓扑。作为集合，它是笛卡尔乘积 $S^1 \times I$，其中 $S^1$ 表示 $(x,y)$ 平面上的单位圆，$I$ 表示 $z$ 轴上的单位区间。我们声称，圆柱体的拓扑在非常自然的意义上是圆和区间的拓扑的乘积。为了说明这一点，注意到如果 $U$ 是 $S^1$ 中的一个开集，$V$ 是 $I$ 中的一个开集，则乘积 $U \times V$ 在圆柱体中是开集。此外，如果我们给定圆柱体的一个开集 $O$ 和一个属于 $O$ 的点 $p$，那么我们很容易找到开集 $U \subseteq S^1$、$V \subseteq I$，使得 $p \in U \times V \subseteq O$。换句话说，这些乘积集 $U \times V$ 构成了圆柱体拓扑的一个基。我们说圆柱体具有“乘积拓扑”。受此启发，我们可以给出两个拓扑空间乘积的定义，随后证明本节的主要结果：两个紧致空间的乘积是紧致的。
定义：乘积拓扑
设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间，令 $\mathscr{B}$ 表示 $X \times Y$ 中所有形如 $U \times V$ 的子集族，其中 $U$ 在 $X$ 中开，$V$ 在 $Y$ 中开。则
$$ \bigcup \mathscr{B} = X \times Y $$
并且 $\mathscr{B}$ 中任意两个成员的交集仍属于 $\mathscr{B}$。因此，$\mathscr{B}$ 是 $X \times Y$ 上某个拓扑的一个基。这个拓扑被称为乘积拓扑，而配备乘积拓扑的集合 $X \times Y$ 称为乘积空间。
定义：投影
函数 $p_1: X \times Y \to X$ 和 $p_2: X \times Y \to Y$ 定义为 $p_1(x,y) = x$、$p_2(x,y) = y$，称为投影。
定理 3.12
若 $X \times Y$ 具有乘积拓扑，则投影是连续函数，并且它们将开集映射为开集。乘积拓扑是 $X \times Y$ 上使得两个投影均为连续函数的最细拓扑。
证明
假设 $U$ 是 $X$ 的一个开子集，则 $p_1^{-1}(U) = U \times Y$，它在乘积拓扑下是开集；因此 $p_1$ 是连续的。对于 $p_2$ 的论证类似。为了看到 $p_1$ 将开集映射为开集，我们只需观察 $p_1$ 对基本开集的作用，因为任何其他开集都是这些基本开集的并集。但 $p_1(U \times V) = U$，所以乘积拓扑的一个基本开集被 $p_1$ 映射为 $X$ 中的一个开集。对于 $p_2$，我们以类似方式论证。
现在假设我们在 $X \times Y$ 上有一个拓扑，使得两个投影都是连续的。取开集 $U \subseteq X$、$V \subseteq Y$，并形成 $p_1^{-1}(U) \cap p_2^{-1}(V)$。这在给定拓扑下必须是开集。但该集合恰好是 $U \times V$。因此，给定拓扑包含乘积拓扑的所有基本开集，因而至少与乘积拓扑一样大。
从现在起，每当我们提到 $X \times Y$，我们都假设它具有乘积拓扑，并且 $X$ 和 $Y$ 均非空。我们可以通过检查将给定函数分别与每个投影复合后是否得到连续函数，来验证一个函数进入乘积空间的连续性。
定理 3.13
函数 $f: Z \to X \times Y$ 是连续的当且仅当两个复合函数 $p_1 f: Z \to X$ 和 $p_2 f: Z \to Y$ 都是连续的。
证明
假设 $p_1 f$ 和 $p_2 f$ 都是连续的。为了检验 $f$ 的连续性，我们只需证明对 $X \times Y$ 的每个基本开集 $U \times V$，$f^{-1}(U \times V)$ 在 $Z$ 中是开集。但
$$ f^{-1}(U \times V) = (p_1 f)^{-1}(U) \cap (p_2 f)^{-1}(V) $$
这是 $Z$ 中两个开子集的交集。因此 $f^{-1}(U \times V)$ 在 $Z$ 中是开集。
反之，若 $f$ 是连续的，则 $p_1 f$ 和 $p_2 f$ 是连续的，这是由投影 $p_1$、$p_2$ 的连续性所保证的。
定理 3.14
乘积空间 $X \times Y$ 是豪斯多夫空间当且仅当 $X$ 和 $Y$ 都是豪斯多夫空间。
证明
假设 $X$ 和 $Y$ 都是豪斯多夫空间。设 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是 $X \times Y$ 中的两个不同点。那么要么 $x_1 \neq x_2$，要么 $y_1 \neq y_2$（或两者皆成立）：为便于论证，假设 $x_1 \neq x_2$。由于 $X$ 是豪斯多夫空间，我们可以找到不相交的开集 $U_1$、$U_2$，使得 $x_1 \in U_1$、$x_2 \in U_2$。为了找到 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 的不相交开邻域，我们只需构造乘积 $U_1 \times Y$、$U_2 \times Y$。
反之，假设 $X \times Y$ 是豪斯多夫空间。给定 $X$ 中的不同点 $x_1$、$x_2$，我们选择一点 $y \in Y$，并找到 $X \times Y$ 中的不相交基本开集 $U_1 \times V_1$、$U_2 \times V_2$，使得 $(x_1,y) \in U_1 \times V_1$ 且 $(x_2,y) \in U_2 \times V_2$。那么 $U_1$、$U_2$ 是 $x_1$、$x_2$ 在 $X$ 中的不相交开邻域。因此 $X$ 是豪斯多夫空间。对 $Y$ 的论证类似。
定理 3.15
$X \times Y$ 是紧致的当且仅当 $X$ 和 $Y$ 都是紧致的。
引理 3.16
设 $X$ 是一个拓扑空间，$\mathscr{B}$ 是 $X$ 拓扑的一个基。则 $X$ 是紧致的当且仅当 $X$ 的每一个由 $\mathscr{B}$ 中成员构成的开覆盖都有一个有限子覆盖。
证明
假设每个由 $\mathscr{B}$ 中成员构成的开覆盖都有一个有限子覆盖，令 $\mathscr{F}$ 为 $X$ 的任意一个开覆盖。由于 $\mathscr{B}$ 是 $X$ 拓扑的一个基，我们知道可以将 $\mathscr{F}$ 中的每个成员表示为 $\mathscr{B}$ 中某些成员的并集。令 $\mathscr{F}'$ 表示在此过程中使用的那些 $\mathscr{B}$ 成员组成的族。根据构造，我们有 $\bigcup \mathscr{F}' = \bigcup \mathscr{F} = X$；因此 $\mathscr{F}'$ 是 $X$ 的一个开覆盖（由 $\mathscr{B}$ 的成员构成），并且必然包含一个有限子覆盖。对于这个有限子覆盖中的每个基本开集，我们选择一个包含它的 $\mathscr{F}$ 的成员。这给出了 $\mathscr{F}$ 的一个有限子覆盖，表明 $X$ 是紧致的。逆命题显然成立。
定理 3.15 的证明
若 $X \times Y$ 是紧致的，则 $X$ 和 $Y$ 都必须是紧致的，因为投影 $p_1: X \times Y \to X$、$p_2: X \times Y \to Y$ 是满射且连续函数。（记住我们已假设 $X$ 和 $Y$ 均非空。）
现在来看结果中更有趣的部分：假设 $X$ 和 $Y$ 都是紧致空间，令 $\mathscr{F}$ 为 $X \times Y$ 的一个开覆盖，由基本开集 $U \times V$ 构成，其中 $U$ 在 $X$ 中开，$V$ 在 $Y$ 中开。我们将证明 $\mathscr{F}$ 必须包含一个有限子覆盖。这足以通过前面的引理证明 $X \times Y$ 是紧致的。
选取一点 $x \in X$，并考虑 $X \times Y$ 中带有诱导拓扑的子集 $\{x\} \times Y$。容易验证：
$$ p_2|_{\{x\} \times Y}: \{x\} \times Y \to Y $$
是一个同胚映射。换句话说，$\{x\} \times Y$ 只是我们的乘积空间中位于点 $x$ “上方”的 $Y$ 的一个副本。因此 $\{x\} \times Y$ 是紧致的，我们可以找到 $\mathscr{F}$ 的一个极小有限子族，其并集包含 $\{x\} \times Y$。我们将这个有限子族的成员标记为：
$$ U_1^x \times V_1^x, \; U_2^x \times V_2^x, \; \dots, \; U_{n_x}^x \times V_{n_x}^x $$
以强调它们对点 $x$ 的依赖关系。注意，这些集合的并集包含的不仅仅是 $\{x\} \times Y$，实际上它包含了所有的 $U^x \times Y$，其中 $U^x = \bigcap_{i=1}^{n_x} U_i^x$。
到目前为止，我们仅使用了 $Y$ 的紧致性。现在，集合 $U^x \times Y$ 表现为 $X \times Y$ 中覆盖 $X$ 的子集 $U^x$ 的一条“带”。剩余证明的想法是利用 $X$ 的紧致性，证明我们可以用有限条这样的“带”覆盖整个 $X \times Y$。族 $\{U^x \mid x \in X\}$ 是 $X$ 的一个开覆盖，我们从中选出一个有限子覆盖，记作：
$$ U^{x_1}, \; U^{x_2}, \; \dots, \; U^{x_s} $$
由于 $X$ 是这些集合的并集，我们有：
$$ X \times Y = (U^{x_1} \times Y) \cup (U^{x_2} \times Y) \cup \dots \cup (U^{x_s} \times Y) $$
但 $U^{x_i} \times Y$ 包含在 $(U_1^{x_i} \times V_1^{x_i}) \cup \dots \cup (U_{n_{x_i}}^{x_i} \times V_{n_{x_i}}^{x_i})$ 中。因此，基本开集：
$$ U_1^{x_i} \times V_1^{x_i}, \; U_2^{x_i} \times V_2^{x_i}, \; \dots, \; U_{n_{x_i}}^{x_i} \times V_{n_{x_i}}^{x_i}, \quad 1 \leqslant i \leqslant s $$
构成了 $\mathscr{F}$ 的一个有限子覆盖。证明完成。
现在可以证明定理 (3.1)，并完成对欧几里得空间中闭有界子集的刻画。
定理 3.1
$\mathbb{E}^n$ 的一个子集是紧致的当且仅当它是闭集且有界的。
证明
我们已经在定理 (3.9) 中证明过，欧几里得空间的紧致子集既是闭集又是有界的。反之，假设 $X$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的一个闭有界子集。我们将 $\mathbb{E}^n$ 视为 $n$ 条实直线的乘积，并注意到由于 $X$ 是有界的，它必须包含在
$$
[-s,s] \times [-s,s] \times \dots \times [-s,s]
$$
（即 $n$ 个闭区间 $[-s,s]$ 的乘积）内，其中 $s$ 为某个实数。海涅-博雷尔定理告诉我们 $[-s,s]$ 是紧致的，而定理 (3.15) 表明该区间的任意有限个副本的乘积也是紧致的。因此 $X$ 是一个紧致空间的闭子集，故由定理 (3.5) 可知 $X$ 是紧致的。