矩阵特征值计算

特征值分布与圆盘定理的应用

在数值分析与线性代数中，特征值的分布对理解矩阵性质至关重要。例如，迭代法$x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + f$的收敛性取决于矩阵$B$的谱半径$\rho(B)$，即其特征值的最大模值。此外，矩阵的2-条件数$\text{cond}(A)_2$也与特征值的极值相关。因此，如何快速估计特征值的范围成为关键问题。

圆盘定理：特征值的几何定位

Gerschgorin圆盘定理为此提供了直观的工具。对于矩阵$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$，其第$k$个圆盘定义为：以对角线元素$a_{kk}$为圆心，半径$r_k = \sum_{j \neq k} |a_{kj}|$（即该行非对角元绝对值之和）。定理指出：

1. 所有特征值必落在这些圆盘的并集中。
2. 若存在$m$个连通且与其他分离的圆盘，则其中恰好包含$m$个特征值。

证明思路基于特征方程$(\lambda - a_{kk})x_k = \sum_{j \neq k} a_{kj}x_j$，通过最大分量$x_k$的模长分析，导出$|\lambda - a_{kk}| \leq r_k$，从而确定特征值的分布范围。

应用实例与推论

定理 5.11：若实矩阵$A$的对角元均为正，且满足：

1. 严格对角占优（即每行对角元绝对值大于该行非对角元绝对值之和），则所有特征值的实部$\text{Re}(\lambda) > 0$。
2. 若$A$还是对称的且对角占优，则可进一步推断其半正定性（具体结论可参考教材拓展）。

例5.3：估计矩阵
$$ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix} $$
的特征值分布。

1. 直接应用圆盘定理：
   • 第一个圆盘$D_1$以4为中心，半径1（范围$[3,5]$），与另外两个圆盘分离，必含一个实特征值。
   • 第二、三个圆盘分别为$[-1,1]$和$[-5,-3]$。
2. 对$A^T$应用圆盘定理：
   • 转置后，第三个圆盘$D_3'$以-4为中心，半径2（范围$[-6,-2]$），分离后修正为$[-5,-3]$，必含另一实特征值。

综合结果：
$$ \lambda_1 \in [3,5], \quad \lambda_3 \in [-5,-3], \quad \lambda_2 \in [-2,2] $$
实际计算得特征值为4.2030、-3.7601、-0.4429，均在估计范围内。此例还表明，通过相似变换（如课本例5.4）可进一步优化估计精度。

幂法：计算矩阵主特征值的实用方法

幂法是数值线性代数中用于计算矩阵主特征值（模最大的特征值）及其对应特征向量的经典迭代算法。其核心思想是通过不断用矩阵作用于一初始向量，使向量逐渐对齐主特征向量的方向。以下从理论、实现到应用细节展开说明。

幂法的收敛性

定理5.12：若矩阵$A$存在唯一的主特征值$\lambda_1$（满足$|\lambda_1| > |\lambda_j|$对所有$j \neq 1$），且初始向量$v_0$在$\lambda_1$对应的特征向量方向上的分量不为零，则迭代过程
$$ v_k = Av_{k-1} \quad (k=1,2,\dots) $$
生成的序列$v_k$会收敛到$\lambda_1$对应的特征向量。

证明要点：
假设$A$是非亏损矩阵（即具有完备的特征向量基），设其线性无关特征向量为$\hat{x}_1, \dots, \hat{x}_n$，初始向量可分解为：
$$ v_0 = \alpha_1 \hat{x}_1 + \cdots + \alpha_n \hat{x}_n \quad (\alpha_1 \neq 0). $$
迭代后得：
$$ v_k = A^k v_0 = \alpha_1 \lambda_1^k \hat{x}_1 + \alpha_2 \lambda_2^k \hat{x}_2 + \cdots + \alpha_n \lambda_n^k \hat{x}_n. $$
由于$|\lambda_1| > |\lambda_j|$，当$k \to \infty$时，高阶项$\left(\frac{\lambda_j}{\lambda_1}\right)^k$趋近于零，因此$v_k$的方向趋近于$\hat{x}_1$。进一步，若记录$v_k$中绝对值最大的分量下标$j$，则：
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{(v_{k+1})_j}{(v_k)_j} = \lambda_1. $$

改进：向量规格化

幂法的直接迭代可能导致向量分量迅速增长或缩小（上溢/下溢）。规格化是解决此问题的关键技巧。

规格化方法：
每步迭代后，将向量除以其绝对值最大的分量（或范数），确保其最大分量为1。例如：

• 向量$v = [3, -5, 0]^T$，规格化后为$u = \left[ -\frac{3}{5}, 1, 0 \right]^T$。
• 无穷范数规格化：$\|u\|_\infty = 1$，且$\max(u) = 1$。

定理5.13：
若迭代过程中每步进行规格化：
$$ u_k = \frac{v_k}{\max(v_k)}, \quad v_k = Au_{k-1}, $$
则：

1. 规格化后的向量序列$u_k$收敛到主特征向量的规格化形式：
   $$ \lim_{k \to \infty} u_k = \frac{\hat{x}_1}{\max(\hat{x}_1)}. $$
2. 迭代中记录的$\max(v_k)$收敛到主特征值$\lambda_1$。

加速幂法的收敛

1. 原点位移技术
   通过平移矩阵特征值加速收敛：令$B = A - sI$，其特征值为$\lambda_i - s$。选择适当的位移$s$，使得次主特征值与主特征值的模长比缩小（即$\left|\frac{\lambda_2 - s}{\lambda_1 - s}\right| < \left|\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right|$），从而提升幂法收敛速度。

2. 瑞利商加速（实对称阵）
   对实对称矩阵$A$，利用瑞利商$R(x) = \frac{x^T Ax}{x^T x}$估计特征值：

• Th5.15：瑞利商满足$\lambda_{\min} \leq R(x) \leq \lambda_{\max}$，当$x$为特征向量时取等。
• Th5.16：结合幂法，每步计算$R(u_k)$，其收敛速度提升至$O((\lambda_2/\lambda_1)^{2k})$，优于传统幂法的$O((\lambda_2/\lambda_1)^k)$。

算法实现

算法5.1（计算主特征值及特征向量）：
输入：矩阵$A$，初始随机向量$u_0$，判停阈值$\epsilon$。
输出：主特征值$\lambda_1$，规格化的主特征向量$x_1$。

1. 初始化：选择随机非零向量$u_0$。
2. 迭代循环：
   • 计算$v = Au_{k-1}$。
   • 近似主特征值：$\lambda_1^{(k)} = \max(v)$（或使用加速方法，计算瑞利商）。
   • 规格化向量：$u_k = v / \lambda_1^{(k)}$。
   • 检查判停条件（如$|\lambda_1^{(k)} - \lambda_1^{(k-1)}| < \epsilon$）。
3. 终止：输出$\lambda_1 = \lambda_1^{(k)}$，$x_1 = u_k$。

关键细节：

• 稀疏矩阵友好：每步仅需一次矩阵-向量乘法，适合大规模稀疏矩阵。
• 数值稳定性：规格化避免数值溢出，同时加速收敛。
• 前提条件：主特征值唯一且非零，初始向量在主特征方向的分量不为零。

应用注意事项

1. 判停准则：常用相邻迭代步的$\lambda_1$差值小于阈值，或设定最大迭代次数。
2. 特征值符号：若主特征值为负，$\max(v_k)$的符号会震荡，需取绝对值判断收敛。
3. 多重主特征值：若存在多个模相等的最大特征值（如$\lambda_1 = -\lambda_2$），幂法可能失效。