Poisson公式与Schwarz定理

1. Poisson公式

定理1：若 $u$ 在闭圆盘 $\overline{\Delta}_R: |z| \leq R$ 上调和，则
$$ u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2 - |z|^2}{|Re^{i\theta} - z|^2} u(Re^{i\theta}) d\theta. $$

证明思路：

• 证法1：直接引用习题解答（映射转化）。
• 证法2（核心）：构造双全纯映射 $\eta = f(\zeta) = \frac{R^2(\zeta + z)}{R^2 + \zeta \bar{z}}$，将圆心映至 $z$ 点。
  • 定义 $U(\zeta) = u(f(\zeta))$，利用调和函数的平均值性质：$u(z) = U(0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} U(Re^{i\theta}) d\theta$。
  • 通过变量替换 $\eta = Re^{i\theta}$ 和复积分计算，导出 Poisson 核 $\frac{R^2 - |z|^2}{|Re^{i\theta} - z|^2}$。
• 几何辅助：由 $R^2 - |z|^2 = |Re^{i\theta} - z| \cdot |Re^{i\theta^*} - z|$ 导出角变量变换 $\theta^*$（Schwarz公式）。

2. Schwarz定理

定理2：设 $U$ 在 $\partial \Delta_R$ 上逐段连续，且在 $\zeta_0 \in \partial \Delta_R$ 连续，则
$$ \lim_{z \to \zeta_0 , z \in \Delta_R} P_U(z) = U(\zeta_0) $$
其中
$$ P_U(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2 - |z|^2}{|Re^{i\theta} - z|^2} U(Re^{i\theta}) d\theta. $$

证明思路：

• 线性泛函性质：$P_U$ 满足线性性、正性（若 $U \geq 0$ 则 $P_U \geq 0$），且 $P_1 \equiv 1$。
• 边界收敛（核心步骤）：
  • 假设 $U(\zeta_0) = 0$（一般情形可平移）。
  • 分解 $U = U_1 + U_2$：
    • $U_1$ 在 $\zeta_0$ 附近的小弧 $\gamma$ 上取 $U$，其余处为 $0$；
    • $U_2$ 在 $\gamma$ 上为 $0$，其余处取 $U$。
  • 估计两部分：
    • $|P_{U_1}(z)| < \varepsilon$（由 $U_1$ 的连续性及 Poisson 核的正性）；
    • $|P_{U_2}(z)| \leq \varepsilon$（当 $z$ 接近 $\zeta_0$ 时，Poisson 核在 $\gamma$ 外一致小）。
  • 结合得 $|P_U(z)| < 2\varepsilon$，即收敛到边界值。

3. Schwarz对称开拓原理

定理3（调和函数延拓）：若 $v$ 在 $\Omega^+$ 调和，在 $\Omega^+ \cup I$ 连续，且 $v|_I = 0$，则
$$ V(z) = \begin{cases} v(z) & z \in \Omega^+ \cup I \\ -v(\bar{z}) & z \in \Omega^- \end{cases} $$
是 $\Omega$ 上的调和函数。

证明思路：

• 局部调和性：对 $a \in I$，取圆盘 $B(a,\delta) \subset \Omega$，构造 Poisson 积分 $V_1 = P_{V,B}$。
• 对称性利用：
  • 在实轴上 $V_1(x) = 0$（由 $V(\eta)$ 的奇性及积分计算）。
  • $V_1$ 与 $V$ 在 $\partial B$ 和实轴重合。
• 最大模原理：$V_1 - V$ 在 $B^+$ 和 $B^-$ 的边界为 $0$，故在 $B$ 内恒为 $0$，即 $V$ 局部调和。

定理4（解析函数延拓）：若 $f = u + iv$ 在 $\Omega^+$ 解析，且 $v(x,y) \to 0$（当 $y \to 0^+$），则
$$ F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+ \\ \overline{f(\bar{z})} & z \in \Omega^- \end{cases} $$
是 $\Omega$ 上的解析函数。

证明思路：

• 调和延拓虚部：由定理3延拓 $v$ 到 $\Omega$，满足 $v(\bar{z}) = -v(z)$。
• 局部构造解析函数：
  • 在 $a \in I$ 的邻域内，存在解析函数 $f_1 = u_1 + iv$ 与 $f$ 在 $\Omega^+$ 仅差实常数（可调为 $0$）。
  • 由对称性：$\overline{f_1(\bar{z})} = u_1(z) - iv(z) = F(z)$（$z \in \Omega^-$）。
• 整体解析：$f_1$ 是 $F$ 在局部圆盘内的解析延拓，覆盖整个 $\Omega$。