Ch 2.5 Banach 空间的自反性

动机

在无穷维赋范空间$X$中，有界序列不一定存在按范数收敛的子序列。这为证明各类存在性问题（如微分方程解的存在性、泛函极值的存在性）带来了本质困难。考虑在索伯列夫空间 $H^1_0(0,1)$ 中最小化能量泛函 $J(u) = \frac{1}{2} \int_0^1 |u'(t)|^2 dt - \int_0^1 f(t)u(t) dt.$ 假设我们可以找到一个极小化序列 $\{u_n\}$，并且证明该序列在 $H^1_0$ 范数下是一致有界的。为了证明解的存在性，我们需要从这个有界序列中提取出一个收敛的子列，并证明其极限就是极小元。 然而，在无穷维空间 $H^1_0(0,1)$ 中，有界序列不一定包含按范数收敛的子列。因此，我们必须转向更弱的收敛方式——弱收敛。此时，我们面临的核心问题是：能否保证有界序列 $\{u_n\}$ 一定存在一个弱收敛的子列 $\{u_{n_k}\}$？引入自反空间的核心动机在于：自反Banach空间$X$（即自然嵌入映射$J: X \to X^{**}$是满射的空间）的闭单位球是弱紧的（由Banach-Alaoglu定理保证）。

二重对偶空间

定义（二重对偶空间）

设 $X$ 是一个实赋范向量空间。$X$ 的二重对偶空间是其对偶空间的对偶空间，记作

$$ X^{**} := (X^*)^* = \mathcal{L}(X^*, \mathbb{R}). $$

存在一个自然映射 $\iota = \iota_X : X \to X^{**}$，它将每个元素 $x \in X$ 映射为线性泛函 $\iota(x) : X^* \to \mathbb{R}$，该泛函在 $x^* \in X^*$ 处的值通过在点 $x \in X$ 处取有界线性泛函 $x^* : X \to \mathbb{R}$ 的值得到。因此，映射 $\iota : X \to X^{**}$ 定义为

$$ \iota(x)(x^*) := \langle x^*, x \rangle $$

其中 $x \in X$ 且 $x^* \in X^*$。由 Hahn–Banach 定理可知，线性映射 $\iota : X \to X^{**}$ 是一个等距嵌入。

引理（自然嵌入是等距的）

设 $X$ 是一个实赋范向量空间。则线性映射 $\iota : X \to X^{**}$ 是一个等距嵌入。特别地，

$$ \|x\| = \sup_{x^* \in X^* \setminus \{0\}} \frac{|\langle x^*, x \rangle|}{\|x^*\|} $$

对所有 $x \in X$ 成立。

证明

映射 $\iota : X \to X^{**}$ 是线性的直接由定义得出。为证明它保持范数，固定一个非零向量 $x_0 \in X$。那么，根据Hahn-Banach 定理的推论，存在一个有界线性泛函 $x_0^* \in X^*$，使得 $\|x_0^*\| = 1$ 且 $\langle x_0^*, x_0 \rangle = \|x_0\|$。于是

$$ \|x_0\| = \frac{|\langle x_0^*, x_0 \rangle|}{\|x_0^*\|} \leq \|\iota(x_0)\| = \sup_{x^* \in X^* \setminus \{0\}} \frac{|\langle x^*, x_0 \rangle|}{\|x^*\|} \leq \|x_0\|. $$

推论（商空间的范数）

设 $X$ 是一个实赋范向量空间，且 $Y \subset X$ 是一个闭线性子空间。则对于每个 $x \in X$，

$$ \inf_{y \in Y} \|x + y\| = \sup_{x^* \in Y^\perp \setminus \{0\}} \frac{|\langle x^*, x \rangle|}{\|x^*\|}. $$

证明

方程左边是商空间 $X/Y$ 中等价类 $[x] = x + Y$ 的范数。右边是有界线性泛函

$$ \iota_{X/Y}(x + Y) : (X/Y)^* \cong Y^\perp \to \mathbb{R} $$

的范数。因此方程可由引理将 $X$ 替换为 $X/Y$ 得出。

自反Banach空间

定义：自反Banach空间

一个实赋范向量空间 $X$ 被称为自反的，如果其自然等距嵌入 $\iota : X \to X^{**}$ 是满射（即双射）。一个自反的赋范向量空间必然是完备的，这由“完备性定理”得出。

定理：自反空间与其对偶及商空间的关系

设 $X$ 是一个Banach空间。则以下结论成立：

1. $X$ 是自反的当且仅当其对偶空间 $X^*$ 是自反的。

2. 如果 $X$ 是自反的，且 $Y \subset X$ 是一个闭线性子空间，则子空间 $Y$ 和商空间 $X/Y$ 都是自反的。

证明

我们先证明第 1. 部分。假设 $X$ 是自反的，并令 $\Lambda : X^{**} \to \mathbb{R}$ 是一个有界线性泛函。定义

$$ x^* := \Lambda \circ \iota : X \to \mathbb{R}, $$

其中 $\iota = \iota_X : X \to X^{**}$ 是前述的自然等距嵌入。由于 $X$ 是自反的，该映射 $\iota$ 是双射。固定一个元素 $x^{**} \in X^{**}$ 并定义

$$ x := \iota^{-1}(x^{**}) \in X. $$

于是，

$$ \Lambda(x^{**}) = \Lambda \circ \iota(x) = \langle x^*, x \rangle = \langle \iota(x), x^* \rangle = \langle x^{**}, x^* \rangle. $$

此处第一个和最后一个等式源于 $x^{**} = \iota(x)$ 的事实；第二个等式源于 $x^* = \Lambda \circ \iota$ 的定义；第三个等式源于映射 $\iota$ 的定义。这表明

$$ \Lambda = \iota_{X^*}(x^*), $$

其中 $\iota_{X^*} : X^* \to X^{***}$ 是将 $X^*$ 视为原空间时的自然等距嵌入。这证明了对偶空间 $X^*$ 是自反的。

反之，假设 $X^*$ 是自反的。子空间 $\iota(X)$ 在 $X^{**}$ 中是完备的（根据“等距嵌入保持范数引理”），因此是闭的。我们接下来证明 $\iota(X)$ 在 $X^{**}$ 中是稠密的。为此，令 $\Lambda : X^{**} \to \mathbb{R}$ 是任意一个在 $\iota(X)$ 上消失的有界线性泛函，即 $\Lambda \circ \iota = 0$。由于 $X^*$ 是自反的，存在一个元素 $x^* \in X^*$，使得对所有 $x^{**} \in X^{**}$ 均有

$$ \Lambda(x^{**}) = \langle x^{**}, x^* \rangle. $$

由于 $\Lambda \circ \iota = 0$，这意味着对所有 $x \in X$，

$$ \langle x^*, x \rangle = \langle \iota(x), x^* \rangle = \Lambda(\iota(x)) = 0, $$

故 $x^* = 0$，从而 $\Lambda = 0$。因此，$\iota(X) \subset X^{**}$ 的零化子为零，根据“零化子与稠密性推论”，$\iota(X)$ 在 $X^{**}$ 中是稠密的。结合其闭性，可得 $\iota(X) = X^{**}$，这完成了第 1. 部分的证明。

我们接着证明第 2. 部分。假设 $X$ 是自反的，且 $Y \subset X$ 是一个闭线性子空间。我们首先证明 $Y$ 是一个自反Banach空间。

定义线性算子 $\pi : X^* \to Y^*$ 为

$$ \pi(x^*) := x^*|_Y, \quad \text{对于 } x^* \in X^*. $$

固定一个元素 $y^{**} \in Y^{**}$，并定义 $x^{**} \in X^{**}$ 为

$$ x^{**} := y^{**} \circ \pi : X^* \to \mathbb{R}. $$

由于 $X$ 是自反的，存在唯一的元素 $y \in X$ 使得

$$ \iota_X(y) = x^{**}. $$

每个满足 $x^* \in Y^\perp$ 的元素都满足 $\pi(x^*) = 0$，因而

$$ \begin{aligned} \langle x^*, y \rangle &= \langle \iota_X(y), x^* \rangle \\ &= \langle x^{**}, x^* \rangle \\ &= \langle y^{**} \circ \pi, x^* \rangle \\ &= \langle y^{**}, \pi(x^*) \rangle \\ &= 0. \end{aligned} $$

换句话说，对所有 $x^* \in Y^\perp$，都有 $\langle x^*, y \rangle = 0$，因此由“正交补与闭包推论”可知

$$ y \in \overline{Y} = Y. $$

现在固定任意元素 $y^* \in Y^*$。根据“限制泛函存在性推论”，存在一个元素 $x^* \in X^*$，使得

$$ y^* = x^*|_Y = \pi(x^*) $$

并且

$$ \begin{aligned} \langle y^{**}, y^* \rangle &= \langle y^{**}, \pi(x^*) \rangle \\ &= \langle x^{**}, x^* \rangle \\ &= \langle \iota(y), x^* \rangle \\ &= \langle x^*, y \rangle \\ &= \langle y^*, y \rangle. \end{aligned} $$

这表明

$$ \iota_Y(y) = y^{**}. $$

由于 $y^{**} \in Y^{**}$ 是任意选取的，这证明了子空间 $Y$ 是一个自反Banach空间。

最后，我们证明商空间 $Z := X/Y$ 是自反的。令

$$ \pi : X \to X/Y $$

为典范投影，定义为

$$ \pi(x) := [x] = x + Y, \quad \text{对于 } x \in X, $$

并定义线性算子 $T : Z^* \to Y^\perp$ 为

$$ Tz^* := z^* \circ \pi : X \to \mathbb{R}, \quad \text{对于 } z^* \in Z^*. $$

注意 $Tz^* \in Y^\perp$，因为 $(Tz^*)(y) = z^*(\pi(y)) = 0$ 对所有 $y \in Y$ 成立。此外，由“商空间对偶同构推论”，$T$ 是一个等距同构。

现在固定一个元素 $z^{**} \in Z^{**}$。那么映射

$$ z^{**} \circ T^{-1} : Y^\perp \to \mathbb{R} $$

是在 $X^*$ 的线性子空间 $Y^\perp$ 上的一个有界线性泛函。因此，根据Hahn-Banach，存在一个有界线性泛函 $x^{**} : X^* \to \mathbb{R}$，使得对所有 $x^* \in Y^\perp$，

$$ \langle x^{**}, x^* \rangle = \langle z^{**}, T^{-1}x^* \rangle. $$

这个关于 $x^{**}$ 的条件可以写成如下形式：

$$ \langle x^{**}, z^* \circ \pi \rangle = \langle z^{**}, z^* \rangle \quad \text{对于所有 } z^* \in Z^*. $$

由于 $X$ 是自反的，存在一个元素 $x \in X$，使得

$$ \iota_X(x) = x^{**}. $$

定义

$$ z := [x] = \pi(x) \in Z. $$

那么，对所有 $z^* \in Z^*$，我们有

$$ \begin{aligned} \langle z^{**}, z^* \rangle &= \langle x^{**}, z^* \circ \pi \rangle \\ &= \langle \iota(x), z^* \circ \pi \rangle \\ &= \langle z^* \circ \pi, x \rangle \\ &= \langle z^*, \pi(x) \rangle \\ &= \langle z^*, z \rangle. \end{aligned} $$

这表明

$$ \iota_Z(z) = z^{**}. $$

由于 $z^{**} \in Z^{**}$ 是任意选取的，这说明 $Z$ 是自

实例：自反与非自反空间的例子

1. 每一个有限维赋范向量空间 $X$ 都是自反的，因为 $\dim X = \dim X^* = \dim X^{**}$（参见“有限维空间对偶维数推论”）。

2. 每一个希尔伯特空间 $H$ 都是自反的。

3. 设 $(M, \mathcal{A}, \mu)$ 是一个测度空间，且令 $1 < p, q < \infty$ 满足

$$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. $$

那么 $L^p(\mu)^* \cong L^q(\mu)$（参见“$L^p$ 空间对偶性示例”），这蕴含Banach空间 $L^p(\mu)$ 是自反的。练习：证明同构复合映射 $L^p(\mu) \cong L^q(\mu)^* \cong L^p(\mu)^{**}$ 正好是自然嵌入映射 。

4. 设 $c_0 \subset \ell^\infty$ 是所有收敛于零的实数序列 $x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 构成的子空间，配备上确界范数。那么映射 $\ell^1 \to c_0^*$: $y \mapsto \Lambda_y$，它将每个序列 $y = (y_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^1$ 映射为有界线性泛函 $\Lambda_y : c_0 \to \mathbb{R}$，其定义为 $\Lambda_y(x) := \sum_{i=1}^\infty x_i y_i$（其中 $x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in c_0$），是一个Banach空间等距同构（参见“$\ell^1$ 与 $c_0^*$ 的等距同构示例”）。这蕴含 $c_0^{**} \cong (\ell^1)^* \cong \ell^\infty$（参见“$\ell^1$ 对偶是 $\ell^\infty$ 的示例”），因此 $c_0$ 不是自反的。练习：自然嵌入映射 $\iota: c_0 \to c_0^{**}$ 与Banach空间等距同构 $c_0^{**} \cong \ell^\infty$ 的复合映射，正是典范包含映射 $c_0 \hookrightarrow \ell^\infty$。

(v) Banach空间 $\ell^1$ 不是自反的。为了说明这一点，记 $c \subset \ell^\infty$ 为所有实数柯西序列构成的空间，并考虑有界线性泛函，它将每个柯西序列 $x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in c$ 映射为其极限 $\lim_{i \to \infty} x_i$。根据 Hahn–Banach 定理，该泛函可以延拓为一个有界线性泛函 $\Lambda : \ell^\infty \to \mathbb{R}$（参见“Hahn–Banach 延拓推论”），而这个延拓泛函不属于自然嵌入映射 $\iota : \ell^1 \to (\ell^1)^{**} \cong (\ell^\infty)^*$ 的像。

5. 设 $(M, d)$ 是一个紧度量空间，令 $X = C(M)$ 为 $M$ 上所有连续实值函数构成的Banach空间，配备上确界范数（参见“连续函数空间示例”的第 (v) 部分）。假设 $M$ 是一个无限集。那么 $C(M)$ 不是自反的。为了说明这一点，设 $A = \{a_1, a_2, \dots\} \subset M$ 是一个可数无限子集，使得 $(a_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 是一个柯西序列，且当 $i \ne j$ 时 $a_i \ne a_j$。则 $C_A(M) := \{f \in C(M) \mid f|_A = 0\}$ 是 $C(M)$ 的一个闭线性子空间，商空间 $C(M)/C_A(M)$ 通过映射 $[f] \mapsto (f(a_i))_{i=1}^\infty$ 等距同构于实数柯西序列空间 $c$。根据“自反空间与其对偶及商空间的关系”定理，由于闭子空间 $c_0 \subset c$ 不是自反的（如 (iv) 所述），所以 $c$ 也不是自反的；进而 $C(M)/C_A(M)$ 不是自反的，因此由“自反空间与其对偶及商空间的关系”定理可知，$C(M)$ 本身不是自反的。

6. 在 (vi) 中讨论的Banach空间 $C(M)$ 的对偶空间同构于 $M$ 上带符号的博雷尔测度构成的Banach空间 $\mathcal{M}(M)$（参见“连续函数对偶是测度空间示例”）。由于 $C(M)$ 不是自反的，根据“自反空间与其对偶及商空间的关系”定理，空间 $\mathcal{M}(M)$ 也不是自反的。

注：在 6 和 7 中，我们多次引用了“自反空间与其对偶及商空间的关系”定理。这是因为该定理建立了原空间、其子空间和商空间自反性之间的逻辑联系：若一个空间自反，则其闭子空间和商空间也自反；反之，若某个商空间或子空间不自反，则原空间也不自反。在 6 中，我们通过构造一个不自反的商空间来证明 $C(M)$ 不自反；在 7 中，我们利用 $C(M)$ 的非自反性推断其对偶空间 $\mathcal{M}(M)$ 亦非自反——这直接源于该定理的第 1. 部分：“$X$ 自反当且仅当 $X^*$ 自反”。

可分Banach空间

可分的赋范向量空间是指包含一个可数稠密子集的空间。因此，Banach空间 $X$ 是可分的当且仅当存在一个序列 $e_1, e_2, e_3, \dots$ 在 $X$ 中，使得所有 $e_i$ 的（有限）线性组合所构成的线性子空间在 $X$ 中是稠密的。如果这样的序列存在，则所需的可数稠密子集可以构造为所有 $e_i$ 的有理线性组合的集合。

定理（可分空间与其对偶空间的关系）

设 $X$ 是一个赋范向量空间。以下结论成立：

1. 如果 $X^*$ 是可分的，则 $X$ 是可分的。

2. 如果 $X$ 是自反的且可分的，则 $X^*$ 是可分的。

证明

我们先证明第 1. 部分。假设 $X^*$ 是可分的，并选取 $X^*$ 中的一个稠密序列 $(x_i^*)_{i \in \mathbb{N}}$。选择序列 $x_i \in X$ 使得
$$ \|x_i\| = 1, \quad \langle x_i^*, x_i \rangle \ge \frac{1}{2} \|x_i^*\| \quad \text{对所有 } i \in \mathbb{N}. $$
令 $Y \subset X$ 是所有 $x_i$ 的有限线性组合构成的线性子空间。我们证明 $Y$ 在 $X$ 中是稠密的。为此，任取元素 $x^* \in Y^\perp$。则存在序列 $i_k \in \mathbb{N}$ 使得 $\lim_{k \to \infty} \|x^* - x_{i_k}^*\| = 0$。这意味着
$$ \begin{aligned} \|x_{i_k}^*\| &\le 2 |\langle x_{i_k}^*, x_{i_k} \rangle| = 2 |\langle x_{i_k}^* - x^*, x_{i_k} \rangle| \\ &\le 2 \|x_{i_k}^* - x^*\| \|x_{i_k}\| = 2 \|x_{i_k}^* - x^*\|. \end{aligned} $$
右边的最后一项当 $k$ 趋于无穷时趋于零，因此 $x^* = \lim_{k \to \infty} x_{i_k}^* = 0$。这表明 $Y^\perp = \{0\}$。因此 $Y$ 在 $X$ 中是稠密的，这就证明了第 1. 部分。如果 $X$ 是自反的且可分的，则 $X^{**}$ 是可分的，因此由第 1. 部分可知 $X^*$ 是可分的。

例

1. 有限维Banach空间是可分的。

2. 对于 $1 \le p < \infty$，空间 $\ell^p$ 是可分的，而 $(\ell^1)^* \cong \ell^\infty$ 不是可分的。所有收敛到零的序列构成的子空间 $c_0 \subset \ell^\infty$ 是可分的。

3. 设 $M$ 是一个第二可数的局部紧豪斯多夫空间，记 $\mathcal{B} \subset 2^M$ 为其Borel $\sigma$-代数，并设 $\mu : \mathcal{B} \to [0,\infty]$ 为一个局部有限的Borel测度。那么对于 $1 \le p < \infty$，空间 $L^p(\mu)$ 是可分的

4. 设 $(M,d)$ 是一个紧致度量空间。则具有上确界范数的连续函数空间 $C(M)$ 是可分的。其对偶空间 $\mathcal{M}(M)$（即符号Borel测度空间）通常不是可分的。

James空间

1950 年，James发现了一个非自反Banach空间 $J$ 的显著例子，该空间与其二重对偶空间 $J^{**}$ 等距同构。在这个例子中，典范等距嵌入
$$ \iota: J \to J^{**} $$
是一个余维数为一的闭子空间。

回忆 $c_0 \subset \ell^\infty$ 是装备了上确界范数的所有收敛到零的实数序列 $(x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 构成的Banach空间：
$$ \|x\|_\infty := \sup_{i \in \mathbb{N}} |x_i| \quad \text{对 } x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in c_0. $$
$c_0$ 的对偶空间与装备了范数
$$ \|x\|_1 := \sum_{i=1}^\infty |x_i| \quad \text{对 } x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^1 $$
的绝对可求和实数序列空间 $\ell^1$ 同构。

同样回忆，$\ell^2$ 是装备了范数
$$ \|x\|_2 := \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^2 \right)^{1/2} \quad \text{对 } x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^2 $$
的所有平方可求和实数序列构成的希尔伯特空间。

定义（James空间）

令 $\mathcal{P} \subset 2^{\mathbb{N}}$ 表示 $\mathbb{N}$ 的所有非空有限子集的集合，并将 $\mathcal{P}$ 中的元素写成 $\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_k)$ 的形式，其中 $1 \le p_1 < p_2 < \cdots < p_k$。对于每个 $\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_k) \in \mathcal{P}$ 和每个实数序列 $x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}}$，通过当 $k=1$ 时定义 $\|x\|_{\mathbf{p}} := 0$，以及当 $k \ge 2$ 时定义
$$ \|x\|_{\mathbf{p}} := \sqrt{ \frac{1}{2} \left( \sum_{j=1}^{k-1} |x_{p_j} - x_{p_{j+1}}|^2 + |x_{p_k} - x_{p_1}|^2 \right) } $$
来确定一个数 $\|x\|_{\mathbf{p}} \in [0, \infty)$。James空间是由下式定义的赋范向量空间：
$$ J := \left\{ x \in c_0 \,\middle|\, \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|x\|_{\mathbf{p}} < \infty \right\} $$
并且
$$ \|x\|_J := \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|x\|_{\mathbf{p}} $$
对 $x \in J$ 成立。

我们先探讨James空间的一些基本性质。这是接下来五个引理的内容。

引理（James空间的基本性质）

集合 $J$ 是 $c_0$ 的一个线性子空间，且 $\|\cdot\|_J$ 是 $J$ 上的一个范数。此外，
$$ \|x\|_\infty \le \|x\|_J \le \sqrt{2} \|x\|_2 \quad \text{对所有 } x \in c_0, $$
因此 $\ell^2 \subset J \subset c_0$。

证明

根据定义，对所有 $x, y \in c_0$ 和所有 $\lambda \in \mathbb{R}$，有 $\|x+y\|_J \le \|x\|_J + \|y\|_J$ 且 $\|\lambda x\|_J = |\lambda| \|x\|_J$。因此 $J$ 是 $c_0$ 的一个线性子空间。

为了证明第一个不等式，固定一个元素 $\mathbf{p} = (i,j) \in \mathcal{P}$。那么对所有 $x \in c_0$ 和所有满足 $i < j$ 的 $i, j \in \mathbb{N}$，有 $|x_i - x_j| = \|x\|_{\mathbf{p}} \le \|x\|_J$。因此对所有 $x \in c_0$ 和所有 $i \in \mathbb{N}$，有 $|x_i| = \lim_{j \to \infty} |x_i - x_j| \le \|x\|_J$。现在固定任意元素 $\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_k) \in \mathcal{P}$。那么
$$ \begin{aligned} \|x\|_{\mathbf{p}}^2 &= \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{k-1} |x_{p_j} - x_{p_{j+1}}|^2 + \frac{1}{2} |x_{p_k} - x_{p_1}|^2 \\ &\le \sum_{j=1}^{k-1} |x_{p_j}|^2 + \sum_{j=1}^{k-1} |x_{p_{j+1}}|^2 + |x_{p_k}|^2 + |x_{p_1}|^2 \\ &= 2 \sum_{j=1}^{k} |x_{p_j}|^2 \le 2 \|x\|_2^2 \end{aligned} $$
对所有 $x \in c_0$ 成立。对所有 $\mathbf{p} \in \mathcal{P}$ 取上确界得到 $\|x\|_J \le \sqrt{2} \|x\|_2$ 于是存在自然包含关系 $\ell^2 \subset J \subset c_0$。此外，对每个 $x \in J \setminus \{0\}$，有 $\|x\|_J \neq 0$，因此 $(J, \|\cdot\|_J)$ 是一个赋范向量空间。

我们证明 $J$ 是完备的。设 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 是 $J$ 中的一个柯西序列。那么 $(\|x_n\|_J)_{n \in \mathbb{N}}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个柯西序列，因此极限 $C := \lim_{n \to \infty} \|x_n\|_J$ 存在。此外，$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 是 $c_0$ 中的一个柯西序列（因此它在上确界范数下收敛到某个元素 $x \in c_0$。于是
$$ \|x\|_{\mathbf{p}} = \lim_{n \to \infty} \|x_n\|_{\mathbf{p}} \le \lim_{n \to \infty} \|x_n\|_J = C $$
对所有 $\mathbf{p} \in \mathcal{P}$ 成立。对所有 $\mathbf{p} \in \mathcal{P}$ 取上确界得到 $x \in J$。我们必须证明 $\lim_{n \to \infty} \|x_n - x\|_J = 0$。为此，固定一个数 $\varepsilon > 0$ 并选择一个整数 $n_0 \in \mathbb{N}$，使得对所有整数 $m,n \ge n_0$，有 $\|x_n - x_m\|_J < \varepsilon / 2$。那么对所有 $\mathbf{p} \in \mathcal{P}$ 和所有 $n \ge n_0$，有 $\|x_n - x\|_{\mathbf{p}} = \lim_{m \to \infty} \|x_n - x_m\|_{\mathbf{p}} \le \sup_{m \ge n_0} \|x_n - x_m\|_J \le \varepsilon / 2$。因此，对每个整数 $n \ge n_0$，有 $\|x_n - x\|_J = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|x_n - x\|_{\mathbf{p}} \le \varepsilon / 2 < \varepsilon$。这表明 $\lim_{n \to \infty} \|x_n - x\|_J = 0$，从而证明了 $J$ 是完备的。

下一个目标是证明 $\ell^2$ 在 $J$ 中是稠密的。为此，引入 $J$ 上的另一个范数会很方便。对于每个实数序列 $x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 和每个 $\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_k) \in \mathcal{P}$，在 $k=1$ 时定义 $\||x\||_{\mathbf{p}} := |x_{p_1}|$，在 $k \ge 2$ 时定义
$$ \||x\||_{\mathbf{p}} := \sqrt{ \frac{1}{2} \left( |x_{p_1}|^2 + \sum_{j=1}^{k-1} |x_{p_j} - x_{p_{j+1}}|^2 + |x_{p_k}|^2 \right) }. $$
将这些数值对所有 $\mathbf{p} \in \mathcal{P}$ 取上确界，记为
$$ \||x\||_J := \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \||x\||_{\mathbf{p}}. $$
这是 $J$ 上的一个范数，它与 $\|\cdot\|_J$ 等价。需要注意的是，下面不等式中的第二个估计仅对 $x \in c_0$ 成立，而并非对所有 $x \in \ell^\infty$ 成立。

引理（James空间中另一个等价范数）

每个 $x \in c_0$ 都满足以下不等式：
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \|x\|_J \le \||x\||_J \le \|x\|_J. $$
此外，函数 $J \to [0, \infty) : x \mapsto \||x\||_J$ 是一个范数。

证明

令 $x \in c_0$ 且 $\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_k) \in \mathcal{P}$。那么
$$ \begin{aligned} \|x\|_{\mathbf{p}}^2 &= \frac{1}{2} \left( \sum_{j=1}^{k} |x_{p_j} - x_{p_{j+1}}|^2 + |x_{p_k} - x_{p_1}|^2 \right) \\ &\le \sum_{j=1}^{k} |x_{p_j} - x_{p_{j+1}}|^2 + |x_{p_k}|^2 + |x_{p_1}|^2 \\ &= 2 \||x\||_{\mathbf{p}}^2 \le 2 \|x\|_2^2. \end{aligned} $$
对所有 $\mathbf{p} \in \mathcal{P}$ 取上确界得到不等式 $\|x\|_J \le \sqrt{2} \||x\||_J$。

现在，对每个整数 $n > p_k$，定义 $\mathbf{q}_n := (p_1, \dots, p_k, n)$。那么
$$ \begin{aligned} \||x\||_{\mathbf{p}}^2 &= \frac{1}{2} \left( \sum_{j=1}^{k} |x_{p_j} - x_{p_{j+1}}|^2 + |x_{p_k}|^2 + |x_{p_1}|^2 \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \sum_{j=1}^{k} |x_{p_j} - x_{p_{j+1}}|^2 + |x_{p_k} - x_n|^2 + |x_n - x_{p_1}|^2 \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \|x\|_{\mathbf{q}_n}^2 \le \|x\|_J^2. \end{aligned} $$
对所有 $\mathbf{p} \in \mathcal{P}$ 取上确界得到不等式 $\||x\||_J \le \|x\|_J$。

引理（$\ell^2$ 在 James 空间中稠密）

子空间 $\ell^2$ 在 $J$ 中是稠密的。

证明

固定一个非零元素 $x \in J$ 和一个实数 $\varepsilon > 0$，并选取一个常数 $0 < \delta < \||x\||_J$，使得
$$ 2\delta \||x\||_J < \varepsilon^2. $$
我们断言：存在自然数 $n$ 和元组 $\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_k) \in \mathcal{P}$，满足
$$ \sup_{i \ge n} |x_i| < \delta, \quad \||x\||_{\mathbf{p}} > \||x\||_J - \delta, \quad p_k = n. $$
具体地，先选择 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $\sup_{i \ge n} |x_i| < \delta$，并选择 $\mathbf{p}_0 = (p_1, \dots, p_{k-1}) \in \mathcal{P}$ 使得 $\||x\||_{\mathbf{p}_0} > \||x\||_J - \delta$。接着选择 $p_k > p_{k-1}$ 足够大，使得 $p_k \ge n$，且元组 $\mathbf{p} := (p_1, \dots, p_k)$ 满足
$$ \||x\||_{\mathbf{p}} = \sqrt{ \||x\||_{\mathbf{p}_0}^2 - \frac{1}{2}|x_{p_{k-1}}|^2 + \frac{1}{2}|x_{p_{k-1}} - x_{p_k}|^2 + \frac{1}{2}|x_{p_k}|^2 } > \||x\||_J - \delta. $$
如有必要，可进一步增大 $n$ 以确保 $p_k = n$。

定义 $\xi := (x_1, \dots, x_n, 0, \dots)$。我们来证明
$$ \||x - \xi\||_J < \varepsilon. $$
为此，令 $\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_\ell) \in \mathcal{P}$。若 $q_\ell \le n$，则 $\|x - \xi\|_{\mathbf{q}} = 0$。因此假设 $q_\ell > n$，令 $j \in \{1, \dots, \ell\}$ 为满足 $q_j > n$ 的最小下标，并定义 $\mathbf{q}' := (q_j, q_{j+1}, \dots, q_\ell) \in \mathcal{P}$。那么
$$ \|x - \xi\|_{\mathbf{q}} = \|x\|_{\mathbf{q}'}. $$
现在考虑元组 $\mathbf{p}' := (p_1, \dots, p_k, q_j, q_{j+1}, \dots, q_\ell) \in \mathcal{P}$。由前述条件，它满足不等式
$$ \begin{aligned} \||x\||_J^2 &\ge \||x\||_{\mathbf{p}'}^2 \\ &= \||x\||_{\mathbf{p}}^2 + \||x\||_{\mathbf{q}'}^2 + \frac{1}{2}|x_{p_k} - x_{q_j}|^2 - \frac{1}{2}|x_{p_k}|^2 - \frac{1}{2}|x_{q_j}|^2 \\ &> (\||x\||_J - \delta)^2 - \delta^2 + \||x\||_{\mathbf{q}'}^2 \\ &= \||x\||_J^2 - 2\delta \||x\||_J + \||x\||_{\mathbf{q}'}^2. \end{aligned} $$
这蕴含 $\||x\||_{\mathbf{q}'}^2 < 2\delta \||x\||_J$，从而
$$ \|x - \xi\|_{\mathbf{q}} = \||x\||_{\mathbf{q}'} < \sqrt{2\delta \||x\||_J} < \varepsilon, $$
其中最后一步使用了前面关于 $\delta$ 和 $\varepsilon$ 的选取以及上述等式。对所有 $\mathbf{q} \in \mathcal{P}$ 取上确界，即得不等式 $\||x - \xi\||_J < \varepsilon$。由此可知，所有有限支撑序列构成的集合 $c_{00}$ 在 $J$ 中是稠密的，而 $\ell^2$ 作为包含 $c_{00}$ 的闭子空间，自然也是稠密的。这就完成了引理的证明。

以下引理表明，标准基向量 $e_i := (\delta_{ij})_{j \in \mathbb{N}}$ 构成 $J$ 的一个 Schauder 基。

引理（James空间的Schauder基）

对每个 $ n \in \mathbb{N} $，定义投影算子 $ \Pi_n : J \to J $ 为
$$ \Pi_n(x) := \sum_{i=1}^n x_i e_i, \quad \text{其中 } x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in J. \tag{*} $$
那么，
$$ \|\Pi_n(x)\|_J \le \|x\|_J, \quad \|x - \Pi_n(x)\|_J \le \|x\|_J \tag{†} $$
对所有 $ n \in \mathbb{N} $ 和所有 $ x \in J $ 成立，并且
$$ \lim_{n \to \infty} \|x - \Pi_n(x)\|_J = 0 \tag{‡} $$
对所有 $ x \in J $ 成立。

证明

我们先证明不等式 (†)。固定一个元素 $ x \in J $、一个正整数 $ n $，以及一个元组 $ \mathbf{p} = (p_1, \dots, p_k) \in \mathcal{P} $。若 $ p_k \le n $，则 $ \|\Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}} = \|x\|_{\mathbf{p}} $；若 $ p_1 > n $，则 $ \|\Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}} = 0 $。因此，我们可假设
$$ p_1 \le n < p_k. $$
令 $ \ell \in \{1, \dots, k-1\} $ 为满足 $ p_\ell \le n $ 的最大下标，并定义 $ \mathbf{q} := (p_1, \dots, p_\ell) $。于是有
$$ \begin{aligned} \|\Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}}^2 &= \|x\|_{\mathbf{q}}^2 - \frac{1}{2}|x_{p_\ell} - x_{p_1}|^2 + \frac{1}{2}|x_{p_\ell}|^2 + \frac{1}{2}|x_{p_1}|^2 \\ &= \||x\||_{\mathbf{q}}^2 \\ &\le \||x\||_J^2, \end{aligned} $$
其中最后一步由前文引理（关于范数的单调性）保证。因此，对任意 $ \mathbf{p} \in \mathcal{P} $，都有 $ \|\Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}} \le \|x\|_J $，从而第一个不等式成立。

接下来证明第二个不等式。注意到当 $ p_1 > n $ 时，$ \|x - \Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}} = \|x\|_{\mathbf{p}} $；当 $ p_k \le n $ 时，$ \|x - \Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}} = 0 $。因此，我们假设 $ p_1 \le n < p_k $，并令 $ \ell \in \{2, \dots, k\} $ 为满足 $ p_\ell > n $ 的最小下标，再定义 $ \mathbf{q} := (p_\ell, \dots, p_k) $。于是
$$ \begin{aligned} \|x - \Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}}^2 &= \|x\|_{\mathbf{q}}^2 - \frac{1}{2}|x_{p_\ell} - x_{p_k}|^2 + \frac{1}{2}|x_{p_\ell}|^2 + \frac{1}{2}|x_{p_k}|^2 \\ &= \||x\||_{\mathbf{q}}^2 \\ &\le \||x\||_J^2, \end{aligned} $$
同样由前述引理保证。因此，对任意 $ \mathbf{p} \in \mathcal{P} $，都有 $ \|x - \Pi_n(x)\|_{\mathbf{p}} \le \|x\|_J $，从而第二个不等式也成立。

现在我们证明极限关系 (‡)。当 $ x \in \ell^2 $ 时，这直接由前面引理中给出的估计 (†) 以及 $\ell^2$ 在 $J$ 中稠密的事实推出。由于 $ \ell^2 $ 在 $ J $ 中是稠密的（如前一引理所证），并且投影算子族 $ \{\Pi_n\} $ 在 $ J $ 上一致有界（由 (†) 知其算子范数不超过 1），根据 Banach–Steinhaus 定理，我们可以将收敛性从稠密子空间 $ \ell^2 $ 延拓到整个空间 $ J $。即，对任意 $ x \in J $，有
$$ \lim_{n \to \infty} \|x - \Pi_n(x)\|_J = 0. $$

James空间的对偶空间

在完成上述准备后，我们便可以考察James空间$J$的对偶空间。固定一个有界线性泛函$\Lambda: J \to \mathbb{R}$。根据之前的结论，包含映射$\ell^2 \hookrightarrow J$是一个有界线性算子，并且其像在$J$中是稠密的。因此，$\Lambda$与该包含映射的复合是一个从$\ell^2$到$\mathbb{R}$的有界线性泛函$\Lambda|_{\ell^2}: \ell^2 \to \mathbb{R}$。于是，由Riesz表示定理可知，存在唯一的序列$y = (y_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^2$，使得
$$ \Lambda(x) = \sum_{i=1}^{\infty} y_i x_i = \langle y, x \rangle \quad \text{对所有 } x \in \ell^2 \subset J, $$
并且，反过来，$\Lambda$由这个序列$y \in \ell^2$唯一确定。因此，$J$的对偶空间可以被等同于所有满足以下条件的$y \in \ell^2$构成的空间：
$$ \|y\|_{J^*} := \sup_{0 \neq x \in \ell^2} \frac{|\langle y, x \rangle|}{\|x\|_J} < \infty. $$
根据之前的结论，每个$y \in J^*$都满足不等式
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \|y\|_2 \le \|y\|_{J^*} \le \|y\|_1. $$
因此，存在典范包含关系
$$ \ell^1 \subset J^* \subset \ell^2 \subset J \subset c_0. $$

此时，引入两个将在后续章节中介绍的概念会很方便。它们分别是：有界线性算子$A: X \to Y$的对偶算子$A^*: Y^* \to X^*$，以及Banach空间对偶空间上的弱拓扑。一个有用的性质是，对偶算子的算子范数与原算子的算子范数相同。在我们将$J^*$等同于$\ell^2$的一个子空间的情况下，投影算子$\Pi_n: J \to J$的对偶算子是算子
$$ \Pi_n: J^* \to J^*, \quad \Pi_n(y) := \sum_{i=1}^{n} y_i e_i \quad \text{对于 } y = (y_i)_{i \in \mathbb{N}} \in J^*. $$
因此，根据之前的估计可知，
$$ \|\Pi_n(y)\|_{J^*} \le \|y\|_{J^*}, \quad \|y - \Pi_n(y)\|_{J^*} \le \|y\|_{J^*} $$
对所有$y \in J^*$和所有$n \in \mathbb{N}$成立。此外，$c_0$的对偶空间可以被等同于$\ell^1$，而包含映射$J \hookrightarrow c_0$的对偶算子就是包含映射$\ell^1 \hookrightarrow J^*$。因此，根据一般性考虑可知，$\ell^1$在$J^*$中关于弱拓扑是稠密的。下面的引理表明，$\ell^1$在$J^*$中关于范数拓扑也是稠密的。

引理（James空间对偶空间中Schauder基的收敛性）

每个$y \in J^*$都满足
$$ \lim_{n \to \infty} \|y - \Pi_n(y)\|_{J^*} = 0. $$

证明

固定一个元素$y \in J^*$。我们证明
$$ \varepsilon_n := \|y - \Pi_n(y)\|_{J^*} = \sup_{\substack{0 \neq x \in J \\ \Pi_n(x) = 0}} \frac{|\langle y, x \rangle|}{\|x\|_J} \ge \varepsilon_{n+1} $$
对所有$n \in \mathbb{N}$成立。为此，固定一个整数$n \in \mathbb{N}$，并回忆之前引理中的结论：对所有$x \in J$，有$\|x - \Pi_n(x)\|_J \le \|x\|_J$。于是
$$ \begin{aligned} \|y - \Pi_n(y)\|_{J^*} &= \sup_{0 \neq x \in J} \frac{|\langle y - \Pi_n(y), x \rangle|}{\|x\|_J} \\ &\le \sup_{\substack{x \in J \\ \Pi_n(x) \neq x}} \frac{|\langle y, x - \Pi_n(x) \rangle|}{\|x - \Pi_n(x)\|_J} \\ &= \sup_{\substack{0 \neq x \in J \\ \Pi_n(x) = 0}} \frac{|\langle y, x \rangle|}{\|x\|_J} \\ &\le \sup_{0 \neq x \in J} \frac{|\langle y - \Pi_n(y), x \rangle|}{\|x\|_J} \\ &= \|y - \Pi_n(y)\|_{J^*}. \end{aligned} $$
这证明了第二个等式。该等式也表明序列$(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$是非增的。

现在，假设（反证法）$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} \varepsilon_n > 0$。选择一个常数$0 < \varepsilon < \inf_{n \in \mathbb{N}} \varepsilon_n$。那么，根据(*)和可数选择公理，存在一个序列$x_n = (x_{n,i})_{i \in \mathbb{N}} \in J$，使得
$$ \Pi_n(x_n) = 0, \quad \|x_n\|_J = 1, \quad \langle y, x_n \rangle > \varepsilon $$
对所有$n \in \mathbb{N}$成立。由于$c_{00}$在$J$中是稠密的，该序列可以选择为对所有$n \in \mathbb{N}$，都有$x_n \in c_{00}$。根据之前的引理，每个元素$x_n$满足$\|x_n\|_\infty \le \|x_n\|_J = 1$。定义映射$\kappa: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$为
$$ \kappa(n) := \max\{i \in \mathbb{N} \mid x_{n,i} \neq 0\} \quad \text{对于 } n \in \mathbb{N}. $$
那么对所有$n \in \mathbb{N}$，都有$\kappa(n) > n$。接下来，通过递归定义序列$n_j \in \mathbb{N}$：令$n_1 := 1$，并对$j \in \mathbb{N}$，令$n_{j+1} := \kappa(n_j) > n_j$。再定义序列$\xi = (\xi_i)_{i \in \mathbb{N}} \in c_0$，其中$\xi_1 := 0$，且
$$ \xi_i := \frac{x_{n_j, i}}{j} \quad \text{对于 } j \in \mathbb{N} \text{ 且 } n_j + 1 \le i \le n_{j+1} = \kappa(n_j). $$

该序列收敛于零，因为对所有$i$和$j$，都有$|x_{n_j, i}| \le 1$。此外
$$ \langle y, \Pi_{n_k}(\xi) \rangle = \sum_{i=1}^{n_k} y_i \xi_i = \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle y, x_{n_j} \rangle}{j} \ge \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\varepsilon}{j} \quad \text{对所有 } k \in \mathbb{N} \text{ 成立}. $$

现在令$\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_\ell) \in \mathcal{P}$。如果$p_1 = 1$，则当$\ell \ge 2$时，$\||\xi\||_{\mathbf{p}} = \||\xi\||_{(p_2,\dots,p_\ell)}$；当$\ell = 1$时，$\||\xi\||_{\mathbf{p}} = 0$。因此，假设$p_1 \ge 2$，并定义
$$ \mathcal{J} := \{j \in \mathbb{N} \mid \text{存在 } i \in \{1, \dots, \ell\} \text{ 使得 } n_j < p_i \le n_{j+1}\}. $$
那么$\mathcal{J} \neq \emptyset$。令$m := \max \mathcal{J}$，并对每个$j \in \mathcal{J}$，定义
$$ \begin{aligned} k_j &:= \min\{i \in \{1, \dots, \ell\} \mid n_j < p_i \le n_{j+1}\}, \\ \ell_j &:= \max\{i \in \{1, \dots, \ell\} \mid n_j < p_i \le n_{j+1}\}, \\ \mathbf{p}_j &:= (p_{k_j}, \dots, p_{\ell_j}). \end{aligned} $$
那么$\{1, \dots, \ell\} = \bigcup_{j \in \mathcal{J}} \{k_j, \dots, \ell_j\}$，因为$p_1 \ge 2$，并且对所有$j \in \mathcal{J}$，有
$$ \||\xi\||_{\mathbf{p}_j} = j^{-1} \||x_{n_j}\||_{\mathbf{p}_j} \le j^{-1} \||x_{n_j}\||_J \le j^{-1} \|x_{n_j}\|_J = j^{-1}, $$
因此，
$$ \begin{aligned} 2\||\xi\||_{\mathbf{p}}^2 &= |\xi_{p_1}|^2 + \sum_{m \neq j \in \mathcal{J}} \sum_{i=k_j}^{\ell_j} |\xi_{p_i} - \xi_{p_{i+1}}|^2 + \sum_{i=k_m}^{\ell_m-1} |\xi_{p_i} - \xi_{p_{i+1}}|^2 + |\xi_{p_\ell}|^2 \\ &\le 2 \sum_{j \in \mathcal{J}} \left( |\xi_{p_{k_j}}|^2 + \sum_{i=k_j}^{\ell_j-1} |\xi_{p_i} - \xi_{p_{i+1}}|^2 + |\xi_{p_{\ell_j}}|^2 \right) \\ &= 4 \sum_{j \in \mathcal{J}} \||\xi\||_{\mathbf{p}_j}^2 \\ &\le 4 \sum_{j \in \mathcal{J}} \frac{1}{j^2} \\ &\le \frac{2}{3} \pi^2. \end{aligned} $$
对所有$\mathbf{p} \in \mathcal{P}$取上确界，并利用之前的引理得到
$$ \|\xi\|_J \le \sqrt{2} \||\xi\||_J = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \sqrt{2} \||\xi\||_{\mathbf{p}} \le \sqrt{\frac{2}{3}} \pi < \infty, $$
所以$\xi \in J$。然后，根据之前的引理可知，
$$ \|\Pi_{n_k}(\xi)\|_J \le \|\xi\|_J \le \sqrt{\frac{2}{3}} \pi $$
对所有$k \in \mathbb{N}$成立，这与序列$\langle y, \Pi_{n_k}(\xi) \rangle$无界的事实相矛盾。

James空间的对偶性定理

我们现在可以证明本小节的主要结果。

定理 2.4.14 (James)

James空间$J$与其二次对偶空间$J^{**}$等距同构，且典范包含映射
$$ \iota: J \to J^{**} $$
在$J^{**}$中的像余维数为一。

证明

该证明分为七个步骤。

步骤 1

设$\Lambda: J^* \to \mathbb{R}$是一个有界线性泛函，并定义
$$ z_i := \Lambda(e_i) \quad \text{对于 } i \in \mathbb{N}. $$
那么$z := (z_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^\infty$，并且对所有$n \in \mathbb{N}$和所有$y \in J^*$，有
$$ \Lambda(\Pi_n(y)) = \langle y, \Pi_n(z) \rangle \tag{1} $$
以及对所有$y \in J^*$，有
$$ \Lambda(y) = \lim_{n \to \infty} \langle y, \Pi_n(z) \rangle. \tag{2} $$

对于每个$i \in \mathbb{N}$，我们有
$$ |\langle e_i, e_i \rangle| = 1 = \|e_i\|_J, $$
因此，
$$ 1 \le \|e_i\|_{J^*} = \sup_{0 \neq x \in J} \frac{|\langle x, e_i \rangle|}{\|x\|_J} = \sup_{0 \neq x \in J} \frac{|x_i|}{\|x\|_J} \le \sup_{0 \neq x \in J} \frac{\|x\|_\infty}{\|x\|_J} \le 1 $$
由前述引理可知。故
$$ \|e_i\|_{J^*} = 1 \quad \text{对于所有 } i \in \mathbb{N}. $$
这意味着
$$ |z_i| = |\Lambda(e_i)| \le \|\Lambda\| \|e_i\|_{J^*} = \|\Lambda\| $$
对所有$i \in \mathbb{N}$成立，所以$z \in \ell^\infty$。现在令$y = (y_i)_{i \in \mathbb{N}} \in J^*$。那么
$$ \Lambda(\Pi_n(y)) = \sum_{i=1}^{n} y_i \Lambda(e_i) = \sum_{i=1}^{n} y_i z_i = \langle y, \Pi_n(z) \rangle \quad \text{对于所有 } n \in \mathbb{N}, $$
这证明了公式(1)。由前述引理和公式(1)可知，
$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} |\Lambda(y) - \langle y, \Pi_n(z) \rangle| &= \lim_{n \to \infty} |\Lambda(y - \Pi_n(y))| \\ &\le \lim_{n \to \infty} \|\Lambda\| \|y - \Pi_n(y)\|_{J^*} \\ &= 0. \end{aligned} $$
这证明了公式(2)和步骤1。

步骤 2

设$\Lambda: J^* \to \mathbb{R}$和$z \in \ell^\infty$如步骤1中所定义。那么
$$ \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} \le \|\Lambda\|. \tag{3} $$

固定一个元素$\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_k) \in \mathcal{P}$，并选择一个整数$n \ge p_k$。那么
$$ \begin{aligned} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} &= \max\{\|\Pi_n(z)\|_{\mathbf{p}}, \||\Pi_n(z)\||_{\mathbf{p}}\} \\ &\le \|\Pi_n(z)\|_J \\ &= \sup_{0 \neq y \in J^*} \frac{|\langle y, \Pi_n(z) \rangle|}{\|y\|_{J^*}} \\ &= \sup_{0 \neq y \in J^*} \frac{|\Lambda(\Pi_n(y))|}{\|y\|_{J^*}} \\ &\le \sup_{0 \neq y \in J^*} \frac{\|\Lambda\| \|\Pi_n(y)\|_{J^*}}{\|y\|_{J^*}} \\ &\le \|\Lambda\|. \end{aligned} $$
此处第二步遵循自前述引理，第三步遵循自前述引理，第四步遵循自公式(1)，最后一步遵循自前述结论。这证明了公式(3)和步骤2。

步骤 3

设$z = (z_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^\infty$是一个满足
$$ \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} < \infty \tag{4} $$
的有界序列。那么$z$是一个Cauchy序列，且由下式定义的序列$x := (x_i)_{i \in \mathbb{N}}$
$$ \lambda := \lim_{j \to \infty} z_j, \quad x_i := z_i - \lambda \quad \text{对于 } i \in \mathbb{N}, \tag{5} $$
是$J$中的一个元素。

假设 $z$ 不是一个Cauchy序列。那么存在两个子序列$(z_{p_i})_{i \in \mathbb{N}}$和$(z_{q_i})_{i \in \mathbb{N}}$收敛于不同的极限。通过取更进一步的子序列，我们可以假设对所有$i \in \mathbb{N}$，有$p_i < q_i < p_{i+1}$，并且存在一个常数$\varepsilon > 0$，使得对所有$i, j \in \mathbb{N}$，都有$|z_{p_i} - z_{q_j}| > \varepsilon$。对于$n \in \mathbb{N}$，考虑元组
$$ \mathbf{p}_n := (p_1, q_1, p_2, q_2, \dots, p_n, q_n). $$
那么$\|z\|_{\mathbf{p}_n} > \sqrt{n}\varepsilon$对所有$n \in \mathbb{N}$成立，这与公式(4)矛盾。这表明$z$是一个Cauchy序列。现在，序列$x$在公式(5)中按定义收敛于零，并满足
$$ \|x\|_J = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|x\|_{\mathbf{p}} = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|z\|_{\mathbf{p}} < \infty $$
由公式(4)得出。因此$x \in J$，这证明了步骤3。

步骤 4

设$z = (z_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^\infty$是一个满足公式(4)的有界序列，并设$\lambda \in \mathbb{R}$和$x \in J$由公式(5)给出。那么极限
$$ \Lambda(y) := \lim_{n \to \infty} \langle y, \Pi_n(z) \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle y, \Pi_n(x) \rangle + \lambda \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} y_i \tag{6} $$
对每个$y \in J^*$都存在，并定义了一个线性泛函$\Lambda: J^* \to \mathbb{R}$。

序列$(\sum_{i=1}^{n} y_i)_{n \in \mathbb{N}}$在$y \in \ell^1$时收敛是显然的。此外，子空间$\ell^1$在$J^*$中是稠密的，由前述引理可知，并且
$$ \left| \sum_{i=1}^{n} y_i \right| = |\langle \mathbf{1}_n, y \rangle| \le \|\mathbf{1}_n\|_J \|y\|_{J^*} = \|y\|_{J^*} $$
对所有$n \in \mathbb{N}$成立。这里
$$ \mathbf{1}_n := (1, \dots, 1, 0, \dots) $$
表示前$n$个分量等于1、其余为0的序列。因此，函数序列
$$ J^* \to \mathbb{R}: y \mapsto y_1 + \cdots + y_n $$
是一致有界的，并且在稠密子空间$\ell^1 \subset J^*$上收敛。因此，由Banach-Steinhaus定理可知，序列$(\sum_{i=1}^{n} y_i)_{n \in \mathbb{N}}$对所有$y \in J^*$都收敛。因此，由步骤3和前述引理可知，公式(6)中的极限对所有$y \in J^*$都存在，这证明了步骤4。

步骤 5

设$z \in \ell^\infty$是一个满足公式(4)的序列，并设$\Lambda: J^* \to \mathbb{R}$是由步骤4中公式(6)定义的线性映射。那么$\Lambda$是$J^*$上的一个有界线性泛函，其范数为
$$ \|\Lambda\| = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\}. \tag{7} $$

我们证明
$$ \frac{|\Lambda(y)|}{\|y\|_{J^*}} \le \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} \quad \text{对于所有 } y \in J^* \setminus \{0\}. \tag{8} $$
为此，首先注意到
$$ \|x\|_J = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|x\|_{\mathbf{p}} = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|x\|_{\mathbf{p}}, \||x\||_{\mathbf{p}}\} \tag{9} $$
对所有$x \in J$成立，由前述引理可知。

接下来我们证明不等式
$$ \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|\Pi_n(z)\|_{\mathbf{p}}, \||\Pi_n(z)\||_{\mathbf{p}}\} \le \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} \tag{10} $$
对所有$n \in \mathbb{N}$成立。为此，固定两个元素
$$ \mathbf{p} = (p_1, \dots, p_k) \in \mathcal{P}, \quad n \in \mathbb{N}. $$
那么当$p_1 > n$时，$\|\Pi_n(z)\|_{\mathbf{p}} = \||\Pi_n(z)\||_{\mathbf{p}} = 0$；当$p_k \le n$时，$\||\Pi_n(z)\||_{\mathbf{p}} = \||z\||_{\mathbf{p}}$且$\|\Pi_n(z)\|_{\mathbf{p}} = \|z\|_{\mathbf{p}}$。因此，假设
$$ p_1 \le n < p_k $$
并记$\ell \in \{1, \dots, k-1\}$为满足$p_\ell \le n$的最大数。考虑元素
$$ \mathbf{q} := (p_1, \dots, p_\ell) \in \mathcal{P}. $$
它满足
$$ \begin{aligned} 2\|\Pi_n(z)\|_{\mathbf{p}}^2 &= 2\||\Pi_n(z)\||_{\mathbf{p}}^2 \\ &= |z_{p_1}|^2 + \sum_{j=1}^{\ell-1} |z_{p_j} - z_{p_{j+1}}|^2 + |z_{p_\ell}|^2 \\ &= 2\||z\||_{\mathbf{q}}^2. \end{aligned} $$
这证明了公式(10)。

现在令$x = \Pi_n(z)$。那么，由公式(9)和公式(10)，
$$ \begin{aligned} \frac{|\langle y, \Pi_n(z) \rangle|}{\|y\|_{J^*}} &\le \|\Pi_n(z)\|_J \\ &= \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|\Pi_n(z)\|_{\mathbf{p}}, \||\Pi_n(z)\||_{\mathbf{p}}\} \\ &\le \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} \end{aligned} $$
对所有$y \in J^* \setminus \{0\}$和所有$n \in \mathbb{N}$成立。取极限$n \to \infty$。那么由步骤4中公式(6)对$\Lambda$的定义可知，
$$ \begin{aligned} \frac{|\Lambda(y)|}{\|y\|_{J^*}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{|\langle y, \Pi_n(z) \rangle|}{\|y\|_{J^*}} \\ &\le \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} \end{aligned} $$
对所有$y \in J^* \setminus \{0\}$成立。这证明了公式(8)。因此，$\Lambda: J^* \to \mathbb{R}$是一个有界线性泛函。现在对所有$y \in J^* \setminus \{0\}$取上确界以得到
$$ \begin{aligned} \|\Lambda\| &= \sup_{0 \neq y \in J^*} \frac{|\Lambda(y)|}{\|y\|_{J^*}} \\ &\le \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\}. \end{aligned} $$
逆向不等式已在步骤2中建立，这证明了步骤5。

步骤 6

典范包含映射$\iota: J \to J^{**}$的像余维数为一。

由步骤1、步骤2、步骤4和步骤5可知，$J$的二次对偶空间自然同构于空间
$$ J^{**} := \left\{ z \in \ell^\infty \,\middle|\, \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} < \infty \right\}. $$
该对应关系将序列$z \in J^{**}$赋予有界线性泛函$\Lambda: J^* \to \mathbb{R}$，其由公式(6)给出。它对每个$z \in J^{**}$都是良定义的，这一点已在步骤4中证明；它是有界的，这一点已在步骤5中证明；并且每个$J^*$上的有界线性泛函都具有这种形式，这一点已在步骤1和2中证明。此外，在步骤5中也已证明，$J^{**}$与$J^*$的对偶空间的等同是一个关于$J^{**}$上范数的等距同构，该范数定义为
$$ \|z\|_{J^{**}} := \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} \quad \text{对于 } x \in J^{**}. $$
在此等同下，典范包含映射$\iota: J \to J^{**}$就是将$J$作为子集嵌入到$J^{**}$中的明显包含。根据前述引理的一般性观察（另见前述引理和公式(9)），这是一个等距嵌入。此外，常数序列$\mathbf{1} := (1, 1, 1, \dots)$是$J^{**}$中的一个单位向量，并且
$$ J^{**} = J \oplus \mathbb{R}\mathbf{1} $$
由步骤3得出。这证明了步骤6。

步骤 7

映射
$$ J \to J^{**}: x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \mapsto (x_{i+1} - x_1)_{i \in \mathbb{N}} $$
是一个等距同构。

该映射是双射的，由步骤3可知。如果$x = (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in J$和$z = (z_i)_{i \in \mathbb{N}} \in J^{**}$通过条件
$$ x_1 = -\lim_{j \to \infty} z_j, \quad x_{i+1} - x_1 = z_i \quad \text{对于 } i \in \mathbb{N}, $$
相关联，那么
$$ \|z\|_{(p_1, \dots, p_k)} = \|x\|_{(p_1+1, \dots, p_k+1)}, \quad \||z\||_{(p_1, \dots, p_k)} = \|x\|_{(1, p_1+1, \dots, p_k+1)} $$
对所有$(p_1, \dots, p_k) \in \mathcal{P}$成立，因此
$$ \|x\|_J = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|x\|_{\mathbf{p}} = \sup_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \max\{\|z\|_{\mathbf{p}}, \||z\||_{\mathbf{p}}\} = \|z\|_{J^{**}}. $$
这证明了步骤7和定理。

关于定理的备注

1. 设 $X$ 是一个实 Banach 空间。$X$ 的一个 Schauder 基 是指 $X$ 中的一个序列 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$，使得对于每个 $x \in X$，都存在唯一的序列 $(x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$，满足
   $$ \lim_{n \to \infty} \left\| x - \sum_{i=1}^{n} x_i e_i \right\| = 0. $$
   与每个 Schauder 基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 相关联的是一个唯一的有界线性泛函序列 $e_i^* \in X^*$，使得对所有 $i, j \in \mathbb{N}$，都有 $\langle e_i^*, e_j \rangle = \delta_{ij}$（参见练习题）。因此，序列 $x_i = \langle e_i^*, x \rangle$ 由上述条件所刻画。如果对所有 $i \in \mathbb{N}$，都有 $\|e_i\| = 1$，则称 Schauder 基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 是 规范化的。与每个 Schauder 基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 和每个 $n \in \mathbb{N}$ 相关联的是一个投影算子 $\Pi_n: X \to X$，其定义为
   $$ \Pi_n(x) := \sum_{i=1}^{n} \langle e_i^*, x \rangle e_i \quad \text{对于 } x \in X. $$
   算子序列 $\Pi_n \in \mathcal{L}(X)$ 是有界的（参见练习题）。如果对所有 $n \in \mathbb{N}$，都有 $\|\Pi_n\| \le 1$，则称 Schauder 基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 是 单调的。如果对每个 $x^* \in X^*$，都有 $\lim_{n \to \infty} \|\Pi_n^*(x^*) - x^*\|_{X^*} = 0$，则称其是 收缩的，此时序列 $(e_i^*)_{i \in \mathbb{N}}$ 是 $X^*$ 的一个 Schauder 基。如果对于每个满足 $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|\sum_{i=1}^{n} x_i e_i\| < \infty$ 的序列 $(x_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$，序列 $\sum_{i=1}^{n} x_i e_i$ 都在 $X$ 中收敛，则称其是 有界完备的。

2. 由前述引理可知，James 空间 $J$ 的标准基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 是一个规范化的单调 Schauder 基，并且由前述引理可知，它是收缩的。但它不是有界完备的，因为常数序列 $x_i = 1$ 满足 $\|\sum_{i=1}^{n} e_i\|_J = 1$，然而序列 $\sum_{i=1}^{n} e_i$ 在 $J$ 中不收敛。

3. 对偶空间 $J^*$ 的标准基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 同样是规范化的和单调的。可以从前述引理推断出，这个基是有界完备的。然而，它不是收缩的，因为在 $J^{**}$ 中，对偶序列的张成空间的闭包是真子空间 $J \subset J^{**}$，这是由定理得出的。

4. Robert C. James 的一个定理断言：一个具有 Schauder 基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 的 Banach 空间 $X$ 是自反的，当且仅当该基既是收缩的又是有界完备的。

5. Banach 空间 $X$ 的一个 Schauder 基 $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 被称为 无条件的，如果对于每个双射 $\sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，序列 $(e_{\sigma(i)})_{i \in \mathbb{N}}$ 仍然是 $X$ 的一个 Schauder 基。James 空间 $J$ 不承认无条件 Schauder 基。

6. Schauder 基有许多例子，例如可分 Hilbert 空间的任何标准正交基，它总是规范化的、单调的、无条件的、收缩的和有界完备的。

7. 实 Banach 空间 $X$ 上的一个 复结构 是指一个有界线性算子 $I: X \to X$，使得
   $$ I^2 = -\mathbb{I}. $$
   这样的复结构诱导了二次对偶空间 $X^{**}$ 上的一个复结构 $I^{**}: X^{**} \to X^{**}$，使得典范包含映射 $\iota: X \to X^{**}$ 满足
   $$ \iota \circ I = I^{**} \circ \iota. $$
   因此，复结构可以下降到商空间 $X^{**}/\iota(X)$ 上。在 James 空间 $X = J$ 的情况下，这个商空间具有一维实维度。因此，它不承认复结构，James 空间 $J$ 也不承认。

8. 考虑 James 空间 $J$ 与其对偶空间的乘积
   $$ X := J \times J^* $$
   并赋予范数
   $$ \|(x, y)\|_X := \sqrt{\|x\|_J^2 + \|y\|_{J^*}^2} \quad \text{对于 } (x, y) \in J \times J^*. $$
   由定理可知，空间 $X$ 与其对偶空间等距同构。然而，它不是自反的。

9. James 空间 $J$ 是一个非自反 Banach 空间的例子，但其二次对偶空间是可分的。

10. James 空间否定回答了另一个问题：一个可分 Banach 空间，如果它与其二次对偶空间等距同构，是否必须是自反的？James 空间满足这两个条件，但不是自反的。

11. James 空间 $J$ 是一个无限维 Banach 空间的例子，它不与乘积空间
    $$ X := J \times J $$
    同构。这是因为典范包含映射 $\iota: X \to X^{**}$ 的像余维数为二，这是由定理得出的。此外，$X$ 承认复结构而 $J$ 不承认。