Ch0. 泛函分析的起源

线性代数

研究有限维线性空间上的线性变换。

无限维空间怎么办？

1. 1887年，Fourier提出分解新方法求解热传导方程 → Fourier级数的收敛性。

   • Fourier级数展开公式：
     $$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \hat{f}(n) e^{inx} $$
     其中 $\hat{f}(n) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx$
   • 无穷维空间对应“角坐标系”，$e^{inx}$ 是 $L^2$ 上的正交基。

2. 从积分方程出发：Sturm-Liouville问题
   $$ -y'' + q(x)y = \lambda y \quad x \in [a, b] $$
   $$ y(a) = 0 \quad y(b) = 0 $$

   • 由ODE + 常数变易法：
     $$ y(x) = C_0 \varphi(x-a) + \frac{1}{\rho} \int_a^x q(s) \sin \rho (x-s) y(s) ds $$

3. $\Delta u + \lambda u = f$
   $$ \lambda \varphi(s) + \int_a^b k(s,t) \varphi(t) dt = f(s) $$

   • 积分方程：
     $$ (\lambda - T) \varphi = f $$
   • 形式上，泛函：
     $$ (T \varphi)(s) = \int_a^b k(s,t) \varphi(t) dt $$

4. $(\lambda - T)\varphi = f$ 有限维空间的求解

   • 由维数公式：
     $$ \dim \ker(\lambda I - T) + \dim \text{Ran}(\lambda I - T) = n $$
     $$ \Rightarrow \begin{cases} \dim \ker(\lambda I - T) \neq 0 \Rightarrow \lambda \text{是} T \text{的特征值} \Rightarrow (\lambda I - T)\varphi = 0 \text{有非零解} \\ \dim \ker(\lambda I - T) = 0 \Rightarrow \lambda \text{不是} T \text{的特征值} \Rightarrow (\lambda I - T)\varphi = f \text{有唯一解} \end{cases} $$

5. “无穷维情形”：Hilbert利用“Fourier级数展开”说明Fredholm“二择一定理”

   • 假设 $\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ 是一组规范正交基 $\Rightarrow \varphi = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n \varphi_n$
     $$ \Rightarrow \varphi \sim \{c_n\}_{n \in \mathbb{N}} = \bar{\varphi} $$
     $$ \begin{cases} k(s,t) = \sum_{m,n} b_{m,n} \varphi_m(s) \varphi_n(t) \Rightarrow k(s,t) \sim \{b_{m,n}\}_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} = \bar{k} \\ \end{cases} $$
     $$ \Rightarrow (\lambda - T)\varphi = f \Rightarrow (\lambda - \bar{k})\bar{\varphi} = \bar{f} \quad \text{即“将算子求解”} $$

6. 定义内积以及规范正交基 ⇒ 引入线性算子的“谱”的概念（延伸“特征值”概念）

   • 1906年，Riesz研究积分方程中，发现“$L^2$ 不足够，从而引入 $L^p(\mu)$ 空间
   • 1972年，Banach引入“范数”，探讨建立三大原理
   • Von Neumann 将Hilbert空间以及算子理论应用于量子力学，提出“self-adjoint”（自伴）概念，用于“可观测量”
   • 后有Grothendieck，Schwartz ⇒ 局部凸空间，泛函分析理论
   • Sobolev空间

7. 有限维与无穷维的差别

   • 收敛性
   • 谱
   • 紧性原理
   • 对偶空间