复变函数的无穷乘积与对数函数积分

一、函数项无穷乘积

1. 基本概念

• 定义：设 $\{f_n(z)\}$ 是域 $D \subset \mathbb{C}$ 上的复变函数列，称 $\prod_{n=1}^\infty f_n(z)$ 在 $D$ 上：
  • 收敛：若 $\forall z \in D$，乘积收敛于非零复数。
  • 内闭一致收敛：若在 $D$ 的任意紧子集 $K$ 上一致收敛于非零函数。

2. 关键定理

定理 2（无穷乘积与对数级数的关系）
设 $D$ 是区域，$a_n(z) \in C(D)$，则：
$$ \prod_{n=1}^{\infty} (1 + a_n(z)) \text{ 内闭一致收敛} \iff \sum_{n=1}^{\infty} \log(1 + a_n(z)) \text{ 内闭一致收敛}. $$

证明思路：

• （⇐）：设 $S_n(z) = \sum_{k=1}^n \log(1 + a_k(z))$ 内闭一致收敛于 $f(z)$。利用指数函数的连续性及一致收敛性，得 $\exp(S_n(z)) = \prod_{k=1}^n (1 + a_k(z))$ 一致收敛于 $e^{f(z)}$。
• （⇒）：设乘积内闭一致收敛于非零函数 $f(z)$。在局部邻域内选取对数分支，证明部分和 $S_n(z)$ 一致收敛于 $\log f(z)$，需处理多值性（通过 $\arg$ 的连续性保证 $h_n(z)$ 最终为常数）。

3. 典型乘积（Canonical Product）

定理 3（整函数的零点构造）
设 $\{a_n\} \subset \mathbb{C}$ 满足 $\lim_{n \to \infty} |a_n| = \infty$，存在整函数以 $\{a_n\}$ 为零点集（重数匹配），且可表示为：
$$ f(z) = z^m e^{g(z)} \prod_{a_n \neq 0} \left(1 - \frac{z}{a_n}\right) e^{P_{m_n}\left( \frac{z}{a_n} \right)}, \quad P_k(w) = \sum_{j=1}^k \frac{w^j}{j}. $$
其中 $m$ 是 $z=0$ 的重数，$m_n$ 为补偿阶数（使乘积收敛）。

证明方法：

• 对 $\log\left(1 - \frac{z}{a_n}\right)$ 在 $|z| < \frac{|a_n|}{2}$ 内泰勒展开，选取 $m_n$ 使得余项 $|r_{m_n}(z)| < \frac{1}{2^n}$。
• 由 定理 2，乘积 $\prod_{n} \left(1 - \frac{z}{a_n}\right) e^{P_{m_n}(z/a_n)}$ 内闭一致收敛（因级数 $\sum \left[ \log(1 - \frac{z}{a_n}) + P_{m_n}(z/a_n) \right]$ 一致收敛）。

典型乘积：若所有 $m_n$ 可取相同最小值 $h$，则称 $\prod_{n} \left(1 - \frac{z}{a_n}\right) e^{P_h(z/a_n)}$ 为 格 $h$ 的典型乘积。

二、$\Gamma$函数的无穷乘积定义

1. 构造过程

1. 整函数 $G(z)$：以负整数为零点：
   $$ G(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}. $$

   • 性质：$\pi z G(z)G(-z) = \sin \pi z$，且 $G(1) = e^{-\gamma}$（$\gamma$ 为欧拉常数）。
   • 函数方程：$G(z-1) = z e^{\gamma} G(z)$.

2. 修正函数 $H(z)$：
   $$ H(z) = e^{\gamma z} G(z) \implies H(z-1) = z H(z). $$

3. $\Gamma$函数的定义：
   $$ \Gamma(z) = \frac{1}{z H(z)} = \frac{1}{z} e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{\frac{z}{n}}. $$

   • 满足 $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$，且 $\Gamma(1) = 1$，$\Gamma(n+1) = n!$.

2. 关键性质

• 余元公式：
  $$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}. $$

  • 推论：$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$.

• 倍元公式（Legendre Duplication）：
  $$ \Gamma(z) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z). $$
  证明方法：

  1. 对 $\psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$ 求导，得 $\psi'(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^2}$。
  2. 计算 $\left[ \log \left( \Gamma(z) \Gamma(z+\frac{1}{2}) \right) \right]''$ 与 $\left[ \log \Gamma(2z) \right]''$ 的关系，利用二阶导数相等导出函数关系 $\Gamma(z) \Gamma(z+\frac{1}{2}) = e^{az+b} \Gamma(2z)$。
  3. 代入特殊点 $z=1/2, z=1$ 解出常数 $a, b$.

3. 与其他定义的关系

• 积分定义：对 $\operatorname{Re} z > 0$，$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt$。
  • 由函数方程 $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$ 可解析延拓至 $\mathbb{C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots\}$，与无穷乘积定义等价。