Ch5.1 自洽系统与稳定性理论
自治系统的基本概念
1. 自治系统的定义与性质
1.1 自治系统的形式化定义
定义 1.1（自治系统）
设 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个开集，$f: D \to \mathbb{R}^n$ 是一个连续函数。一个 $n$ 维一阶自治常微分方程系统定义为：
$$
\frac{dx}{dt} = f(x), \quad x \in D
$$
其中 $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^\top$ 是状态向量，$t$ 是自变量（通常表示时间），$f = (f_1, f_2, \ldots, f_n)^\top$ 是向量场。
注记 1.1
自治系统的核心特征是向量场 $f$ 不显式依赖于自变量 $t$。这意味着系统的动力学完全由状态 $x$ 决定，而不依赖于时间的具体取值。
1.2 自治系统的基本性质：时间平移不变性
定理 1.1（时间平移不变性）
设 $x(t)$ 是自治系统 $\frac{dx}{dt} = f(x)$ 的一个解，定义在区间 $I \subseteq \mathbb{R}$ 上。那么对于任意常数 $\tau \in \mathbb{R}$，函数 $x_\tau(t) = x(t - \tau)$ 也是该系统的解，定义在区间 $I + \tau = \{t + \tau : t \in I\}$ 上。
证明
令 $y(t) = x(t - \tau)$，则
$$
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} x(t - \tau) = x'(t - \tau) = f(x(t - \tau)) = f(y(t))
$$
因此 $y(t)$ 满足自治系统。证毕。
几何解释
时间平移不变性意味着自治系统的轨线（解曲线在相空间中的轨迹）不依赖于解从哪个初始时刻开始。如果 $x(t)$ 是一条轨线，那么 $x(t-\tau)$ 是同一条轨线，只是参数化不同。这一性质使得我们可以用相图来完全描述自治系统的动力学行为，因为相图展示的是轨线的集合，而不考虑时间参数化。
定义 1.2（轨线）
自治系统 $\frac{dx}{dt} = f(x)$ 的一条轨线是相空间 $D$ 中一条曲线，它是系统某个解的图像。形式化地，轨线是集合：
$$
\{x(t) \in D : t \in I\}
$$
其中 $x(t)$ 是系统的一个解，$I$ 是定义区间。
注记 1.2
由于时间平移不变性，如果 $x(t)$ 和 $y(t)$ 是系统的两个解，且存在 $\tau$ 使得 $y(t) = x(t-\tau)$，则它们对应于同一条轨线。轨线是相空间中系统解曲线去掉时间参数化后的几何对象。
例 1.1（线性自治系统）
考虑二维线性自治系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = -y \\
\dot{y} = x
\end{cases}
$$
其中 $\dot{x} = \frac{dx}{dt}$。这个系统可以显式求解，通解为：
$$
x(t) = R\cos(t - \phi), \quad y(t) = R\sin(t - \phi)
$$
其中 $R \ge 0$ 和 $\phi$ 是常数。所有轨线都是以原点为中心的同心圆（$R=0$ 时退化为原点）。时间平移 $\tau$ 对应于改变相位 $\phi$，但不改变轨线（圆）。
例 1.2（非线性自治系统：种群竞争模型）
考虑两个物种的竞争模型：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = x(1 - x - \alpha y) \\
\dot{y} = y(1 - y - \beta x)
\end{cases}
$$
其中 $x(t)$ 和 $y(t)$ 表示两个物种的种群密度，$\alpha, \beta > 0$ 是竞争系数。这是一个自治系统，因为右端不显式依赖 $t$。
例 1.3（单摆方程）
单摆的无阻尼运动方程为：
$$
\ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0
$$
其中 $\theta$ 是摆角，$g$ 是重力加速度，$L$ 是摆长。通过令 $x_1 = \theta$, $x_2 = \dot{\theta}$，可化为二维自治系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\frac{g}{L} \sin x_1
\end{cases}
$$
平衡点的稳定性理论
1. 平衡点的分类与性质
1.1 平衡点的形式化定义
定义 2.1（平衡点）
考虑自治系统 $\frac{dx}{dt} = f(x)$，其中 $f: D \to \mathbb{R}^n$ 连续。点 $x^* \in D$ 称为系统的平衡点（或静止点、不动点），如果 $f(x^*) = 0$。
注记 2.1
平衡点对应系统的稳态解：如果系统初始时刻位于平衡点 $x^*$，则它将永远停留在该点，即常值函数 $x(t) \equiv x^*$ 是系统的一个解。
定义 2.2（常值解）
若 $x^*$ 是平衡点，则函数 $x(t) \equiv x^*$ 称为系统的平衡解（或静止解）。
例 2.1（线性系统的平衡点）
考虑线性自治系统 $\dot{x} = Ax$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 常数矩阵。平衡点满足 $Ax = 0$。因此：
- 如果 $A$ 可逆，则存在唯一平衡点 $x^* = 0$。
- 如果 $A$ 不可逆，则平衡点构成一个线性子空间 $\ker A$。
例 2.2（非线性系统的平衡点）
考虑系统：
$$
\dot{x} = x(1 - x)
$$
平衡点满足 $x(1-x) = 0$，所以 $x^* = 0$ 和 $x^* = 1$ 是两个平衡点。
例 2.3（二维系统的平衡点）
考虑系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = x - y^2 \\
\dot{y} = x^2 - y
\end{cases}
$$
平衡点满足方程组：
$$
\begin{cases}
x - y^2 = 0 \\
x^2 - y = 0
\end{cases}
$$
代入 $x = y^2$ 得 $y^4 - y = 0$，即 $y(y^3 - 1) = 0$。解得 $y=0$ 或 $y=1$，对应平衡点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
1.3 平衡点的几何解释
平衡点是向量场 $f$ 的零点。在相空间中，平衡点处向量场的箭头长度为零（没有方向）。从几何上看，平衡点是轨线的特殊点：既是轨线，又是其他轨线的可能极限点。
2. 稳定性理论
2.1 Lyapunov稳定性的严格定义
定义 2.3（Lyapunov稳定性）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。称 $x^*$ 是 Lyapunov 稳定的，如果对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对于任何满足 $\|x(0) - x^*\| < \delta$ 的解 $x(t)$，都有 $\|x(t) - x^*\| < \varepsilon$ 对所有 $t \ge 0$ 成立。
直观解释
平衡点 $x^*$ 是 Lyapunov 稳定的，意味着从足够接近 $x^*$ 的初始条件出发的解，将始终保持接近 $x^*$。换句话说，小的初始扰动不会导致解远离平衡点。
定义 2.4（渐近稳定性）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。称 $x^*$ 是渐近稳定的，如果：
- $x^*$ 是 Lyapunov 稳定的；
- 存在 $\delta_0 > 0$，使得对于任何满足 $\|x(0) - x^*\| < \delta_0$ 的解 $x(t)$，都有 $\lim_{t \to \infty} x(t) = x^*$。
直观解释
渐近稳定不仅要求解保持接近平衡点，还要求解最终趋向于平衡点。这样的平衡点称为吸引子。
定义 2.5（指数稳定性）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。称 $x^*$ 是指数稳定的，如果存在常数 $\alpha > 0$，$M > 0$ 和 $\delta > 0$，使得对于任何满足 $\|x(0) - x^*\| < \delta$ 的解 $x(t)$，都有
$$
\|x(t) - x^*\| \le M e^{-\alpha t} \|x(0) - x^*\|, \quad \forall t \ge 0.
$$
注记 2.2
指数稳定性是比渐近稳定性更强的概念，它要求收敛速度至少是指数级的。
定义 2.6（不稳定性）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。称 $x^*$ 是不稳定的，如果它不是 Lyapunov 稳定的。即存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对于任意 $\delta > 0$，都存在满足 $\|x(0) - x^*\| < \delta$ 的解 $x(t)$ 和某个时刻 $t_1 > 0$，使得 $\|x(t_1) - x^*\| \ge \varepsilon_0$。
直观解释
不稳定平衡点意味着无论初始条件多么接近平衡点，总有一些解会远离它。
2.2 源和汇的几何概念
定义 2.7（源和汇）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。
- 如果 $x^*$ 是不稳定的，并且存在其邻域 $U$，使得从 $U \setminus \{x^*\}$ 出发的所有解都远离 $x^*$，则称 $x^*$ 为源。
- 如果 $x^*$ 是渐近稳定的，则称 $x^*$ 为汇。
例 2.4（稳定性的直观例子）
考虑单摆方程（无阻尼）：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\frac{g}{L} \sin x_1
\end{cases}
$$
平衡点满足 $x_2=0$，$\sin x_1=0$，即 $x_1 = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。
- 当 $k$ 为偶数时，平衡点对应于单摆的最低点。这些点是 Lyapunov 稳定但不是渐近稳定的（因为无阻尼，单摆会周期性摆动而不停止）。
- 当 $k$ 为奇数时，平衡点对应于单摆的最高点。这些点是不稳定的（稍微偏离最高点，单摆就会远离）。
例 2.5（渐近稳定的例子）
考虑带阻尼的单摆方程：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\frac{g}{L} \sin x_1 - \beta x_2
\end{cases}
$$
其中 $\beta > 0$ 是阻尼系数。平衡点 $(0,0)$（最低点）现在是渐近稳定的：从附近出发的单摆最终会停在最低点。
3. 线性化方法
3.1 线性近似的基本思想
对于非线性系统 $\dot{x} = f(x)$，在平衡点 $x^*$ 附近，我们可以用线性系统来近似原系统，从而分析平衡点的局部稳定性。
设 $x^*$ 是平衡点，即 $f(x^*) = 0$。令 $y = x - x^*$ 表示偏离平衡点的扰动。则
$$
\dot{y} = \dot{x} = f(x^* + y)
$$
在 $y=0$ 处进行 Taylor 展开：
$$
f(x^* + y) = f(x^*) + Df(x^*)y + R(y) = Df(x^*)y + R(y)
$$
其中 $Df(x^*)$ 是 $f$ 在 $x^*$ 处的 Jacobian 矩阵，$R(y)$ 是余项，满足 $\|R(y)\|/\|y\| \to 0$ 当 $\|y\| \to 0$。
定义 2.8（线性化系统）
非线性系统 $\dot{x} = f(x)$ 在平衡点 $x^*$ 处的线性化系统定义为：
$$
\dot{y} = Ay, \quad \text{其中 } A = Df(x^*) = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x^*)\right)_{n \times n}
$$
例 2.6（计算线性化系统）
考虑系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = x - y^2 \\
\dot{y} = x^2 - y
\end{cases}
$$
在平衡点 $(0,0)$ 处。计算 Jacobian 矩阵：
$$
Df(x,y) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x}(x-y^2) & \frac{\partial}{\partial y}(x-y^2) \\
\frac{\partial}{\partial x}(x^2-y) & \frac{\partial}{\partial y}(x^2-y)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & -2y \\
2x & -1
\end{pmatrix}
$$
在 $(0,0)$ 处：
$$
A = Df(0,0) = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
$$
所以线性化系统为：
$$
\begin{cases}
\dot{y}_1 = y_1 \\
\dot{y}_2 = -y_2
\end{cases}
$$
3.2 线性系统的稳定性判据
定理 2.1（线性系统的稳定性）
考虑线性系统 $\dot{x} = Ax$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 常数矩阵。
- 如果 $A$ 的所有特征值都具有负实部，则零平衡点是渐近稳定的（实际上是指数稳定的）。
- 如果 $A$ 至少有一个特征值具有正实部，则零平衡点是不稳定的。
- 如果 $A$ 的所有特征值都具有非正实部，且具有零实部的特征值都是单根（对应的 Jordan 块为 1 阶），则零平衡点是 Lyapunov 稳定的但不是渐近稳定的。
- 如果 $A$ 有具有零实部的特征值，且对应的 Jordan 块阶数大于 1，则零平衡点是不稳定的。
证明思路
线性系统的解可以显式表示为 $x(t) = e^{At}x(0)$。稳定性取决于矩阵指数 $e^{At}$ 的行为，这由 $A$ 的特征值决定。
例 2.7（线性系统的稳定性判断）
- $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$，特征值为 $-1, -2$，都具负实部，所以原点渐近稳定。
- $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，特征值为 $1, -1$，有一个正实部特征值，所以原点不稳定。
- $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，特征值为 $0$（二重），但 Jordan 块为 2 阶，所以原点不稳定。
- $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$，特征值为 $\pm i$，实部为零且都是单根，所以原点 Lyapunov 稳定但不是渐近稳定。
3.3 线性化定理（Lyapunov间接法）
定理 2.2（线性化定理）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点，$A = Df(x^*)$ 是 $f$ 在 $x^*$ 处的 Jacobian 矩阵。
- 如果 $A$ 的所有特征值都具有负实部，则 $x^*$ 是渐近稳定的。
- 如果 $A$ 至少有一个特征值具有正实部，则 $x^*$ 是不稳定的。
注记 2.3
这个定理也称为 Lyapunov 间接法，因为它通过线性系统的稳定性来判断非线性系统平衡点的局部稳定性。
证明思路（第一部分）
当 $A$ 的所有特征值都具有负实部时，可以构造一个二次型 Lyapunov 函数 $V(y) = y^\top P y$，其中 $P$ 是正定矩阵，满足 $A^\top P + PA = -I$。对于非线性系统，考虑 $V$ 沿轨线的导数：
$$
\frac{d}{dt} V(y) = (\nabla V)^\top \dot{y} = y^\top (A^\top P + PA) y + 2y^\top P R(y) \le -\|y\|^2 + 2\|P\|\|y\|\|R(y)\|
$$
由于 $\|R(y)\|/\|y\| \to 0$，在足够小的邻域内，$\frac{d}{dt} V(y)$ 负定，从而 $x^*$ 渐近稳定。
注记 2.4（临界情形）
如果 $A$ 的所有特征值都具有非正实部，且至少有一个特征值的实部为零，则线性化定理不能给出结论。这种情形称为临界情形，需要更精细的分析（如中心流形理论或构造合适的 Lyapunov 函数）。
例 2.8（应用线性化定理）
考虑系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = -x + y^2 \\
\dot{y} = x - 2y
\end{cases}
$$
平衡点 $(0,0)$。计算 Jacobian：
$$
Df(0,0) = \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
$$
特征值满足 $\det(A-\lambda I) = (\lambda+1)(\lambda+2)=0$，所以 $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2$，都具负实部。因此 $(0,0)$ 渐近稳定。
例 2.9（临界情形）
考虑系统：
$$
\dot{x} = -x^3
$$
平衡点 $x^*=0$。线性化：$f'(0)=0$，线性化系统为 $\dot{y}=0$，特征值为 $0$，属于临界情形。但原系统可以显式分析：方程可分离变量，解得 $x(t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2t+C}}$，当 $t \to \infty$ 时 $x(t) \to 0$。实际上平衡点是渐近稳定的，但线性化方法无法判断。
4. Lyapunov直接法
4.1 Lyapunov函数的定义与性质
定义 2.9（正定函数）
设 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 包含原点，函数 $V: D \to \mathbb{R}$ 称为：
- 正定的，如果 $V(0)=0$ 且 $V(x) > 0$ 对所有 $x \in D \setminus \{0\}$。
- 半正定的，如果 $V(0)=0$ 且 $V(x) \ge 0$ 对所有 $x \in D$。
- 负定的，如果 $-V$ 是正定的。
- 半负定的，如果 $-V$ 是半正定的。
定义 2.10（Lyapunov函数）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。连续可微函数 $V: U \to \mathbb{R}$ 称为该系统在平衡点 $x^*$ 的一个 Lyapunov 函数，其中 $U$ 是 $x^*$ 的某个邻域，且满足：
- $V(x^*) = 0$，且 $V(x) > 0$ 对 $x \in U \setminus \{x^*\}$（$V$ 在 $x^*$ 处正定）；
- $\dot{V}(x) \le 0$ 对 $x \in U$，其中 $\dot{V}(x) = \nabla V(x)^\top f(x)$ 是 $V$ 沿系统轨线的导数。
注记 2.5
$\dot{V}(x)$ 的计算：设 $x(t)$ 是系统的一个解，则
$$
\frac{d}{dt} V(x(t)) = \nabla V(x(t))^\top \dot{x}(t) = \nabla V(x(t))^\top f(x(t)) = \dot{V}(x(t))
$$
所以 $\dot{V}(x)$ 表示 $V$ 沿系统轨线的变化率。
4.2 Lyapunov稳定性定理
定理 2.3（Lyapunov稳定性定理）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。如果存在一个 Lyapunov 函数 $V$（满足定义 2.10），则 $x^*$ 是 Lyapunov 稳定的。
证明
设 $\varepsilon > 0$ 充分小使得闭球 $B_\varepsilon = \{x: \|x-x^*\| \le \varepsilon\} \subseteq U$。令 $m = \min_{\|x-x^*\|=\varepsilon} V(x)$，由 $V$ 的正定性知 $m > 0$。由于 $V$ 连续且 $V(x^*)=0$，存在 $\delta > 0$ 使得当 $\|x-x^*\| < \delta$ 时，$V(x) < m$。
现考虑满足 $\|x(0)-x^*\| < \delta$ 的解 $x(t)$。由于 $\dot{V}(x(t)) \le 0$，$V(x(t))$ 沿轨线不增，所以 $V(x(t)) \le V(x(0)) < m$ 对所有 $t \ge 0$ 成立。若存在 $t_1 > 0$ 使得 $\|x(t_1)-x^*\| = \varepsilon$，则 $V(x(t_1)) \ge m$，矛盾。因此 $\|x(t)-x^*\| < \varepsilon$ 对所有 $t \ge 0$ 成立，即 $x^*$ Lyapunov 稳定。
定理 2.4（渐近稳定性定理）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。如果存在一个 Lyapunov 函数 $V$，且 $\dot{V}(x)$ 在 $U \setminus \{x^*\}$ 上负定（即 $\dot{V}(x) < 0$ 对 $x \in U \setminus \{x^*\}$），则 $x^*$ 是渐近稳定的。
证明思路
在 Lyapunov 稳定的基础上，还需证明当 $t \to \infty$ 时 $x(t) \to x^*$。利用 $\dot{V}$ 负定，$V(x(t))$ 严格递减且有下界 0，故 $V(x(t)) \to c \ge 0$。若 $c > 0$，则在紧集 $\{x: c \le V(x) \le V(x(0))\}$ 上 $\dot{V}$ 有负上界，导致矛盾。因此 $c=0$，再由 $V$ 的正定性得 $x(t) \to x^*$。
定理 2.5（指数稳定性定理）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。如果存在 Lyapunov 函数 $V$ 和正常数 $c_1, c_2, c_3$，使得
$$
c_1 \|x-x^*\|^2 \le V(x) \le c_2 \|x-x^*\|^2, \quad \dot{V}(x) \le -c_3 \|x-x^*\|^2
$$
对 $x \in U$ 成立，则 $x^*$ 是指数稳定的。
4.3 构造 Lyapunov 函数的技巧
方法 1：能量函数
对于物理系统，总能量通常是 Lyapunov 函数的候选者。例如对于阻尼单摆，总能量（动能+势能）沿轨线递减（耗散）。
方法 2：二次型函数
对于线性系统或线性化系统，常取二次型 $V(x) = x^\top P x$，其中 $P$ 正定。沿线性系统 $\dot{x}=Ax$ 的导数为 $\dot{V}=x^\top(A^\top P + PA)x$。如果存在正定 $P$ 使得 $A^\top P + PA$ 负定，则原点渐近稳定。
方法 3：变量梯度法
假设 Lyapunov 函数 $V$ 的梯度具有某种形式，然后确定参数使得 $\dot{V}$ 满足要求。
例 2.10（用能量函数构造 Lyapunov 函数）
考虑带阻尼单摆：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\frac{g}{L} \sin x_1 - \beta x_2, \quad \beta > 0
\end{cases}
$$
平衡点 $(0,0)$。总能量为 $E = \frac{1}{2} x_2^2 + \frac{g}{L}(1-\cos x_1)$。计算沿轨线的导数：
$$
\dot{E} = x_2 \dot{x}_2 + \frac{g}{L} \sin x_1 \cdot \dot{x}_1 = x_2\left(-\frac{g}{L} \sin x_1 - \beta x_2\right) + \frac{g}{L} \sin x_1 \cdot x_2 = -\beta x_2^2 \le 0
$$
$E$ 在 $(0,0)$ 附近正定，且 $\dot{E} \le 0$，所以 $(0,0)$ Lyapunov 稳定。但 $\dot{E}$ 不是负定的（当 $x_2=0$ 时为零，即使 $x_1 \neq 0$）。需要进一步分析证明渐近稳定性。
例 2.11（二次型 Lyapunov 函数）
考虑系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = -x_1 + x_2 \\
\dot{x}_2 = -x_1 - x_2
\end{cases}
$$
平衡点 $(0,0)$。取 $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$，则
$$
\dot{V} = x_1 \dot{x}_1 + x_2 \dot{x}_2 = x_1(-x_1+x_2) + x_2(-x_1-x_2) = -x_1^2 - x_2^2 < 0 \quad (\text{当 } (x_1,x_2) \neq (0,0))
$$
所以原点渐近稳定。
例 2.12（构造 Lyapunov 函数）
考虑系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = -x_1^3 + x_2 \\
\dot{x}_2 = -x_1 - x_2^3
\end{cases}
$$
平衡点 $(0,0)$。尝试 $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$：
$$
\dot{V} = x_1(-x_1^3+x_2) + x_2(-x_1-x_2^3) = -x_1^4 - x_2^4 \le 0
$$
且 $\dot{V}=0$ 仅当 $x_1=x_2=0$，所以 $\dot{V}$ 负定。故原点渐近稳定。
5. 吸引域与全局稳定性
5.1 吸引域的严格定义
定义 2.11（吸引域）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个渐近稳定平衡点。$x^*$ 的吸引域（或吸引盆）定义为：
$$
\mathcal{B}(x^*) = \{x_0 \in \mathbb{R}^n : \text{从 } x_0 \text{ 出发的解 } x(t) \text{ 满足 } \lim_{t \to \infty} x(t) = x^*\}
$$
定义 2.12（全局渐近稳定性）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。称 $x^*$ 是全局渐近稳定的，如果：
- $x^*$ 是渐近稳定的；
- 吸引域 $\mathcal{B}(x^*) = \mathbb{R}^n$。
定理 2.6（全局渐近稳定性判据）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。如果存在一个连续可微函数 $V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 满足：
- $V(x)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上正定且径向无界，即 $V(x) \to \infty$ 当 $\|x\| \to \infty$；
- $\dot{V}(x)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上负定；
则 $x^*$ 是全局渐近稳定的。
注记 2.6
径向无界条件保证水平集 $\{x: V(x) \le c\}$ 是紧集，这对于证明所有解都趋向平衡点至关重要。
例 2.13（全局渐近稳定性）
考虑系统 $\dot{x} = -x^3$。取 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，则 $\dot{V} = x(-x^3) = -x^4 < 0$ 对 $x \neq 0$，且 $V(x) \to \infty$ 当 $|x| \to \infty$。因此原点是全局渐近稳定的。
6. 首次积分
定义（首次积分）
考虑自治系统 $\dot{x} = f(x)$，其中 $f: D \to \mathbb{R}^n$ 连续，$D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是开集。一个连续可微的函数 $H: D \to \mathbb{R}$ 称为该系统的一个首次积分（或运动常数），如果对于系统的任意解 $x(t)$，函数 $H(x(t))$ 是常数（即与时间 $t$ 无关）。等价地，$H$ 满足：
$$
\frac{d}{dt} H(x(t)) = 0 \quad \text{对所有解 } x(t) \text{ 成立}.
$$
利用链式法则，上式等价于：
$$
\nabla H(x) \cdot f(x) = 0 \quad \text{对所有 } x \in D.
$$
其中 $\nabla H = \left( \frac{\partial H}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial H}{\partial x_n} \right)$ 是 $H$ 的梯度。
注记
首次积分在相空间中给出一个守恒量：系统的轨线被限制在水平集 $\{ x \in D : H(x) = c \}$ 上。如果系统有多个独立的首次积分，则轨线被限制在它们的交集上，从而可能大大简化系统的分析。
例（能量守恒）
考虑无阻尼单摆方程：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\frac{g}{L} \sin x_1
\end{cases}
$$
其中 $x_1 = \theta$（角度），$x_2 = \dot{\theta}$（角速度）。系统的总能量为：
$$
E(x_1, x_2) = \frac{1}{2} x_2^2 + \frac{g}{L} (1 - \cos x_1).
$$
计算沿轨线的导数：
$$
\frac{dE}{dt} = x_2 \dot{x}_2 + \frac{g}{L} \sin x_1 \, \dot{x}_1 = x_2 \left( -\frac{g}{L} \sin x_1 \right) + \frac{g}{L} \sin x_1 \, x_2 = 0.
$$
因此，$E$ 是一个首次积分。系统的轨线位于水平集 $E(x_1, x_2) = \text{常数}$ 上，这些曲线对应于相平面中的等能量线。
例（线性谐振子）
考虑线性谐振子 $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$，化为系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = y \\
\dot{y} = -\omega^2 x
\end{cases}
$$
首次积分（能量）为：
$$
H(x, y) = \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} \omega^2 x^2.
$$
容易验证 $\nabla H \cdot (y, -\omega^2 x) = \omega^2 x \cdot y + y \cdot (-\omega^2 x) = 0$。
例（Lotka-Volterra 捕食者-被捕食者模型）
考虑简化模型：
$$
\begin{cases}
\dot{x} = x(\alpha - \beta y) \\
\dot{y} = -y(\gamma - \delta x)
\end{cases}
$$
其中 $x$ 是被捕食者数量，$y$ 是捕食者数量，$\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$。该系统有一个首次积分：
$$
H(x, y) = \delta x - \gamma \ln x + \beta y - \alpha \ln y.
$$
验证：
$$
\frac{\partial H}{\partial x} = \delta - \frac{\gamma}{x}, \quad \frac{\partial H}{\partial y} = \beta - \frac{\alpha}{y},
$$
则
$$
\nabla H \cdot (f_1, f_2) = \left( \delta - \frac{\gamma}{x} \right) x(\alpha - \beta y) + \left( \beta - \frac{\alpha}{y} \right) (-y)(\gamma - \delta x) = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) - (\beta y - \alpha)(\gamma - \delta x) = 0.
$$
因此 $H$ 是首次积分。
首次积分的性质
- 降阶作用：如果一个 $n$ 维系统有 $k$ 个独立的首次积分，则轨线被限制在 $n-k$ 维子流形上，从而降低系统的有效维数。
- 可积性：如果一个 $n$ 维系统有 $n$ 个独立的首次积分（在适当意义下），则系统被称为完全可积，可以通过求积法求解。
- 与对称性的联系（Noether 定理）：在哈密顿系统中，连续对称性对应于守恒量（首次积分）。
首次积分可以用来分析系统的轨线结构，有时有助于证明平衡点的稳定性。
定理（利用首次积分判断稳定性）
设 $x^*$ 是自治系统 $\dot{x} = f(x)$ 的一个平衡点。如果存在一个连续可微的首次积分 $H: D \to \mathbb{R}$ 使得 $x^*$ 是 $H$ 的严格局部极小值点，则 $x^*$ 是 Lyapunov 稳定的。
证明
以 $H$ 作为 Lyapunov 函数候选。由于 $H$ 是首次积分，故沿系统轨线有 $\dot{H} = \nabla H(x) \cdot f(x) = 0$。又因为 $x^*$ 是 $H$ 的严格局部极小值点，存在邻域 $U$ 使得 $H(x) > H(x^*)$ 对所有 $x \in U \setminus \{x^*\}$ 成立。因此 $H$ 在 $x^*$ 处正定，且 $\dot{H} \equiv 0$。根据 Lyapunov 稳定性定理，$x^*$ 是 Lyapunov 稳定的。
注记
该定理提供了一种利用首次积分判断稳定性的方法，特别适用于保守系统（如无阻尼力学系统）。注意，由于 $\dot{H}=0$，不能得出渐近稳定性，除非有更强的条件。
例（无阻尼单摆的稳定性）
对于无阻尼单摆，平衡点 $(0,0)$ 对应能量 $E$ 的极小值（因为 $E(0,0)=0$，且 $E(x_1,x_2) \ge 0$，等号仅当 $(x_1,x_2)=(0,0)$ 时成立）。因此 $(0,0)$ 是 Lyapunov 稳定的，这与之前的分析一致。
分岔理论
1. 分岔的基本概念
1.1 含参数自治系统的定义
定义 3.1（含参数自治系统）
设 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是开集，$J \subseteq \mathbb{R}^k$ 是参数空间的开集，$f: D \times J \to \mathbb{R}^n$ 连续。含参数自治系统定义为：
$$
\frac{dx}{dt} = f(x, \mu), \quad x \in D, \mu \in J
$$
其中 $\mu = (\mu_1, \ldots, \mu_k)$ 是参数向量。
1.2 分岔的严格定义
定义 3.2（分岔）
设 $f: D \times J \to \mathbb{R}^n$ 连续可微，考虑含参数系统 $\dot{x} = f(x, \mu)$。当参数 $\mu$ 通过 $\mu_0 \in J$ 时，如果系统的相图拓扑结构发生定性变化，则称系统在 $\mu = \mu_0$ 处发生分岔。形式化地，存在 $\mu_1, \mu_2$ 满足 $\mu_1 < \mu_0 < \mu_2$（按某种参数顺序），使得对于任意 $\mu \in (\mu_1, \mu_0)$ 和 $\mu \in (\mu_0, \mu_2)$，系统的相图不是拓扑等价的。
定义 3.3（分岔点）
参数值 $\mu_0$ 称为分岔点，如果存在 $\varepsilon > 0$，使得对于任意 $\mu \in (\mu_0 - \varepsilon, \mu_0) \cup (\mu_0, \mu_0 + \varepsilon)$，系统的相图拓扑结构不同。
定义 3.4（分岔图）
系统 $\dot{x} = f(x, \mu)$ 的分岔图是在 $(\mu, x)$ 空间（或投影到参数和某个状态变量）中，对系统定性行为的图形表示，包括平衡点、极限环等随参数变化的曲线，并标明稳定性。
2. 静态分岔（平衡点的分岔）
静态分岔是指平衡点的数量或稳定性随参数变化而发生突变的现象。
2.1 鞍结分岔（saddle-node bifurcation）
规范形
鞍结分岔的规范形为：
$$
\dot{x} = \mu - x^2
$$
其中 $x \in \mathbb{R}$，$\mu \in \mathbb{R}$。
分析
平衡点满足 $\mu - x^2 = 0$：
- 当 $\mu > 0$ 时，有两个平衡点：$x = \pm\sqrt{\mu}$。
- 当 $\mu = 0$ 时，有一个平衡点：$x = 0$。
- 当 $\mu < 0$ 时，无平衡点。
稳定性：计算 $f(x) = \mu - x^2$ 的导数 $f'(x) = -2x$。
- 在 $x = \sqrt{\mu}$（$\mu>0$）处，$f'(\sqrt{\mu}) = -2\sqrt{\mu} < 0$，稳定。
- 在 $x = -\sqrt{\mu}$（$\mu>0$）处，$f'(-\sqrt{\mu}) = 2\sqrt{\mu} > 0$，不稳定。
- 在 $\mu=0$，$x=0$ 处，$f'(0)=0$，线性化失效，但由相图知不稳定。
分岔图
在 $(\mu, x)$ 平面上，平衡点曲线为 $x = \pm\sqrt{\mu}$（$\mu \ge 0$），形成一条抛物线。稳定分支用实线，不稳定分支用虚线。在 $\mu=0$ 处，两个分支相遇后消失。
例子
考虑系统 $\dot{x} = \mu + x - e^x$。在 $x=0$ 附近展开 $e^x \approx 1 + x + x^2/2$，得 $\dot{x} \approx (\mu-1) - x^2/2$，令 $\tilde{\mu} = \mu-1$，则近似为鞍结分岔规范形。
2.2 跨临界分岔（transcritical bifurcation）
规范形
跨临界分岔的规范形为：
$$
\dot{x} = \mu x - x^2
$$
分析
平衡点满足 $x(\mu - x) = 0$，所以总是有两个平衡点：$x=0$ 和 $x=\mu$。
稳定性：$f'(x) = \mu - 2x$。
- 对于平衡点 $x=0$：$f'(0) = \mu$。当 $\mu<0$ 时稳定，$\mu>0$ 时不稳定，$\mu=0$ 时临界。
- 对于平衡点 $x=\mu$：$f'(\mu) = -\mu$。当 $\mu<0$ 时不稳定，$\mu>0$ 时稳定，$\mu=0$ 时临界。
当 $\mu$ 通过 0 时，两个平衡点交换稳定性。
分岔图
两条直线：$x=0$ 和 $x=\mu$。在 $\mu=0$ 处相交。稳定分支用实线，不稳定分支用虚线。
例子
种群竞争模型：$\dot{x} = \mu x - x^2$，其中 $x$ 是种群密度，$\mu$ 是增长率。当 $\mu$ 从负变正时，零平衡点从不稳定变为稳定，而正平衡点从稳定变为不稳定（实际上生物意义要求 $x\ge0$，所以只考虑 $x\ge0$ 部分）。
2.3 叉形分岔（pitchfork bifurcation）
叉形分岔有两种：超临界和亚临界。
超临界叉形分岔规范形
$$
\dot{x} = \mu x - x^3
$$
分析
平衡点满足 $x(\mu - x^2)=0$。
- 当 $\mu \le 0$ 时，只有一个平衡点 $x=0$。
- 当 $\mu > 0$ 时，有三个平衡点：$x=0$, $x=\pm\sqrt{\mu}$。
稳定性：$f'(x) = \mu - 3x^2$。
- 对于 $x=0$：$f'(0)=\mu$。当 $\mu<0$ 时稳定，$\mu>0$ 时不稳定，$\mu=0$ 时临界。
- 对于 $x=\pm\sqrt{\mu}$（$\mu>0$）：$f'(\pm\sqrt{\mu}) = \mu - 3\mu = -2\mu < 0$，稳定。
当 $\mu$ 从负变正时，一个稳定平衡点（$x=0$）失去稳定性，同时产生两个新的稳定平衡点（$x=\pm\sqrt{\mu}$）。
对称性
超临界叉形分岔通常发生在具有对称性的系统中。规范形 $\dot{x} = \mu x - x^3$ 关于 $x \to -x$ 对称。这种对称性导致平衡点成对出现。
亚临界叉形分岔规范形
$$
\dot{x} = \mu x + x^3
$$
分析
平衡点满足 $x(\mu + x^2)=0$。
- 当 $\mu \ge 0$ 时，只有一个平衡点 $x=0$。
- 当 $\mu < 0$ 时，有三个平衡点：$x=0$, $x=\pm\sqrt{-\mu}$。
稳定性：$f'(x) = \mu + 3x^2$。
- 对于 $x=0$：$f'(0)=\mu$。当 $\mu<0$ 时稳定，$\mu>0$ 时不稳定，$\mu=0$ 时临界。
- 对于 $x=\pm\sqrt{-\mu}$（$\mu<0$）：$f'(\pm\sqrt{-\mu}) = \mu + 3(-\mu) = -2\mu > 0$（因为 $\mu<0$），不稳定。
当 $\mu$ 从负变正时，一个稳定平衡点（$x=0$）失去稳定性，同时两个不稳定平衡点消失。亚临界分岔通常更危险，因为当参数越过临界值时，解可能迅速发散到无穷远。
例子：梁的屈曲
考虑一个弹性梁在轴向压力作用下的屈曲。设 $x$ 表示横向位移，$\mu$ 表示压力参数。当压力较小时，零位移是稳定平衡；当压力超过临界值，零位移失稳，出现两个非零的稳定平衡（向左或向右弯曲）。这对应于超临界叉形分岔。
3. 分岔分析的方法学简介
3.1 识别分岔的条件
对于一维系统 $\dot{x} = f(x, \mu)$，平衡点满足 $f(x, \mu)=0$。分岔通常发生在平衡点处同时满足：
- $f(x^*, \mu_0) = 0$（平衡条件）；
- $f_x(x^*, \mu_0) = 0$（线性化矩阵有零特征值，临界条件）；
- 某些高阶导数条件，区分不同类型分岔。
鞍结分岔条件
在 $(x^*, \mu_0)$ 处：
- $f = 0$, $f_x = 0$（临界条件）；
- $f_\mu \neq 0$, $f_{xx} \neq 0$（非退化条件）。
跨临界分岔条件
在 $(x^*, \mu_0)$ 处：
- $f = 0$, $f_x = 0$；
- $f_\mu = 0$, $f_{x\mu} \neq 0$, $f_{xx} \neq 0$。
叉形分岔条件
在 $(x^*, \mu_0)$ 处：
- $f = 0$, $f_x = 0$；
- $f_\mu = 0$, $f_{x\mu} = 0$，且某些三阶导数非零。
此外，系统通常具有对称性 $f(-x, \mu) = -f(x, \mu)$（对于平衡点 $x^*=0$）。
例 3.1（分析分岔类型）
考虑系统 $\dot{x} = \mu x - x^3 + x^5$。平衡点满足 $x(\mu - x^2 + x^4)=0$。总是有平衡点 $x=0$。当 $\mu$ 变化时，可能出现多个非零平衡点。在 $(0,0)$ 处，$f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=0$，$f_\mu(0,0)=0$，$f_{x\mu}(0,0)=1 \neq 0$，$f_{xxx}(0,0)=-6 \neq 0$。这是叉形分岔的条件，但还需考虑高阶项。
3.2 分岔的数值探索
在实际问题中，常常数值地研究分岔：
- 寻找平衡点：解方程 $f(x, \mu)=0$。
- 计算平衡点的稳定性：分析 Jacobian 矩阵的特征值。
- 追踪平衡点随参数的变化：使用延拓算法。
- 检测分岔点：当特征值穿过虚轴时，可能发生分岔。
4. 分岔的应用举例
4.1 生态学中的分岔
种群模型 自催化反应
考虑 Allee 效应模型：$\dot{x} = rx\left(1-\frac{x}{K}\right)\left(\frac{x}{A}-1\right)$，其中 $r>0$, $K>0$, $A>0$ 且 $A4.2 化学反应中的分岔
考虑自催化反应模型：$\dot{x} = \mu - x + x^2 y$, $\dot{y} = 1 - x^2 y$，其中 $x$, $y$ 是浓度，$\mu$ 是参数。在一定参数范围内，可以出现多重稳态，通过鞍结分岔产生或消失。