ODE第十三次作业
习题 1
考虑自治系统 $\dot{x} = \sin^3 x$。
-
证明对任意初值 $z \in \mathbb{R}$，初值问题
$$ \dot{x} = \sin^3 x; \quad x(0) = z $$
的极大解的定义区间均为 $\mathbb{R}$。 -
列出系统所有的极大相曲线。
解答
1
右边函数 $f(x) = \sin^3 x$ 光滑，因此初值问题局部解存在唯一。由于 $|f(x)| \le 1$，故 $|\dot{x}| \le 1$，从而对任意解 $x(t)$ 有 $|x(t) - z| \le |t|$。解在任意有限时间区间上有界，因此极大解可延拓到整个 $\mathbb{R}$。
2
平衡点：$\sin^3 x = 0$ 的解 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），每个平衡点是一条相曲线。
非平衡点：开区间 $(k\pi, (k+1)\pi)$（$k \in \mathbb{Z}$）中，$\dot{x}$ 符号不变，解单调趋向区间端点。每个开区间是一条极大相曲线。
综上，极大相曲线为：
- 平衡点：$\{x = k\pi\}$，$k \in \mathbb{Z}$；
- 开区间：$(k\pi, (k+1)\pi)$，$k \in \mathbb{Z}$。
习题 2
考虑单摆系统
$$ \begin{cases} \dot{x} &= y \\ \dot{y} &= -\sin x \end{cases} $$
-
证明对所有的初值 $z \in \mathbb{R}^2$ 相应的初值问题的极大解的定义区间均为 $\mathbb{R}$。
-
列出系统所有的极大相曲线。
解答
1
右边函数 $f(x,y) = (y, -\sin x)$ 光滑，局部解存在唯一。由于 $|\dot{y}| = |\sin x| \le 1$，故 $|y(t)| \le |y(0)| + |t|$；再由 $\dot{x} = y$ 得 $|x(t)| \le |x(0)| + \int_0^t |y(s)|\,ds$，在有限时间有界。因此极大解定义区间为 $\mathbb{R}$。
2
系统有首次积分（能量）$H(x,y) = \frac{1}{2}y^2 - \cos x$，沿解守恒。平衡点为 $(k\pi, 0)$（$k \in \mathbb{Z}$）。相曲线为 $H(x,y) = E$ 的连通分支。
- 平衡点：$(k\pi, 0)$，$k \in \mathbb{Z}$。
- $k$ 为偶数时，为中心；
- $k$ 为奇数时，为鞍点。
- 周期轨道：对应 $E \in (-1, 1)$，围绕每个中心 $(2k\pi, 0)$ 有一族闭轨，不同 $E$ 对应不同闭轨。
- 异宿轨：对应 $E = 1$，但不含平衡点。相邻鞍点 $((2k-1)\pi, 0)$ 与 $((2k+1)\pi, 0)$ 之间有两条分界线（上、下半平面各一），每条为开曲线。
- 无界轨道：对应 $E > 1$，有两条无界轨线，分别位于上半平面 ($y>0$) 和下半平面 ($y<0$)，沿 $x$ 方向单调趋于无穷。
综上，极大相曲线分类如下：
- 平衡点 $(k\pi, 0)$（$k \in \mathbb{Z}$）；
- 周期轨道：对每个 $k \in \mathbb{Z}$ 和每个 $E \in (-1,1)$，存在围绕 $(2k\pi, 0)$ 的闭轨；
- 异宿轨：对每个 $k \in \mathbb{Z}$，连接 $((2k-1)\pi, 0)$ 与 $((2k+1)\pi, 0)$ 的两条开弧线（$H=1$）；
- 无界轨道：对每个 $E > 1$，两条开轨线（$y>0$ 和 $y<0$）。
习题 3
考虑系统
$$ \begin{cases} \dot{x} &= \sin y \\ \dot{y} &= -\sin x \end{cases} $$
-
证明对所有的初值 $z \in \mathbb{R}^2$ 相应的初值问题的极大解的定义区间均为 $\mathbb{R}$。
-
列出系统所有的极大相曲线。
解答
1
右边函数 $f(x,y) = (\sin y, -\sin x)$ 光滑且有界：$|\dot{x}| \le 1,\ |\dot{y}| \le 1$，故解在有限时间有界，极大解定义区间为 $\mathbb{R}$。
2
系统为 Hamilton 系统，Hamilton 函数 $H(x,y) = -(\cos x + \cos y)$ 守恒。平衡点为 $(m\pi, n\pi)$（$m,n \in \mathbb{Z}$）。$H$ 取值范围 $[-2,2]$。
- 平衡点：$(m\pi, n\pi)$。
- 若 $m,n$ 同奇偶（$m+n$ 偶数），则 $H = \pm 2$，为中心；
- 若 $m,n$ 异奇偶（$m+n$ 奇数），则 $H = 0$，为鞍点。
- 周期轨道：对应 $H \in (-2,0) \cup (0,2)$。
- 围绕中心 $(2k\pi, 2l\pi)$（$H=-2$），$H \in (-2,0)$ 对应一族闭轨；
- 围绕中心 $((2k+1)\pi, (2l+1)\pi)$（$H=2$），$H \in (0,2)$ 对应一族闭轨。
- 异宿轨：对应 $H=0$，即 $\cos x + \cos y = 0$，解为直线 $x+y = (2k+1)\pi$ 或 $x-y = (2l+1)\pi$。每条直线上相邻鞍点间的开线段是一条异宿轨。
综上，极大相曲线分类如下：
- 平衡点 $(m\pi, n\pi)$（$m,n \in \mathbb{Z}$）；
- 周期轨道：对每个中心（$m,n$ 同奇偶）和每个 $E \in (-2,0)$（$m,n$ 偶）或 $E \in (0,2)$（$m,n$ 奇），存在一条闭轨；
- 异宿轨：位于直线 $x+y=(2k+1)\pi$ 或 $x-y=(2l+1)\pi$ 上，连接相邻鞍点的开线段。
习题 4
考虑系统
$$ \begin{cases} \dot{x} &= \sin x \\ \dot{y} &= \sin y \end{cases} $$
-
证明对所有的初值 $z \in \mathbb{R}^2$ 相应的初值问题的极大解的定义区间均为 $\mathbb{R}$。
-
列出系统所有的极大相曲线。
解答
1
右边有界：$|\dot{x}| \le 1,\ |\dot{y}| \le 1$，解在有限时间有界，极大解定义区间为 $\mathbb{R}$。
2
系统可分离，平衡点为 $(m\pi, n\pi)$（$m,n \in \mathbb{Z}$）。相曲线由一维相曲线 Cartesian 积得到。
- 平衡点：$(m\pi, n\pi)$，$m,n \in \mathbb{Z}$。
- 水平线段：$y = n\pi$ 常数，$x \in (m\pi, (m+1)\pi)$，为开线段。
- 垂直线段：$x = m\pi$ 常数，$y \in (n\pi, (n+1)\pi)$，为开线段。
- 矩形内部曲线：在开矩形 $(m\pi, (m+1)\pi) \times (n\pi, (n+1)\pi)$ 内，轨线满足 $\tan(x/2) = C \tan(y/2)$（$C \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ 常数），每条对应一条极大相曲线（从一角点渐近趋向另一角点）。
综上，极大相曲线分为四类：
- 平衡点；
- 水平开线段：$\{(x, n\pi) \mid x \in (m\pi, (m+1)\pi)\}$；
- 垂直开线段：$\{(m\pi, y) \mid y \in (n\pi, (n+1)\pi)\}$；
- 开矩形内曲线：对每个 $m,n \in \mathbb{Z}$ 和 $C \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$，曲线 $\tan(x/2) = C \tan(y/2)$ 在矩形 $(m\pi, (m+1)\pi) \times (n\pi, (n+1)\pi)$ 内的部分。