调和函数的更多性质

一、调和函数的等价刻画

定理1：连续函数 $u$ 在区域 $D$ 上调和 $\iff$ $u$ 具有平均值性质。

证明思路：

1. 必要性（$\Rightarrow$）：调和函数的经典性质（已证）。
2. 充分性（$\Leftarrow$）：
   • 对任意 $a \in D$，取 $B(a,\delta) \subset D$，定义 Poisson积分：

     $P_u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\delta^2 - |z-a|^2}{|\delta e^{i\theta} - (z-a)|^2} u(a + \delta e^{i\theta}) d\theta$

   • 由 Schwarz 定理，$P_u(z)$ 在 $B(a,\delta)$ 上调和，且在边界满足 $P_u(z) = u(z)$。
   • 考虑 $V(z) = P_u(z) - u(z)$：
     • $V(z)$ 连续且满足平均值性质（因 $P_u$ 调和，$u$ 有平均值性质）。
     • 由 最大值原理，$V(z)$ 在 $\overline{B(a,\delta)}$ 上恒为 0（否则在内部或边界矛盾）。
   • 故 $u(z) = P_u(z)$ 在 $B(a,\delta)$ 调和，由 $a$ 的任意性，$u$ 在 $D$ 调和。

关键推论：

• 具有平均值性质的连续函数自动属于 $C^\infty(D)$ 且满足 Laplace 方程（因 $P_u(z)$ 是解析函数的实部）。

二、调和函数的正则性

命题：若 $u$ 在 $D$ 上连续，二阶偏导存在且满足 $\Delta u = 0$，则 $u \in C^2(D)$。

证明方法：

• 构造辅助函数 $V(z) = u(z) - P_u(z) + \varepsilon x^2$（$\varepsilon > 0$）。
• 利用 反证法：若 $V$ 在 $B(a,\delta)$ 内某点 $z_0$ 取最大值，则 $\Delta V(z_0) \leq 0$，但直接计算得：

  $\Delta V(z_0) = \Delta u - \Delta P_u + 2\varepsilon = 2\varepsilon > 0,$

  矛盾。
• 故 $V$ 在边界取最大值，令 $\varepsilon \to 0^+$ 得 $u(z) = P_u(z)$，从而 $u$ 光滑。

三、Harnack 不等式与原理

1. Harnack 不等式（非负调和函数）：

设 $u \geq 0$ 在 $B(0,\rho)$ 调和，则对 $z \in B(0,\rho)$：

$\frac{\rho - |z|}{\rho + |z|} u(0) \leq u(z) \leq \frac{\rho + |z|}{\rho - |z|} u(0).$

证明：基于 Poisson 核的估计 $\frac{\rho - r}{\rho + r} \leq \frac{\rho^2 - r^2}{|\rho e^{i\theta} - z|^2} \leq \frac{\rho + r}{\rho - r}$（$|z|=r$)。

2. Harnack 原理：

设 $\{u_n\}$ 是 $\Omega$ 上单调递增的调和函数列（即 $u_n \leq u_{n+1}$），则：
(1) $u_n$ 在 $\Omega$ 上内闭一致收敛于调和函数 $u$，或
(2) $u_n \to +\infty$ 在 $\Omega$ 上内闭一致成立。
证明思路：

• 定义集合：

  $A = \{ z \in \Omega \mid \{u_n(z)\} \text{ 有界} \}, \quad B = \{ z \in \Omega \mid u_n(z) \to +\infty \}.$

• 证明 $A$ 和 $B$ 均为开集：
  • 对 $a \in A$，取 $B(a,2\delta) \subset \Omega$，由 Harnack 不等式：

    $|u_{m+p}(z) - u_m(z)| \leq 3(u_{m+p}(a) - u_m(a)) \quad \forall z \in \overline{B(a,\delta)}.$

    因 $\{u_n(a)\}$ 单调有界，由 Cauchy 准则知 $\{u_n\}$ 在 $\overline{B(a,\delta)}$ 一致收敛。
  • 对 $b \in B$，取 $B(b,2\delta) \subset \Omega$，由 Harnack 不等式：

    $u_n(z) \geq \frac{1}{3} (u_n(b) - u_1(b)) + u_1(z) \to +\infty \quad \text{(一致)}.$

• 由 $\Omega$ 连通，$A$ 或 $B$ 必有一个为空集，结论得证。

四、次调和函数 (Subharmonic Functions)

定义

连续函数 $v: \Omega \to \mathbb{R}$ 是次调和函数，若对任意子区域 $\Omega' \subset \Omega$ 及调和函数 $u$，$v - u$ 在 $\Omega'$ 满足 最大值原理（即内部无最大值点除非为常数）。

等价刻画：

定理：$v$ 次调和 $\iff$ $v$ 满足 次平均值性质：

$\forall B(z_0,r) \subset \Omega, \quad v(z_0) \leq \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v(z_0 + re^{i\theta}) d\theta.$

证明概要：

• $\Rightarrow$：取 $P_v$ 为 $v$ 在 $B(z_0,r)$ 的 Poisson 积分，则 $v \leq P_v$，代入 $z_0$ 即得。
• $\Leftarrow$：若 $v - u$ 在 $\Omega'$ 内取最大值，由次平均值性质可证其为常数。

基本性质：

1. 线性性：若 $v_1,v_2$ 次调和，则 $k v_1$ ($k \geq 0$) 和 $v_1 + v_2$ 次调和。
2. 最大值封闭：若 $v_1,v_2$ 次调和，则 $\max\{v_1,v_2\}$ 次调和。
3. Poisson 修正：若 $v$ 次调和，$\Delta \subset \Omega$ 为闭圆盘，则函数：

   $V(z) = \begin{cases} P_v(z) & z \in \Delta \\ v(z) & z \in \Omega \setminus \Delta \end{cases}$

   在 $\Omega$ 上次调和（其中 $P_v$ 是 $v$ 在 $\Delta$ 的 Poisson 积分）。

与 Laplace 算子的关系：

• 若 $v \in C^2(\Omega)$ 且 $\Delta v \geq 0$，则 $v$ 次调和。
• 若 $v \in C^2(\Omega)$ 次调和，则 $\Delta v \geq 0$。
  证明提示：对 (1) 考虑 $v + \varepsilon x^2$；对 (2) 用反证法结合次平均值性质。

复合性质：

若 $v$ 在 $D$ 次调和，$f: \Omega \to D$ 解析，则 $v \circ f$ 在 $\Omega$ 上次调和。