解析开拓与多值性定理

一、核心概念

1. 直接解析开拓
   设 $f_{a_k} \in H(B(a_k, r_k))$（$k=1,2$），若 $r_1 + r_2 > |a_2 - a_1|$ 且在交集 $B(a_1, r_1) \cap B(a_2, r_2)$ 上恒有 $f_{a_1} - f_{a_2} \equiv 0$，则称二者互为直接解析开拓。

2. 沿曲线的解析开拓
   设 $\gamma$ 是连接 $a, b$ 的曲线，$f_a$ 可沿 $\gamma$ 开拓到 $f_b$，若存在：

   • 点列 $a = a_1, a_2, \dots, a_n = b$ 沿 $\gamma$ 排列；
   • 圆盘序列 $B(a_k, r_k)$ 覆盖 $\gamma$ 的弧段；
   • 函数列 $f_{a_k} \in H(B(a_k, r_k))$，使得相邻函数互为直接解析开拓。

3. 多值全纯函数
   区域 $D$ 上的集值函数 $F(z)$ 是多值全纯函数，若：

   • $\forall z_0 \in D$，$F(z_0)$ 的每个值对应 $f_a$ 沿某曲线的解析开拓；
   • $f_a$ 的任意解析开拓 $f_{z_0}$ 的值属于 $F(z_0)$。
     典型例子：
   • $\sqrt{z}$（二值函数，分支互不为直接开拓但互为解析开拓）；
   • $\text{Log } z$（无穷多值函数）；
   • $f(z) = \sum_{n=1}^\infty z^n$（在 $|z|<1$ 解析，但无法超越单位圆边界开拓）。

二、关键定理：单值性定理

定理内容

设 $F(z)$ 是区域 $D$ 上的多值全纯函数，且其任意局部分支可沿 $D$ 内任意曲线解析开拓。若 $\Omega \subset D$ 是单连通域，则 $\forall a \in \Omega$ 和 $w \in F(a)$，存在 $F$ 在 $\Omega$ 上的单值解析分支 $f(z)$ 满足 $f(a) = w$。

证明思路（分两步）

1. 圆盘情形（$\Omega = B(a, \delta)$）

   • 反证法：假设 $f_a$ 在 $a$ 的 Taylor 级数收敛半径 $R < \delta$。
   • 在边界 $|z-a|=R$ 上取点 $z_0$，由条件 $f_a$ 可沿线段 $[a, z_0]$ 开拓到 $z_0$ 的邻域 $B(z_0, \delta_{z_0})$。
   • 用有限个圆盘 $B(\xi_j, \delta_{\xi_j})$ 覆盖边界 $\partial B(a, R)$，构造更大区域 $\Lambda^* = B(a, R) \cup \bigcup_j B(\xi_j, \delta_{\xi_j})$ 上的全纯函数 $\widetilde{f}_a$。
   • 矛盾：$\widetilde{f}_a$ 在 $a$ 的 Taylor 级数收敛半径 $\tilde{R} > R$，但与 $f_a$ 的展开式相同，矛盾。
     关键点：直接开拓的相容性保证了 $\widetilde{f}_a$ 在 $\Lambda^*$ 上单值全纯（利用全纯函数唯一性定理）。

2. 一般单连通域（$\Omega$ 任意）

   • 取两条连接 $a$ 到 $z$ 的曲线 $\gamma, \gamma' \subset \Omega$，构造同伦 $F(t,s): [0,1]\times[0,1] \to \Omega$ 满足：

     $F(0,s) = \gamma(s), \quad F(1,s) = \gamma'(s), \quad F(t,0) = a, \quad F(t,1) = z.$

   • 紧性论证：
     • 令 $\delta_0 = \text{dist}(F([0,1]\times[0,1]), \partial \Omega) > 0$。
     • 对每个 $t_0 \in [0,1]$，曲线 $\gamma_{t_0}(s) = F(t_0, s)$ 存在半径为 $\delta_0$ 的开拓链（由圆盘情形保证）。
     • 对充分接近的 $t$，限制函数 $f_{j,t} = f_j|_{B(a_{j,t}, \varepsilon_0 \delta_0)}$ 构成沿 $\gamma_t$ 的开拓链，且在 $z$ 取值相同。
   • 有限覆盖：将 $[0,1]$ 分割为小区间 $[t_j, t_{j+1}]$，使相邻曲线对应的 $z$ 处函数值相同，从而 $\gamma$ 与 $\gamma'$ 在 $z$ 处开拓结果一致。

三、例子

• 例3（自然边界）：
  $f(z) = \sum z^n$ 在 $|z|=1$ 上稠密集处发散，故 $\Delta$ 是自然边界，无法超越开拓。
• 例4（路径依赖性）：
  $F(z) = \frac{1}{\sqrt{z-1}}$ 在 $\mathbb{C}^*$ 上多值。沿 $e^{i\theta} (\theta \uparrow 0)$ 可开拓，但沿 $e^{-i\theta} (\theta \downarrow -2\pi)$ 不可（分支割线导致）。
• 单值性定理应用：
  $\sqrt{z(z-1)}$ 在 $\mathbb{C} \setminus \{0,1\}$ 的单连通子区域（如割去 $[0,1]$ 的平面）上有单值分支。