调和函数与解析函数的关系

1. 调和函数基本定义

• 调和函数：设 $D \subset \mathbb{C}$ 是区域，$u \in C^2(D)$ 满足 拉普拉斯方程：

  $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.$

  注：定义可弱化为存在二阶偏导数且满足方程。

2. 极坐标下的调和条件

• 命题1：设 $0 \notin D$，$u(x,y) = u(r\cos\theta, r\sin\theta)$ 在 $D$ 上调和的充要条件是：

  $r \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0. \quad (1')$

• 证明思路：
  • 利用坐标变换 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ 和链式法则计算偏导。
  • 得到：

    $r \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = (x^2 + y^2) \Delta u.$

  • 由 $\Delta u = 0$ 等价于 $(1')$ 成立。

3. 调和函数与解析函数的联系

• 解析函数的构造：若 $u$ 调和，则 $f(z) = u_x - i u_y$ 在 $D$ 上解析（其中 $u_x = \partial u / \partial x$, $u_y = \partial u / \partial y$）。
• 共轭微分：定义 $*du = -u_y dx + u_x dy$，则：

  $f(z) dz = du + i * du.$

• 全局共轭调和函数存在 $\iff$ $D$ 单连通（参见命题第11页等价条件）。

4. 调和函数的积分性质

• 定理1：对 $D$ 上任意调和函数 $u_1, u_2$ 及有界区域 $\Omega \subset D$（边界分段光滑）：

  $\int_{\partial \Omega} (u_1 * du_2 - u_2 * du_1) = 0. \quad (7)$

• 证明思路：
  1. 验证微分形式闭性：令 $\omega = u_1 * du_2 - u_2 * du_1$，需证 $d\omega = 0$。
  2. 计算外微分：

     $d\omega = du_1 \wedge *du_2 + u_1 d(*du_2) - du_2 \wedge *du_1 - u_2 d(*du_1).$

  3. 利用调和性 $\Delta u_j = 0$ 得 $d(*du_j) = \Delta u_j dx \wedge dy = 0$。
  4. 结合 $du_1 \wedge *du_2 = du_2 \wedge *du_1$（直接计算验证），得 $d\omega = 0$。
  5. 由格林公式 $\int_{\partial \Omega} \omega = \iint_\Omega d\omega = 0$。

5. 环域上的平均值定理

• 定理1：设 $u$ 在环域 $A(\rho_1, \rho_2) = \{z : \rho_1 < |z| < \rho_2\}$ 调和，则存在常数 $\alpha, \beta$ 使得：

  $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\theta}) d\theta = \alpha \log r + \beta, \quad \forall r \in (\rho_1, \rho_2).$

• 证明思路：
  • 方法1（积分形式）：
    1. 由定理1（积分性质）取 $u_1 = \log r$, $u_2 = u$，代入(7)式。
    2. 结合 $\int_{|z|=r} *d(\log r) = 2\pi \alpha$（常数），整理得结果。
  • 方法2（Laurent级数）：
    1. 对 $f(z) = u_x - i u_y$ 作Laurent展开：$f(z) = \frac{\alpha}{z} + \sum_{n \neq -1} \frac{c_n}{z^n}$。
    2. 积分原函数 $F(z) = \alpha \log z + \sum_{n \neq -1} \frac{c_n z^{n+1}}{n+1}$。
    3. 证明 $u = \operatorname{Re} F + \beta$，积分后得结论。
• 推论：若 $u$ 在 $|z| < \rho_2$ 调和，则 $\alpha = 0$，且 $\beta = u(0)$（经典平均值公式）。

6. 微分形式与外微分

• 1-形式：$\omega = p dx + q dy$，外微分定义为：

  $d\omega = \left( \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} \right) dx \wedge dy.$

• 外积：对1-形式 $\omega_1 = p_1 dx + q_1 dy$, $\omega_2 = p_2 dx + q_2 dy$，

  $\omega_1 \wedge \omega_2 = (p_1 q_2 - q_1 p_2) dx \wedge dy.$

• 乘积微分公式：对函数 $u$ 和1-形式 $\omega$，

  $d(u\omega) = du \wedge \omega + u d\omega.$

• 格林公式：$\int_{\partial \Omega} \omega = \iint_\Omega d\omega$（微分形式表述）。