Stirling公式和Γ函数定义的等价性

核心定理：Stirling公式

形式：
当 $\text{Re}\, z > 0$ 时，

$\Gamma(z) = \sqrt{2\pi} \, z^{z-\frac{1}{2}} e^{-z} e^{J(z)}, \quad \text{其中} \quad J(z) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \frac{z}{y^2 + z^2} \log \frac{1}{1 - e^{-2\pi y}} dy.$

渐近性质：
对任意 $\sigma > 0$，当 $\text{Re}\, z > \sigma$ 且 $|z| \to \infty$ 时，$J(z) \to 0$。
特例（整数阶乘）：

$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \quad (n \to \infty).$

关键证明步骤

1. 余项 $J(z)$ 的构造

通过复积分技术，将 $\log \Gamma(z)$ 表示为：

$\log \Gamma(z) = \frac{\log 2\pi}{2} - z + \left( z - \frac{1}{2} \right) \log z + J(z).$

核心是证明 $J(z) \to 0$（当 $|\text{Im}\, z|$ 有下界且 $|z| \to \infty$）。

2. 证明 $J(z) \to 0$

• 拆分积分： 对 $y \in [0, |z|/2]$ 和 $[|z|/2, \infty)$ 分段估计。
• 控制积分：
  • 当 $y < |z|/2$ 时，利用 $\left| \frac{z}{z^2 + y^2} \right| \leq \frac{4}{3}|z|^{-1} \to 0$。
  • 当 $y > |z|/2$ 时，利用 $\left| \frac{z}{z^2 + y^2} \right| \leq \frac{1}{\sigma}$（$\sigma = \min \text{Re}\, z >0$），结合 $\log(1 - e^{-2\pi y})$ 的可积性。

3. 确定常数 $C_1$ 和 $C_0$

• 证明 $C_1 = -1$：
  利用函数方程 $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$ 和渐近展开：

  $\log \Gamma(z+1) - \log \Gamma(z) = \log z \implies C_1 + 1 + o(1) = 0.$

• 证明 $C_0 = \frac{1}{2} \log (2\pi)$：
  利用反射公式 $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \pi / \sin \pi z$，取 $z = \frac{1}{2} + iy$，比较渐近展开：

  $\log \left[ \Gamma(z) \Gamma(1-z) \right] = 2C_0 - \pi y + o(1), \quad \log \frac{\pi}{\sin \pi z} = \log 2\pi - \pi y + o(1).$

  解得 $2C_0 = \log 2\pi$.

Γ函数积分定义的等价性

定理： 对 $\text{Re}\, z > 0$，积分定义

$F(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} dt$

满足 $F(z) \equiv \Gamma(z)$。

证明思路：

1. 构造周期函数： 设 $f(z) = F(z)/\Gamma(z)$，则 $f(z+1) = f(z)$（由 $F(z+1)=zF(z)$ 和 $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$）。
2. 解析延拓： $f(z)$ 可延拓为 $\mathbb{C}$ 上周期为 1 的解析函数，且 $f(z) = g(e^{2\pi i z})$（$g$ 在 $\mathbb{C}^*$ 解析）。
3. 增长性估计：
   • 用 Stirling 公式得 $|\Gamma(z)| \geq e^{-\frac{\pi}{2} |y|}$（当 $|y| \gg 1$）。
   • 由 $|F(z)| \leq F(2) = 1$，推出 $|g(\zeta)| \leq |\zeta|^{\pm 1/4}$（当 $|\zeta| \to 0$ 或 $|\infty|$）。
4. Liouville 定理： $g(\zeta)$ 在 $\zeta=0$ 和 $\infty$ 处可去奇点，故为常数。由 $f(1)=1$ 得 $f \equiv 1$，即 $F \equiv \Gamma$.

关键方法总结

1. 复围道积分：
   • 对 $\cot \pi \zeta / (\zeta + z)^2$ 沿矩形围道积分（边界 $\text{Re}\, \zeta = 0, \, n+1/2$ 和 $\text{Im}\, \zeta = \pm Y$），利用留数定理联系 $\sum_{k=0}^n (z+k)^{-2}$ 与积分（步骤3-7）。
2. 渐近分析：
   • 分段估计积分余项 $J(z)$，控制不同 $y$ 区间的行为（步骤11-12）。
3. 特殊函数性质：
   • 利用 $\Gamma(z)$ 的函数方程 $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ 和反射公式 $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin\pi z$ 确定常数（步骤12-15）。
4. 解析延拓与周期性：
   • 通过周期函数转化和边界增长性估计，证明积分定义与 $\Gamma(z)$ 等价（步骤21-25）。

补充内容

• Bernoulli 数展开（练习1）：

  $\frac{1}{e^z - 1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{B_k}{(2k)!} z^{2k-1}, \quad B_1 = \frac{1}{6}, B_2 = \frac{1}{30}, B_3 = \frac{1}{42}.$

• 实数域 Stirling 余项估计（练习）：
  对 $x > 0$，存在 $\theta(x) \in (0,1)$ 使得

  $\Gamma(x) = \sqrt{2\pi x} \left( \frac{x}{e} \right)^x e^{\frac{\theta(x)}{12x}}, \quad J(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \frac{x}{y^2 + x^2} \log \frac{1}{1 - e^{-2\pi y}} dy < \frac{1}{12x}.$