实变函数积分技巧

1. 无穷区间积分（$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$）

• 定理1：设 $f(z)$ 在上半平面 $H^+$ 除孤立奇点 $z_1,\dots,z_n$ 外全纯，在 $\overline{H}^+ \setminus \{z_k\}$ 连续，且 $\lim_{z\to\infty} zf(z) = 0$，则：

  $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f, z_k).$

  证明：取上半圆围道 $C_R \cup [-R, R]$，利用留数定理：

  $\oint_{C_R \cup [-R,R]} f(z) dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}.$

  由条件 $\lim_{z\to\infty} zf(z)=0$，得 $\left| \int_{C_R} f(z) dz \right| \leq \pi \varepsilon \to 0$（$R \to \infty$），实轴积分即所求。

• 推论（有理函数）：若 $f(z) = P(z)/Q(z)$ 满足：

  • $\deg Q - \deg P \geq 2$,
  • $Q(x) \neq 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上,
  • $z_k$ 为 $H^+$ 内极点，
    则积分公式同上（例：$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1} = \frac{\sqrt{2}\pi}{2}$）。

2. 含三角函数的积分（$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\alpha x} f(x) dx$）

• Jordan 引理：设 $f$ 在 $H^+ \setminus B(0,R_0)$ 连续，$\lim_{z\to\infty} f(z) = 0$，则对 $\alpha > 0$：

  $\lim_{R\to\infty} \int_{\gamma_R} e^{i\alpha z} f(z) dz = 0, \quad \gamma_R = \{Re^{i\theta} : 0 \leq \theta \leq \pi\}.$

  证明：利用 $|e^{i\alpha z}| = e^{-\alpha R \sin\theta}$ 和不等式 $\sin\theta \geq \frac{2}{\pi}\theta$（$\theta \in [0,\pi/2]$），估计积分模长。

• 定理2：在定理1条件下，对 $\alpha > 0$：

  $\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\alpha x} f(x) dx = 2\pi i \sum_{j=1}^{n} \operatorname{Res}\left(e^{i\alpha z} f(z), z_j\right).$

  应用：

  • $\int_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2e}$（取虚部）
  • $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos \alpha x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2e^\alpha}$（对比传统方法更简捷）

3. 扇形域奇点积分（引理2）

• 引理：设 $f$ 在扇形 $G = \{a + \rho e^{i\theta} : \theta_0 < \theta < \theta_0 + \alpha\}$ 的闭包除 $a$ 外连续，且 $\lim_{z\to a} (z-a)f(z) = A$，则：

  $\lim_{\rho \to 0} \int_{\gamma_\rho} f(z) dz = i\alpha A, \quad \gamma_\rho = \{a + \rho e^{i\theta} : \theta_0 \leq \theta \leq \theta_0 + \alpha\}.$

  证明：由极限定义，积分逼近 $i\alpha A$（误差控制）。

4. 三角有理式积分（$\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta) d\theta$）

• 变量替换：令 $z = e^{i\theta}$，则：

  $\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}, \quad d\theta = \frac{dz}{iz}.$

  积分化为单位圆周上复积分：

  $\oint_{|z|=1} R\left( \frac{z+z^{-1}}{2}, \frac{z-z^{-1}}{2i} \right) \frac{dz}{iz}.$

  例：$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{3+2\cos\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{5}}$（留数计算）。

5. 多值函数积分（$\int_0^{\infty} x^{a-1} Q(x) dx$）

• 核心思想：通过割线（如 $[0,+\infty)$）定义单值分支，构造围道避开割线。
• 典型步骤：
  1. 定义分支：如 $z^{p-1} = e^{(p-1)(\ln|z| + i\arg z)}$，$\arg z \in (0,2\pi)$。
  2. 构造围道：钥匙孔围道 $\Omega_{r,R} = A(r,R) \setminus [r,R]$。
  3. 边值关系：上岸 $f_+(x) = x^{p-1}$，下岸 $f_-(x) = e^{2\pi i(p-1)} x^{p-1}$。
  4. 积分相减得：

     $(1 - e^{2\pi i p}) \int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(1+x)^m} dx = 2\pi i \sum \operatorname{Res}.$

  例6：$\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(1+x)^m} dx = \frac{\pi (1-p)\cdots(m-1-p)}{(m-1)! \sin p\pi}$（$0<p<m$）。

6. 含对数函数的积分

• 方法：结合割线定义 $\log z$ 的分支（$\arg z \in (0,2\pi)$）。
• 例7：$\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(1+x^2)^2} dx = -\frac{\pi}{4}$。
  • 边值关系：下岸 $\log(-x) = \log x + \pi i$（$x>0$）。
  • 围道积分后取实部/虚部。