Signal Processing 3

信号的傅里叶分解

周期连续函数的傅里叶分解

三角函数基

如下三角函数构成的集合是$\mathcal{L}^2(\mathcal{C}[-\frac{2\pi}{\omega_0}, -\frac{2\pi}{\omega_0}])$空间的一组可列正交基： $$ \{ sin n \omega_0, cos n \omega_0, 1|n \in \mathbb{N^+}\} $$ 该空间的内积为标准内积： $$ \langle f, g \rangle = \int_{ -\frac{2\pi}{\omega_0} }^{\frac{2\pi}{\omega_0}} f(t)g(t)dt $$

标准形式

设周期函数$f(t)$的周期为$T$，则$f(t)$可在正交三角函数基$\{ \sin(\frac{2\pi nt}{T}),\cos(\frac{2\pi nt}{T}), 1|n \in \mathbb{N^+}\}$上分解： $$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{2\pi nt}{T}) + \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(\frac{2\pi nt}{T})$$ $$ \begin{align*} \begin{cases} a_0 = \frac{1}{T} \\ a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(\frac{2\pi n}{T}t)dt \\ b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(\frac{2\pi n}{T}t)dt \end{cases} \end{align*} $$

复指数形式

设周期函数$f(t)$的周期为$T$，则$f(t)$可在复指数函数基（不是正交基）$\{ e^{i\frac{2n\pi}{T}t}|n \in \mathbb{Z}\}$上分解： $$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{i\frac{2n\pi}{T}t}$$ 其中 $$F_n = \frac{1}{T_1} \int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-i\frac{2n\pi}{T}t}$$

HINT: 为何实信号有负频率
sin或cos写成指数形式从欧拉公式的角度分成了$e^{i\omega t}$和$e^{-i\omega t}$项，引入了负数部分，负频率的出现本身无物理意义，实信号分解后正负是成对出现的

非周期连续函数的傅里叶分解

频谱密度

信号某频率范围内分量的能量与频率范围带宽的比值称为频谱密度
$$F(\omega) =\frac{d(E(\omega))}{d \omega}$$

傅里叶变换

若$f(t) \in \mathcal{L}^1$，则可做傅里叶变换：
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt $$

傅里叶逆变换

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$