Signal Processing 1

信号的运算

常规代数运算

常规运算、微积分运算（电容、电感等系统），波形变换（时移、反褶、压扩）

卷积运算

卷积意义

假设B是一个线性因果系统，t时刻输入信号为x(t)，输出为y(t)，系统响应函数s(t)

由于因果系统可能具有记忆性，因此t时刻输出可能受到t时刻前所有输入的影响。由于真实物理系统能量是守恒的，该影响应该是衰减的，即：越靠近t时刻的输入对y(t)的影响越大

于是，t时刻的输出可以写为系统在t时刻之前所有输入乘上衰减的叠加：
$$y(t) = \sum_{\tau} 输入(\tau) \times 衰减(t, \tau)$$

由于$\tau$距离t越近，衰减越大，可以将衰减项写作$s(t-\tau)$，s是减函数的形式

卷积定义

• 离散形式
  $$(f*g)(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} f(m)g(n-m)$$
• 连续形式
  $$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau$$

卷积性质

• 运算性质
  卷积和加法运算在连续函数上构成交换环
• 微积分性质
  $$(f_1*f_2)^{(n)}(t) = f_1^{(m)}*f_2^{(n-m)}(t)$$

相关运算

$$R_{f_1f_2}(-t)=f_1(t)*f_2(-t)$$

奇异信号

单位冲激信号和单位阶跃信号，是短时间内突变物理过程的理想描述，两者互为微/积分关系

单位冲激信号

定义

$\delta(t)=0, \forall t \neq 0$

$\delta(t)=+\infty, t=0$

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \mathrm{d}t = 1$

性质

冲激信号的物理意义是在短时间内输入一个有限能量，通过卷积的意义不难发现，通过对系统直接输入一个瞬时能量，我们可以通过观测响应来得到系统的响应函数
$$f(t)*\delta(t-t_0) = f(t-t_0)$$
冲激函数还具有采样特性：
$$x(t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-t_0)\mathrm{d}t$$