数值积分的概念

一、常微分方程（ODE）基础概念

1. ODE定义

   • $g(t, y, y', \cdots, y^{(k)}) = 0$，其中 $y = y(t)$ 是未知函数。
   • k阶显式ODE：$y^{(k)} = f(t, y, y', \cdots, y^{(k-1)})$。

2. 高阶ODE化一阶方程组

   • 变量代换：设 $u_1 = y, u_2 = y', \cdots, u_k = y^{(k-1)}$。

     $\begin{cases} u_1' = u_2 \\ u_2' = u_3 \\ \vdots \\ u_k' = f(t, u_1, \dots, u_k) \end{cases}$

   • 例（牛顿第二定律）：

     $my'' = F(t, y, y') \rightarrow \begin{cases} u_1' = u_2 \\ u_2' = \frac{1}{m} F(t, u_1, u_2) \end{cases}$

3. 初值问题（IVP）
   $y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0, \quad t \geq t_0$

   • 解的唯一性由初始条件保证。

4. 稳定性分类（定义8.1）

   • 稳定：初值扰动 $\delta$ 导致解偏差 $\Delta y(t)$ 有界。
   • 渐近稳定：$\lim_{t \to \infty} \Delta y(t) = 0$。
   • 不稳定：$\Delta y(t) \to \infty$。
   • 模型问题分析：$y' = \lambda y$，解 $y(t) = y_0 e^{\lambda(t-t_0)}$。
     • 稳定当 $\operatorname{Re}(\lambda) \leq 0$；渐近稳定当 $\operatorname{Re}(\lambda) < 0$。
   • 非线性问题局部稳定性：
     • 雅可比矩阵 $J = \frac{\partial f}{\partial y}$，特征值 $\lambda_k$ 满足 $\operatorname{Re}(\lambda_k) \leq 0$ 则局部稳定。

二、数值解法基本概念

1. 离散变量法

   • 步进计算：$t_0 < t_1 < \cdots < t_n$，步长 $h_n = t_{n+1} - t_n$。
   • 近似解序列 $y_0, y_1, \dots, y_n$。

2. 方法分类

   类型	公式形式	特点
   单步法	$y_{n+1} = G(y_n)$	仅依赖前一步
   多步法（k步）	$y_{n+1} = G(y_n, \dots, y_{n-k})$	依赖前k步
   显式	$y_{n+1}$ 不隐式出现	直接计算
   隐式	$y_{n+1}$ 出现在方程中	需迭代求解（如牛顿法）

3. 局部截断误差（LTE）（定义8.3）

   • 假设 $y_{n-i} = y(t_{n-i})$ 精确，则 $l_{n+1} = y(t_{n+1}) - y_{n+1}$。
   • p阶精度：$l_{n+1} = O(h^{p+1})$。

4. 整体误差

   • $e_n = y_n - y(t_n)$。
   • 定理：若方法稳定且局部截断误差 $O(h^{p+1})$，则整体误差 $e_n = O(h^p)$。

三、单步法数值解法

1. 欧拉法（显式）

• 公式：$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$。
• 推导：
  • 数值微分（向前差分）：$y'(t_n) \approx \frac{y(t_{n+1}) - y(t_n)}{h}$。
  • 数值积分（左矩形）：$\int_{t_n}^{t_{n+1}} f ds \approx h f(t_n, y(t_n))$。
• 精度：$l_{n+1} = O(h^2)$ → 1阶精度。
• 稳定性分析（模型问题 $y' = \lambda y$)：
  • 递推式：$y_{n+1} = (1 + h\lambda) y_n$。
  • 稳定条件：$|1 + h\lambda| \leq 1$。
  • 稳定区域：复平面中 $h\lambda$ 在圆盘 $|z+1| \leq 1$ 内（见Page 15图示）。

2. 向后欧拉法（隐式）

• 公式：$y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1})$。
• 稳定性（模型问题）：
  • $y_{n+1} = \frac{1}{1 - h\lambda} y_n$，稳定条件 $\left| \frac{1}{1 - h\lambda} \right| \leq 1$ 恒成立（$\operatorname{Re}(\lambda) \leq 0$ 时）。
    → 无条件稳定（A-stable）。
• 精度：$l_{n+1} = O(h^2)$ → 1阶精度（推导见Page 22）。

3. 梯形法（隐式）

• 公式：$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_{n+1}) \right]$。
• 稳定性（模型问题）：
  • $y_{n+1} = \frac{2 + h\lambda}{2 - h\lambda} y_n$，稳定当 $\operatorname{Re}(h\lambda) \leq 0$ → 无条件稳定。
• 精度：$l_{n+1} = O(h^3)$ → 2阶精度。

四、Runge-Kutta（R-K）方法

1. 显式R-K公式

• 一般形式：

  $y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^{r} c_i k_i, \quad \begin{cases} k_1 = f(t_n, y_n) \\ k_i = f\left( t_n + \lambda_i h, y_n + h \sum_{j=1}^{i-1} \mu_{ij} k_j \right) \end{cases}$

• 参数确定：通过泰勒展开匹配精度阶（例：2级R-K见Page 29）。

2. 常用公式

• 改进欧拉法（2级2阶）：

  $\begin{cases} k_1 = f(t_n, y_n) \\ k_2 = f(t_n + h, y_n + h k_1) \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) \end{cases}$

• 经典4级4阶R-K：

  $\begin{cases} k_1 = f(t_n, y_n) \\ k_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_1) \\ k_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_2) \\ k_4 = f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{cases}$

• 精度与稳定性：
  • r级显式R-K最高阶数：r（当 $r \leq 4$ 时）。
  • 稳定区域：模型问题下 $|\phi(h\lambda)| \leq 1$（例：2阶R-K要求 $h \leq -2/\lambda$）。

五、多步法

1. 线性多步法公式

$y_{n+1} = \sum_{i=1}^{m} \alpha_i y_{n+1-i} + h \sum_{i=0}^{m} \beta_i f(t_{n+1-i}, y_{n+1-i})$

• 显式：$\beta_0 = 0$；隐式：$\beta_0 \neq 0$。

2. 系数确定方法

• 泰勒展开法：
  • 将 $y(t_{n+1})$ 在 $t_{n+1}$ 泰勒展开，匹配系数使低阶项为零。
  • 相容性条件（1阶精度）：
    $\sum \alpha_i = 1, \quad \sum i \alpha_i = \sum \beta_i$
• 单项式代入法：
  • 令 $y(t) = t^k$（$k=0,1,\dots,p$）代入公式，解方程组。

3. 常用多步法

类型	公式	阶数	稳定阈值
Adams显式	$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3})$	4	$-3/10$
Adams隐式	$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} (9f_{n+1} + 19f_n - 5f_{n-1} + f_{n-2})$	4	$-3$
BDF隐式	$y_{n+1} = \sum \alpha_i y_{n+1-i} + h \beta_0 f_{n+1}$	变阶	大稳定区域

• 定理8.4：m步Adams法，显式阶数 $m$，隐式阶数 $m+1$。
• 启动问题：需用单步法计算前 $m$ 步。

六、稳定性与收敛性

1. 数值稳定性定义（定义8.2）

• 扰动 $\delta_n$ 引起的后续误差 $|\delta_m| \leq |\delta_n|$。

2. 收敛性条件

• 单步法：若满足相容性 $\varphi(t,y,0) = f(t,y)$ 且 Lipschitz 连续，则收敛。
• 多步法：需满足根条件（特征多项式根 $|r_i| \leq 1$ 且模1根为单根）。

3. 刚性（Stiff）问题

• 特征：解变化缓慢，但附近解变化快（$\operatorname{Re}(\lambda_k) \ll 0$）。
• 适用方法：隐式法（如向后欧拉、BDF）。

示例：双联摆问题。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cos(\Delta u) \\ 0 & 0 & \cos(\Delta u) & 1 \end{bmatrix} \mathbf{u}' = \begin{bmatrix} u_3 \\ u_4 \\ -2g \sin u_1 - \sin(\Delta u) u_4^2 \\ -g \sin u_2 + \sin(\Delta u) u_3^2 \end{bmatrix}, \quad \Delta u = u_1 - u_2$