分段插值

高次多项式插值的局限性

收敛性差（Runge现象）

以函数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2} \, (x \in [-5,5])$ 为例，在等距节点上构造插值多项式 $L_n(x)$，其收敛性表现为：

$\lim_{n \to \infty} L_n(x) = \begin{cases} -f(x), & |x| \leq c \, (c \approx 3.63) \\ \text{不收敛}, & |x| > c \end{cases}$

这表明高次多项式插值可能在某些区域发散，无法保证全局逼近效果。

保凸性差与数值不稳定性

• 多余拐点：插值多项式可能出现违背原始数据单调性或凸性的振荡。
• 误差传播：单个节点的函数值误差会影响整个区间的插值结果，导致病态问题。

分段线性插值

基本思想

将相邻数据点用直线连接，形成分段一次多项式函数。给定节点 $x_0 < x_1 < \dots < x_n$ 及对应函数值 $f_0, f_1, \dots, f_n$，分段线性插值函数 $I_h(x)$ 的表达式为：

$I_h(x) = \sum_{j=0}^n f_j l_j(x)$

其中基函数 $l_j(x)$ 定义为：

$l_j(x) = \begin{cases} \frac{x - x_{j-1}}{x_j - x_{j-1}}, & x \in [x_{j-1}, x_j] \, (j \neq 0) \\ \frac{x - x_{j+1}}{x_j - x_{j+1}}, & x \in [x_j, x_{j+1}] \, (j \neq n) \\ 0, & \text{其他区域} \end{cases}$

误差估计与收敛性

插值误差由 Lagrange 余项给出：

$|f(x) - I_h(x)| \leq \frac{M_2}{8} h^2$

其中 $M_2 = \max |f''(x)|$，$h$ 为最大区间长度。若 $f(x) \in C^2[a,b]$，则当 $h \to 0$ 时，$I_h(x)$ 一致收敛于 $f(x)$。

分段埃尔米特（Hermite）插值

整体思想

在节点处同时插值函数值和导数值，构造光滑性更高的分段多项式。对于节点 $x_0, x_1, \dots, x_n$，要求插值多项式 $H(x)$ 满足：

$H(x_i) = f(x_i), \quad H'(x_i) = f'(x_i)$

其一般形式为：

$H_{2n+1}(x) = \sum_{j=0}^n \left[ f_j \alpha_j(x) + f_j' \beta_j(x) \right]$

基函数 $\alpha_j(x)$ 和 $\beta_j(x)$ 需满足：

$\alpha_j(x_i) = \delta_{ij}, \quad \alpha_j'(x_i) = 0; \quad \beta_j(x_i) = 0, \quad \beta_j'(x_i) = \delta_{ij}$

两点三次埃尔米特插值

在子区间 $[x_k, x_{k+1}]$ 上，三次 Hermite 插值多项式为：

$H_3(x) = f_k \tilde{\alpha}_k(x) + f_{k+1} \tilde{\alpha}_{k+1}(x) + f_k' \tilde{\beta}_k(x) + f_{k+1}' \tilde{\beta}_{k+1}(x)$

其中基函数的具体形式为：

$\begin{aligned} \tilde{\alpha}_k(x) &= \left( 1 + 2 \frac{x - x_k}{x_{k+1} - x_k} \right) \left( \frac{x - x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2, \\ \tilde{\beta}_k(x) &= (x - x_k) \left( \frac{x - x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2. \end{aligned}$

该插值函数在节点处一阶导数连续（$C^1$ 光滑），且全局收敛。

保形分段插值（Shape-Preserving）

核心思想

通过自动设定节点导数值，使分段 Hermite 插值既保持光滑性，又保留原始数据的单调性与凸性。

导数值设定方法

• 计算割线斜率：对节点 $x_k$，计算相邻差商：

  $d_{k-1} = \frac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}}, \quad d_k = \frac{f(x_{k+1}) - f(x_k)}{x_{k+1} - x_k}$

• 导数值规则：
  • 若 $d_{k-1} \cdot d_k \leq 0$，令 $f_k' = 0$（避免振荡）；
  • 否则，采用加权调和平均：

    $\frac{w_{k-1} + w_k}{f_k'} = \frac{w_{k-1}}{d_{k-1}} + \frac{w_k}{d_k}$

  其中权重 $w_k$ 通常取区间长度。

样条插值

1. 核心动机

• 分段插值的不足：分段线性插值（$C^0$ 连续）和分段 Hermite 插值（$C^1$ 连续）的二阶导数不连续，导致曲线光滑性不足。
• 物理背景：样条（spline）源于工程师绘图时使用的弹性木条，通过固定节点形成光滑曲线。物理上，样条的势能最小化要求曲线二阶导数连续（$C^2$ 光滑）。

三次样条插值

三次样条插值函数

定义 6.8：给定插值节点 $x_0 < x_1 < \dots < x_n \in [a, b]$，若函数 $S(x)$ 满足：

1. 在每个子区间 $[x_j, x_{j+1}]$ 上为三次多项式；
2. 整体二阶导数连续（$S(x) \in C^2[a, b]$）；
3. 插值条件 $S(x_j) = f(x_j)$，则称 $S(x)$ 为三次样条插值函数。

基本形式

三次样条函数 $S(x)$ 的分段表达式为：

$S(x) = \begin{cases} s_0(x), & x \in [x_0, x_1] \\ s_1(x), & x \in [x_1, x_2] \\ \vdots \\ s_{n-1}(x), & x \in [x_{n-1}, x_n] \end{cases}$

其中每段 $s_j(x)$ 为三次多项式，满足：

$s_j(x_j) = f_j, \quad s_j(x_{j+1}) = f_{j+1}, \quad s'_{j-1}(x_j) = s'_j(x_j), \quad s''_{j-1}(x_j) = s''_j(x_j)$

以二阶导数为参数的构造方法

假设 $S''(x_j) = M_j$，在子区间 $[x_j, x_{j+1}]$ 上，二阶导数为一次多项式：

$S''(x) = M_j \frac{x_{j+1} - x}{h_j} + M_{j+1} \frac{x - x_j}{h_j}, \quad h_j = x_{j+1} - x_j$

两次积分后得到 $S(x)$ 的表达式：

$S(x) = M_j \frac{(x_{j+1} - x)^3}{6h_j} + M_{j+1} \frac{(x - x_j)^3}{6h_j} + \left( f_j - \frac{M_j h_j^2}{6} \right) \frac{x_{j+1} - x}{h_j} + \left( f_{j+1} - \frac{M_{j+1} h_j^2}{6} \right) \frac{x - x_j}{h_j}$

通过一阶导数连续条件和边界条件，最终得到关于 $M_j$ 的线性方程组。

边界条件的类型与处理

为唯一确定三次样条插值函数，需补充两个额外条件：

第一类边界条件（固定斜率）

给定端点处一阶导数：

$S'(x_0) = f_0', \quad S'(x_n) = f_n'$

第二类边界条件（自然样条）

给定端点处二阶导数（通常取零）：

$S''(x_0) = f_0'' = 0, \quad S''(x_n) = f_n'' = 0$

第三类边界条件（周期性）

假设函数为周期函数，周期为 $x_n - x_0$，要求：

$S'(x_0) = S'(x_n), \quad S''(x_0) = S''(x_n)$

第四类边界条件（Not-a-Knot）

强制首尾两个子区间为同一三次多项式，Matlab spline 函数默认采用此条件。

求解三弯矩方程

通过边界条件和导数连续性，可建立关于 $M_j$ 的三对角线性方程组：

$\begin{cases} \mu_j M_{j-1} + 2M_j + \lambda_j M_{j+1} = d_j & (j = 1, \dots, n-1) \\ \text{边界条件对应的方程} \end{cases}$

其中系数矩阵严格对角占优，保证解的存在唯一性。解出 $M_j$ 后代入分段表达式即得三次样条插值函数。

B-样条函数简介

基本概念

• k次样条函数：具有 $k-1$ 阶连续导数的分段k次多项式。
• B-样条基函数：局部非零的分段多项式基函数，广泛应用于计算机图形学、几何建模和微分方程数值解。

典型应用

• 1次B-样条：等价于分段线性函数。
• 3次B-样条：光滑性高，适合复杂曲线建模。