Dirichlet 问题与Perron方法

Dirichlet 问题

Dirichlet问题是在区域 $\Omega$ 上寻找调和函数 $u$，使其边界值等于给定的连续函数 $f$。当边界条件不满足一定正则性时，问题可能无解（如环形区域的反例）。Perron方法通过构造次调和函数族的上确界函数，在较宽松条件下给出解的存在性。

关键定义与概念

1. Perron族 $B$：
   设 $\Omega$ 是有界区域，$f$ 是 $\partial \Omega$ 上的有界连续函数。定义集合：

   $B = \left\{ v: \Omega \to \mathbb{R} \ \middle| \ v \text{ 次调和}, \ \limsup_{z \to \zeta} v(z) \leq f(\zeta), \ \forall \zeta \in \partial \Omega \right\}.$

   • 性质：$B \neq \emptyset$（例如 $v(z) = -M$ 属于 $B$）。

2. 上确界函数：

   $u(z) = \sup \{ v(z) \mid v \in B \}, \quad z \in \Omega.$

核心定理与证明

引理1：$u(z)$ 在 $\Omega$ 调和

证明思路：

1. 局部调和性：固定 $z_0 \in \Omega$，取圆盘 $B(z_0, \delta) \subset \Omega$。
2. 逼近序列：存在 $\{v_n\} \subset B$ 使得 $v_n(z_0) \to u(z_0)$。
3. 修正函数：令 $V_n = \max\{v_1, \dots, v_n\}$，再用 Poisson 积分 在 $B(z_0, \delta)$ 上调和化：

   $\tilde{V}_n(z) = \begin{cases} V_n(z), & z \in \Omega \setminus B(z_0, \delta), \\ P_{V_n}(z), & z \in B(z_0, \delta). \end{cases}$

   • $\tilde{V}_n \in B$，且在 $B(z_0, \delta)$ 上调和、单调增。
4. 收敛性：由 Harnack 原理，$\tilde{V}_n$ 在 $B(z_0, \delta)$ 内闭一致收敛于调和函数 $V$，且 $V(z_0) = u(z_0)$。
5. 一致性：对任意 $z_1 \in B(z_0, \delta)$，类似构造得 $W_n \to W$，证明 $V \equiv W \equiv u$ 在 $B(z_0, \delta)$ 成立。
   ⇒ $u$ 在 $\Omega$ 的任意内点邻域调和。

引理2：边界极限的存在性（需闸函数条件）

假设：存在 闸函数 (barrier) $\omega(z)$：

• $\omega$ 在 $\Omega$ 上连续，在 $\Omega$ 内调和；
• $\omega > 0$ 在 $\partial \Omega \setminus \{\zeta_0\}$，$\omega(\zeta_0) = 0$。

结论：若 $f$ 在 $\zeta_0$ 连续，则 $\lim_{z \to \zeta_0} u(z) = f(\zeta_0)$。

证明思路：

1. 构造控制函数：对 $\varepsilon > 0$，取 $\zeta_0$ 的邻域 $B_{\zeta_0}$，使得 $|f(\zeta) - f(\zeta_0)| < \varepsilon$。
2. 上界函数：令

   $W(z) = f(\zeta_0) + \varepsilon + \frac{\omega(z)}{\omega_0} (M - f(\zeta_0)), \quad \omega_0 = \min_{\partial \Omega \setminus B_{\zeta_0}} \omega > 0.$

   • 验证：$\limsup_{z \to \zeta} v(z) \leq f(\zeta) \leq W(\zeta)$ 对所有 $v \in B$ 成立（习题2）。
     ⇒ $v(z) \leq W(z)$ 在 $\Omega$，故 $\limsup_{z \to \zeta_0} u(z) \leq W(\zeta_0) = f(\zeta_0) + \varepsilon$。
3. 下界函数：类似构造

   $V(z) = f(\zeta_0) - \varepsilon - \frac{\omega(z)}{\omega_0} (f(\zeta_0) + M),$

   且 $V \in B$ ⇒ $\liminf_{z \to \zeta_0} u(z) \geq f(\zeta_0) - \varepsilon$。
4. 夹逼定理：结合上下界得 $\lim_{z \to \zeta_0} u(z) = f(\zeta_0)$。

定理1：Dirichlet问题可解的充分条件

条件：$\Omega$ 有界，且对每个 $\zeta_0 \in \partial \Omega$，存在线段 $\zeta_0 \zeta \subset \mathbb{C}$ 满足 $\zeta_0 \zeta \setminus \{\zeta_0\} \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}$（即边界点有直线段从外部逼近）。

结论：对任意连续 $f: \partial \Omega \to \mathbb{R}$，存在 $u \in C(\overline{\Omega})$ 调和于 $\Omega$，且 $u|_{\partial \Omega} = f$。

证明关键：

• 线段条件 ⇒ 可构造闸函数 $\omega(z) = \text{Im}\left( \frac{1}{\zeta - \zeta_0} \right)$（或类似形式）。
• 结合引理1和引理2即得结论。

定理1’（一般化条件）

条件：$\mathbb{C} \setminus \Omega$ 的每个连通分支均非单点集（即无退化边界）。
结论：Dirichlet 问题可解（对任意连续边界函数 $f$）。

注：此条件是定理1的推广（如穿孔圆盘不满足条件，对应初始反例）。