三比特和九比特纠错码

三比特纠错码

设计思路与实现

比特翻转纠错码

设计核心：通过基态的线性扩展实现冗余，避免违反无克隆定理。

• 编码方式：
  基态编码为重复态：

  $|0\rangle \mapsto |000\rangle, \quad |1\rangle \mapsto |111\rangle.$

  叠加态通过线性扩展：

  $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \mapsto \alpha|000\rangle + \beta|111\rangle.$

  这种编码不复制叠加态本身，而是通过基态的重复和线性组合实现冗余，因此不违反无克隆定理。

• 错误检测与纠正：

  • 错误类型：单比特翻转（如 $X_2$）。
  • 错误综合症测量：
    通过比较量子比特对的奇偶性（parity）定位错误。
    电路设计：
    • 使用两个辅助量子比特（ancilla），分别比较第一与第二量子比特、第二与第三量子比特的奇偶性。
    • 通过CNOT门将奇偶信息写入辅助量子比特。
    • 测量辅助量子比特得到两位错误综合症：
      • 00：无错误；10：错误在第一位（$X_1$）；
      • 01：错误在第三位（$X_3$）；11：错误在第二位（$X_2$）。
  • 纠错操作：根据综合症结果，对相应量子比特施加 $X$门纠正错误。

• 关键特性：

  • 测量仅涉及奇偶性，不直接读取编码数据，保留量子叠加态。
  • 错误综合症位数（2位）等于冗余添加的量子比特数（2个辅助量子比特）。

相位翻转纠错码

设计核心：通过基变换（Hadamard变换）将相位错误转换为比特翻转错误，复用比特翻转纠错的结构。

• 编码方式：
  基态转换为 $|+\rangle $和 $|-\rangle $态：

  $|0\rangle \mapsto |+\rangle|+\rangle|+\rangle, \quad |1\rangle \mapsto |-\rangle|-\rangle|-\rangle.$

  叠加态线性扩展：

  $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \mapsto \alpha|\overline{0}\rangle + \beta|\overline{1}\rangle.$

• 基变换的作用：

  • 在 $|+\rangle/|-\rangle $基下，$Z $错误（相位翻转）表现为类似 $X $错误（比特翻转）。
    例如：Z_2|\overline{0}\rangle = \ket{+-+}.
  • 通过Hadamard门将量子比特转换到新基，复用比特翻转纠错逻辑

• 错误检测与纠正：

  • 电路调整：在纠错电路中添加Hadamard门，使CNOT操作作用于变换后的基。
  • 错误综合症测量与比特翻转纠错类似，通过奇偶性定位错误后施加 $Z $门纠正相位翻转。

九比特纠错码

设计思路与实现

编码结构

Shor码将1个逻辑量子位编码为9个物理量子位，其核心思想是分层组合：

• 逻辑0态：

  $|\overline{0}\rangle = \frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle)(|000\rangle + |111\rangle)(|000\rangle + |111\rangle)$

• 逻辑1态：

  $|\overline{1}\rangle = \frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle - |111\rangle)(|000\rangle - |111\rangle)(|000\rangle - |111\rangle)$

每个逻辑态由三个三量子块组成，每个块内的量子位通过叠加态关联，既保留了比特信息（如三量子位码的抗X错误能力），又通过符号差异编码了相位信息（抗Z错误能力）。

X错误的检测与纠正

假设第5个量子位发生X错误（即比特翻转），如：

$X_5|\overline{0}\rangle = \frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle)(|010\rangle + |101\rangle)(|000\rangle + |111\rangle)$

此时，中间三量子块中的一个量子位与另外两个不同（如从000变为010）。通过多数表决机制（类似三量子位码的纠错电路），可以定位错误位置并翻转该比特以恢复原态。

Z错误的检测与纠正

Z错误（相位翻转）的影响更隐蔽。例如，第5个量子位的Z错误会导致中间块的相位反转：

$Z_5|\overline{0}\rangle = \frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle)(|000\rangle - |111\rangle)(|000\rangle + |111\rangle)$

此时，相位差异分布在三量子块中。Shor码通过测量错误症状（error syndrome）来识别相位错误所在的块。具体来说，不同错误会导致编码空间的正交子空间（如-++或+--相位模式），通过设计测量算符，可以区分错误位置并应用Z门纠正。

Y错误的处理与扩展纠错能力

Y错误本质上是X和Z的联合作用（$Y = iXZ$）。由于Shor码的X和Z纠错机制相互独立，即使Y错误同时引起比特翻转和相位翻转，也能通过分步纠正解决。更令人惊讶的是，Shor码甚至能容忍两个不同量子位上的X和Z错误（如一个X错误在第3位，一个Z错误在第7位）。这是因为：

1. X和Z的检测逻辑互不干扰，纠错过程可并行执行。
2. 错误症状的测量能明确区分错误类型和位置，避免混淆。

思考：如何绕过无克隆定理实现信息冗余？

量子计算面临的一个核心挑战是无克隆定理——无法复制未知量子态。然而，量子纠错码（如三比特码和九比特Shor码）通过信息分布式冗余而非直接克隆，巧妙地避开了这一限制。以下是其关键原理：

无克隆定理的限制与量子纠错的核心思想

无克隆定理指出，不存在量子操作能够完美复制任意未知量子态。这对经典冗余备份方法（如复制数据）构成了直接障碍。
量子纠错码的突破点在于：

• 不复制量子态，而是通过编码将逻辑信息分布到多个物理量子比特中。
• 利用量子叠加和纠缠的特性，使得即使部分物理量子比特发生错误，原始信息仍能从冗余结构中恢复。

为何不违反无克隆定理？

量子纠错码的核心在于信息分布而非克隆：

1. 冗余与叠加态的结合：
   编码后的态是逻辑态的全局叠加（如 $|000\rangle + |111\rangle$），而非独立副本。信息分布在量子比特的关联中，不可分割。
2. 错误症状的间接测量：
   纠错时仅测量错误症状（如奇偶性或相位差异），而非直接读取逻辑态本身。这避免了对未知量子态的克隆需求。
3. 纠错的局部性：
   即使部分量子比特被破坏，剩余比特仍保留足够的关联信息来恢复原始态，无需全局复制。